部分二项式定理
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-theorem-n-choose-k/" class="wiki_link" title="二项式定理" target="_blank">二项式定理一个>对于整数指数可以推广到分数指数。相关的麦克劳林系列产生了一些有趣的身份(包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/generating-functions-solving-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="生成函数" target="_blank">生成函数一个>)和微积分的其他应用。
例如, 不是多项式。而正整数的幂 可以展开成多项式吗 如。 这并不意味着 一个多项式,所以不可能有一个有限项的和等于 .但是,如果允许无限和的话,有一种方法可以恢复相同类型的展开。
作为第一个近似,since 的切线 在 是 .所以对于小 这个近似已经很有用了,但是用级数来更仔细地近似这个函数是可能的。
扩大 麦克劳林系列。
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/power-rule/" class="wiki_link" title="权力规则" target="_blank">权力规则一个>在微积分中可以推广到分数指数使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chain-rule/" class="wiki_link" title="链式法则" target="_blank">链式法则一个>的导数 是 .
现在,让 然后
所以麦克劳林级数等于
可以用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/convergence-ratio-test/" class="wiki_link" title="比值判别法" target="_blank">比值判别法一个>这个级数收敛于 .
分数指数二项式定理
上面的例子可以立即推广到所有的分数指数 .让 做一个真实的数字 一个正整数。定义
然后与例子中给出的分析相同
让 是有理数( 整数)。然后
这是收敛的 .
<!-- end-theorem -->
例子
二项式系数 有时可以用有趣的方式重写。
让 为正整数。然后
或者,也可以用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/double-factorials-and-multifactorials/" class="wiki_link" title="双!" target="_blank">双!一个>仅仅是
所以
为 .替换 为 给出了结果<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/generating-functions-solving-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="生成函数" target="_blank">生成函数一个>中心二项式系数是