部分二项式定理

的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-theorem-n-choose-k/" class="wiki_link" title="二项式定理" target="_blank">二项式定理对于整数指数可以推广为分数指数。相关的麦克劳林级数产生了一些有趣的恒等式(包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/generating-functions-solving-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="生成函数" target="_blank">生成函数）和其他微积分应用。

例如, $f (x) = \ sqrt {1 + x} = (1 + x) ^ {2}$ 不是多项式。的正整数次幂 $1 + x$ 可以展开成多项式吗 $\大($ 如。 $(1 + x) ^ 3 = 1 + 3 + 3 x ^ 2 + x ^ 3 \大),$ 这并不意味着 $f (x)$ 一个多项式，所以不可能有一个有限的单项之和等于 $f (x)$ ．但是有一种方法可以恢复同样类型的展开式，如果允许无限和的话。

作为第一个近似，因为 $f (0) = \ frac12$ 的切线 $\ sqrt {1 + x}$ 在 $x = 0$ 是 $y = 1 + \ frac12x$ ．所以对于小 $x,$ ${1+x}近似1+ (fra12) x。$ 这种近似已经很有用了，但是使用级数来更仔细地近似这个函数也是可能的。

扩大 $\ sqrt {1 + x}$ 作为麦克劳林级数。

的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/power-rule/" class="wiki_link" title="权力规则" target="_blank">权力规则在微积分中可以推广到分数指数使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chain-rule/" class="wiki_link" title="链式法则" target="_blank">链式法则:的导数 $x ^ {p / q}$ 是 $\压裂{p} {q} x ^ {p / q1}$ ．
现在,让 $f (x) = \ sqrt {1 + x}。$ 然后
$\{对齐}开始f (x) = (1 + x) ^ {5} & \ Rightarrow f (0) = 1 \ \ f”(x) = \ frac12 (1 + x) ^ {5} & \ Rightarrow f (0) = \ frac12 \ \ f”(x) = \ frac12 \ cdot \离开(- \ frac12 (1 + x) ^{3/2} \右)& \ Rightarrow f (0) = \ frac12 \ cdot - f \ frac12 \ \ & \ vdots \ \ ^ {(k)} (x) = \ frac12 \ cdot \离开(- \ frac12 \) \ cdots \离开(- \压裂{2 k3} 2 (1 + x) ^ {- (2 k - 1) / 2} \右)& \ Rightarrowf ^ {(k)} (0) = \ frac12 \ cdot \离开(- \ frac12 \) \ cdots \离开(- \压裂{2 k3} 2 \右)。结束\{对齐}$

麦克劳林级数等于
$(1 + x) ^ {5} = 1 + \ frac12 x + \压裂{\ frac12 \ cdot \离开(- \ frac12 \右)}{2 !} x^2 + \cdots + \frac{\ fra12 \cdot \left(-\ fra12 \right) \cdots \left(-\frac{2k-3}2\right)}{k!x^k + cdots。$

它可以通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/convergence-ratio-test/" class="wiki_link" title="比值判别法" target="_blank">比值判别法级数是收敛的 $| | < 1$ ． $_ \广场$

内容

分数指数二项式定理

例子

分数指数二项式定理

上面的例子可以立即推广到所有的分数指数 $\α$ ．让 $\α$ 是一个实数 $k$ 一个正整数。定义

$\ binom{\α}{k} = \压裂{\α(\ alpha -) \ cdots(\α_k + 1)} {k !}。$

然后给出了与实例相同的分析

让 $\alpha = frac pq$ 是有理数( $p, q$ 整数)。然后
$(1 + x) ^ \α= 1 + \αx + \压裂{(\α)(\ alpha -)} {2 !} x ^ 2 + \ cdots = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ binom{\α}{k} x ^ k,$

这是收敛的 $| | < 1$ ．
<！-- end-theorem -->

例子

二项式系数 $k \ binom {p / q} {}$ 有时可以用有趣的方式重写。

让 $k$ 是一个正整数。然后
${对齐}\ \开始binom {5} {k} & = \压裂{\左(右- \ frac12 \) \ cdot \左(右- \ frac32 \) \ cdots \离开(- \压裂{2 k - 1} 2 \右)}{k !} \\ &= (- 1) ^ k \压裂{1 \ cdot 3 \ cdots (2 k - 1)} {2 ^ k k !} \\ &= (- 1) ^ k \压裂{1 \ cdot 3 \ cdots (2 k - 1)} {2 \ cdot 4 \ cdots (2 k )} \\ &= (- 1) ^ k \压裂{(2 k) !大(2}{\ \ cdot 4 \ cdots (2 k) \大)^ 2}\ \ & = \离开(- \ frac14 \右)^ k \ binom {2 k} {k}。结束\{对齐}$

或者，可以用a来表示<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/double-factorials-and-multifactorials/" class="wiki_link" title="双!" target="_blank">双!仅仅是
$(1) ^ k \压裂{(2 k - 1) ! !} {(2 k) ! !}。$

所以
$\ frac1 {\ sqrt {1 + x}} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ binom {2 k} {k} \离开(- \压裂x4 \右)^ k$

为 $| | < 1$ ．替换 $4 x$ 为 $x$ 给出的结果<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/generating-functions-solving-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="生成函数" target="_blank">生成函数中心二项式系数是
$\ frac1 {\ sqrt {1-4x}} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ binom {2 k} {k} x ^ k。\ _ \广场$

$1 + frac {2}{3} ^1 + frac {2 × 5}{3 × 6} ^2 + frac {2 × 5 × 8}{3 × 6 × 9} left (frac 1 2 × 5 × 8)^3 + cdots$

如果上面的级数可以在表格中陈述 $一个^ {1 / b}$ 对于素数正整数 $一个$ 和 $b$ ，什么是价值 $a + b ?$

有关……

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