分形gydF4y2Ba

你有没有见过一个物体，当你放大时，它似乎在重复自己?没有?今天对你来说是个好日子。今天，你将学习gydF4y2Ba分形gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

你可能会问，分形到底是什么?根据定义，分形是一种曲线或几何图形，其每一部分都具有与整体相同的统计特征。gydF4y2Ba

分形在建模结构(如侵蚀的海岸线或雪花)时很有用，在这些结构中，相似的模式在逐渐变小的尺度上重复出现，并且在描述部分随机或混乱的现象，如晶体生长、流体湍流和星系形成时很有用。gydF4y2Ba

分形的一个例子是罗马花椰菜:通过放大，小块看起来就像整个花椰菜在更小的尺度上。gydF4y2Ba

在自然界中，从贝壳、晶体、树叶、羽毛到云、海岸线、山脉和螺旋星系，都有这种重复模式的例子。我们将探讨这些问题gydF4y2Ba分形模式gydF4y2Ba以及描述、生成和测量这些形状的方法。gydF4y2Ba

首先，让我们从我们在罗马花椰菜中观察到的分形性质开始。gydF4y2Ba

属性:gydF4y2Ba自相似性gydF4y2Ba是放大对象时产生永不结束的重复模式的属性。gydF4y2Ba

自然界中自相似性的另一个例子是结晶水和雪花的重复图案。gydF4y2Ba

“霜冻模式2”由Schnobby(授权CC by - sa 3.0通过Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:FrostgydF4y2Ba模式gydF4y2Ba2. jpg)gydF4y2Ba

我们如何描述这些自相似的模式以及我们如何从数学上产生在任何放大倍数下都可复制的自相似形状?我们已经在雪花中看到了分形图案，所以让我们从生成一个类似雪花的自相似图案开始。gydF4y2Ba

科赫雪花gydF4y2Ba

从一个等边三角形开始，用每条边的中间三分之一作为基础，创建一个等边三角形，然后去掉三角形的基础。现在，对结果图中的每个线段重复此过程。以下是最初的几个迭代:gydF4y2Ba

继续这一过程会让科赫的雪花达到极限。下面是经过多次迭代后的边界特写:gydF4y2Ba

由于放大到科赫雪花会得到一条曲线，这条曲线是它自己在更小范围内的副本(称为科赫曲线)，科赫雪花显示出自相似性。gydF4y2Ba

如果我们开始的等边三角形边长为1，那么请注意，通过将每个线段替换为gydF4y2Ba $4gydF4y2Ba$长度是三分之一的段，我们把长度乘以gydF4y2Ba $\压裂{4}{3}gydF4y2Ba$在每一步。这表明在gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$周长的长度是gydF4y2Ba $3 \cdot \left(\frac{4}{3} \right)^ngydF4y2Ba$因此，如果用一维曲线来测量，科赫星的周长是无限的。gydF4y2Ba

然而，正如我们稍后将看到的，这是因为科赫雪花应该被认为具有不止一个维度，试图在错误的维度中测量形状会给出毫无意义的答案。这类似于试图测量覆盖二维正方形所需的非常细的线的数量。我们需要一个无限长的线程，因为我们试图用一维曲线测量一个二维物体。gydF4y2Ba

科赫雪花表明，即使分形是复杂的，它们也可以通过反复应用简单的规则来生成。我们可以把科赫雪花的起始三角形看作gydF4y2Ba引发剂gydF4y2Ba将每一行替换为峰值的步骤gydF4y2Ba发电机gydF4y2Ba．如果我们以线段作为启动器，并使用以下生成器，则会得到不同的模式。gydF4y2Ba

这些例子证明了分形的下列性质。gydF4y2Ba

分形具有任意小尺度的细节，并显示出传统几何语言无法描述的不规则性。gydF4y2Ba

换句话说，分形是一种物体，在任何放大倍数下，都不会“平滑”到看起来像欧几里得空间。gydF4y2Ba

Sierpinski垫片gydF4y2Ba

谢尔宾斯基垫圈是一个三角形，由它自己的小副本组成。从一个填充三角形开始，连接每条边的中点，删除中间三角形，并迭代其余三个填充三角形。gydF4y2Ba

如果我们从边长三角形开始gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$，中谢尔宾斯基垫片的面积(黑色的空间)是多少gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$th一步?观察黑色三角形的数量gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$第一步是gydF4y2Ba $3 ^ ngydF4y2Ba$三角形的边长是gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$第一步是gydF4y2Ba $\左(\frac{1}{2} \右)^ngydF4y2Ba$．然后是黑色空间的面积gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$第一步是gydF4y2Ba $左(3 ^ n \ cdot \ \压裂{1}{2}\右)^ n \ cdot \离开(\压裂{1}{2}\右)^ ngydF4y2Ba$乘以原来三角形的面积，或者gydF4y2Ba

$左(3 ^ n \ cdot \ \压裂{1}{2}\右)^ {2 n} \ cdot \压裂{\ sqrt{3}}{4} = \离开(\压裂{3}{4}\右)^ n \ cdot \压裂{\ sqrt{3}}{4} = \压裂{1}{\ sqrt{3}} \离开(\压裂{3}{4}\右)^ {n + 1}。gydF4y2Ba$

它趋于0，当gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$趋于无穷。就像科赫雪花一样，谢尔宾斯基垫圈的维数应该小于2，如果用错误的维数来测量，就会得到毫无意义的答案。gydF4y2Ba

分形也可以通过多次重复简单的计算，并将输出输入。我们所考虑的第一个分形是以Benoit Mandelbrot的名字命名的，他在20世纪60年代创造了分形这个词，以捕捉所有尺度上的碎片化概念。gydF4y2Ba

曼德尔勃特集合gydF4y2Ba

每一个gydF4y2Ba复数gydF4y2Ba可以看作是二维空间中的一个点吗gydF4y2Ba复平面gydF4y2Ba．从gydF4y2Ba $Z_0 = 0，gydF4y2Ba$生成序列gydF4y2Ba $Z_1 z_2 z_3 \ldotsgydF4y2Ba$使用方程gydF4y2Ba

$Z_ {n+1} = z^2_{n} + c。gydF4y2Ba$

考虑给点上色gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$在复平面中gydF4y2Ba $C \ mathbb {}gydF4y2Ba$取决于结果序列是否gydF4y2Ba $Z_1 z_2 z_3 \ldotsgydF4y2Ba$趋于无穷。的所有起始值gydF4y2Ba $C \ mathbb {}gydF4y2Ba$在Mandelbrot集合之外产生一个趋于无穷的序列。像素的颜色是由序列离原点有多快决定的(并跑到无穷远)。Mandelbrot集中的所有点产生一个序列，其值变小或在固定值的域之间交替。gydF4y2Ba

曼德尔布罗特集的边界是点的集合gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$每个圆的圆心都在gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$包含Mandelbrot集中的点和不在Mandelbrot集中的点。通过放大曼德尔布罗特集边界，我们看到它包含了无限多个曼德尔布罗特集的副本。gydF4y2Ba

茱莉亚集gydF4y2Ba

现在，不是变化gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$，假设我们固定一个值gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$对于每一点gydF4y2Ba $z_0gydF4y2Ba$在复平面中，再次考虑序列gydF4y2Ba $Z_1 z_2 z_3 \ldotsgydF4y2Ba$生成的gydF4y2Ba

$Z_ {n+1} = z^{2}_{n} + c。gydF4y2Ba$

现在，给起始点上色gydF4y2Ba $z_0gydF4y2Ba$在复平面中，它的序列不趋向无穷。这就为每个复数提供了一个Julia集合gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$．以下是茱莉亚设定界限的几个例子:gydF4y2Ba

$\mbox{Julia为}c \mbox设置了大约-0.75 +0.047i的边界。gydF4y2Ba$

$\mbox{Julia为}c \mbox设置了大约-0.74543+0.113i的边界。gydF4y2Ba$

分形的研究包括测量一种叫做gydF4y2Ba分形维数gydF4y2Ba．分形维数有几种不同的概念，这里我们主要讨论自相似分形的分形维数的概念。为了直观地了解测量自相似对象，让我们从考虑缩放简单几何对象时会发生什么开始。从长度一定的线段开始gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$．如果我们把这条线段缩小到一定长度gydF4y2Ba $\压裂{1}{3}gydF4y2Ba$，则原来的线段可由gydF4y2Ba $3 = 3^1gydF4y2Ba$更小的线段。类似地，假设我们有一个边长的正方形gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$．如果我们把正方形缩小到一个边长较小的正方形gydF4y2Ba $\压裂{1},{3}gydF4y2Ba$那么原来的正方形就可以用gydF4y2Ba $9 = 3^2gydF4y2Ba$小方块。继续这样，如果我们考虑一个有边长的立方体gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$并将立方体缩小到边长较小的立方体gydF4y2Ba $\压裂{1},{3}gydF4y2Ba$然后将原来的立方体替换为gydF4y2Ba $27 = 3^3gydF4y2Ba$较小的数据集。在每种情况下，指数都符合我们对物体尺寸的直觉:直线有尺寸gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$，正方形有尺寸gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$，立方体有尺寸gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

一般来说，一套做成的gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$自己的副本按倍数缩小gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$有gydF4y2Ba相似的尺寸gydF4y2Ba $\frac{\log m}{\log r}。gydF4y2Ba$

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解释:gydF4y2Ba如果一个集合是由gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$自己的副本按倍数缩小gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$，那么维数就是数字gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$令人满意的gydF4y2Ba $R ^d = mgydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba

$\{对齐}开始r ^ d & = m \ \ \ log r ^ d & = \ log m \ \ d \ log日志m r & = \ \ \ d & = \压裂{\ log m} {\ log r}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

科赫雪花的相似维数是多少?在生成过程中，我们从一个三角形开始，将每个线段替换为gydF4y2Ba $4gydF4y2Ba$长度为三分之一的线段。那么相似度维度为gydF4y2Ba

$D = \frac{\log 4}{\log 3} \约1.2619。gydF4y2Ba$

谢尔宾斯基三角的相似维数是多少?在生成过程中，我们从一个三角形开始，将每个三角形替换为gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$边长为1 / 2的三角形。那么相似度维度为gydF4y2Ba

$D = \frac{\log 3}{\log 2} \约1.58496。gydF4y2Ba$

分形维数可以附着在云、树、神经元和河流分支上，并提供了一种测量或描述标准几何方法无法捕捉到的不规则性的方法。gydF4y2Ba

你会如何测量英国的海岸线?一种可能的方法如下。gydF4y2Ba

方法:你的朋友有一根可以测量任何长度的卷尺gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$，然后你们俩沿着海岸走，用长度的线段近似地画出边界gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$边走边做标记。最后，将标记的线段的数量相加，这将给出一个大致的长度gydF4y2Ba $L(\α)gydF4y2Ba$海岸。gydF4y2Ba

作为gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$变得越来越小，我们被教导要期望大约的长度gydF4y2Ba $L(\α)gydF4y2Ba$接近海岸的真实长度gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$．但事实上，这并没有发生——相反，我们观察到，对于英国的海岸线，gydF4y2Ba $L(\α)gydF4y2Ba$无限制增长!当一个海湾或半岛被放大时，有子海湾和次半岛。进一步放大，可以看到次次海湾和次次半岛。在粗略的近似中，海岸线的大小细节是相似的，除了规模。gydF4y2Ba

这让你想起科赫的雪花了吗?用较短的卷尺测量得到较长的长度，类似于用较短的段测量科赫雪花的长度。那么英国海岸的面积是多少呢?如果长度被测量为gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$那么这个满足agydF4y2Ba幂律gydF4y2Ba分布gydF4y2Ba

$\begin{aligned} cx^d &= L\\ \log c + d \log x &= \log L\\ \end{aligned}gydF4y2Ba$

策划gydF4y2Ba $L \日志gydF4y2Ba$反对gydF4y2Ba $x \日志gydF4y2Ba$然后给出一条直线和斜率gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$这一行是我们感兴趣的分形维数。通过为不同的海岸线创建这些图，我们可以计算出不同国家的以下维度:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \mbox{南非:}& d = 1.05\\ mbox{澳大利亚:}& d = 1.13\\ mbox{英国:}& d = 1.25\\ mbox{挪威:}& d = 1.52 \end{aligned}gydF4y2Ba$

如果你曾经坐过长途飞机或自驾游，你可能会发现自己处于以下自我重复的模式中!gydF4y2Ba

分形是理解许多混沌系统的基础，在科学中有许多应用。它们也是美丽和迷人的对象，就像我们在Mandelbrot和Julia集合中看到的那样。在本节中，我们收集自然界中所有尺度的分形的例子。gydF4y2Ba

人类皮层中的神经元在脑细胞的分支中显示分形模式。gydF4y2Ba

肺部利用分支模式产生的大表面积来交换氧气。gydF4y2Ba

树木显示分形分支模式。gydF4y2Ba

海岸线是最先被研究的分形之一。gydF4y2Ba

尼古拉斯雷蒙德圣马洛日落风景(创作共用署名3.0许可http://freestock.ca/europegydF4y2Bag97-saintmalogydF4y2Ba日落gydF4y2Ba风景gydF4y2BahdrgydF4y2Bap2202.html)gydF4y2Ba

云显示重复的分形图案。gydF4y2Ba

你观察到的分形图案的例子有哪些?gydF4y2Ba