傅里叶级数
有关……
- 微积分年代pan>>年代pan>
一个<年代trong>傅里叶级数年代trong>是一种将周期函数表示为(可能是无穷)正弦函数和余弦函数之和的方法。它类似于a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数gydF4y2Ba" target="_blank">泰勒级数一个>,表示函数可能为无穷多个单项的和。
对于非周期函数,傅里叶级数被傅里叶变换代替。对于两个变量都是周期性的函数,傅里叶级数中的三角基被替换为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/spherical-harmonics/" class="wiki_link" title="球面谐波gydF4y2Ba" target="_blank">球面谐波一个>.傅里叶级数,以及它的推广,在整个物理科学中是必不可少的,因为三角函数也是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eigenvalues-and-eigenvectors/" class="wiki_link" title="特征函数gydF4y2Ba" target="_blank">特征函数一个>它出现在许多物理方程中。
傅里叶级数的定义
傅里叶级数是把函数写成一系列三角函数的一种特殊方法。继续读下去<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fourier-series/" class="wiki_link" title="下面gydF4y2Ba" target="_blank">下面一个>来学习这个系列是如何构建的。
的<年代trong>傅里叶级数年代trong>周期函数的<年代pan class="katex"> f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>的时期<年代pan class="katex"> T年代pan>是
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>一个年代pan>0年代pan>+年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>一个年代pan>k年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>+年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>b年代pan>k年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>,年代pan>
对于某些集合<年代trong>傅里叶系数年代trong> 一个年代pan>k年代pan>和<年代pan class="katex"> b年代pan>k年代pan>由积分定义
一个年代pan>k年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>,年代pan>b年代pan>k年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>.年代pan>
为了计算某个周期函数的傅里叶级数<年代pan class="katex">
f年代pan>,因此,我们只需要计算任意的上述积分集<年代pan class="katex">
k年代pan>.通常情况下,一个人可以立即设置所有<年代pan class="katex">
b年代pan>k年代pan>或<年代pan class="katex">
一个年代pan>k年代pan>为零,注意函数<年代pan class="katex">
f年代pan>是奇数还是偶数,因为奇函数没有余弦函数,反之亦然。
系数前面的归一化因子来自于这样一个事实,即余弦和正弦函数是正交的,但不是标准正交的。的因素<年代pan class="katex">
2年代pan>1年代pan>乘<年代pan class="katex">
一个年代pan>0年代pan>因此来自于这样一个事实<年代pan class="katex">
一个年代pan>0年代pan>是不同的,因为
一个年代pan>0年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>d年代pan>x年代pan> 是函数平均值的两倍吗<年代pan class="katex">
f年代pan>在<年代pan class="katex">
[年代pan>0年代pan>,年代pan>T年代pan>)年代pan>.
注意,对于有周期的周期函数<年代pan class="katex">
T年代pan>,只要积分窗口保持长度,傅里叶系数定义中的积分极限可以被任意常数因子移位<年代pan class="katex">
T年代pan>总是这样。
求它的傅里叶级数<年代trong>方波年代trong>,其中一个周期的函数是
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>{年代pan>1年代pan>−年代pan>1年代pan>如果年代pan>0年代pan>≤年代pan>x年代pan><年代pan>2年代pan>1年代pan>如果年代pan>2年代pan>1年代pan>≤年代pan>x年代pan><年代pan>1年代pan>.年代pan>
函数是
b年代pan>k年代pan>=年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>1年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>罪年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>=年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>1年代pan>/年代pan>2年代pan>罪年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>−年代pan>2年代pan>∫年代pan>1年代pan>/年代pan>2年代pan>1年代pan>罪年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>=年代pan>2年代pan>[年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>0年代pan>x年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>+年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>x年代pan>=年代pan>1年代pan>]年代pan>=年代pan>2年代pan>[年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>π年代pan>k年代pan>+年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>1年代pan>+年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>π年代pan>k年代pan>]年代pan>=年代pan>π年代pan>k年代pan>2年代pan>(年代pan>罪年代pan>2年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>−年代pan>2年代pan>1年代pan>因为年代pan>π年代pan>k年代pan>+年代pan>2年代pan>1年代pan>因为年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>)年代pan>=年代pan>{年代pan>π年代pan>k年代pan>4年代pan>0年代pan>如果年代pan>k年代pan>是奇数年代pan>如果年代pan>k年代pan>甚至年代pan>,年代pan> 在最后一行,事实是<年代pan class="katex">
k年代pan>为正整数。因此,方波的傅里叶级数为
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>π年代pan>4年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>,年代pan>3.年代pan>,年代pan>5年代pan>,年代pan>...年代pan>∑年代pan>k年代pan>1年代pan>罪年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>.年代pan>□年代pan> 注意,在方波的跳跃不连续点附近,傅里叶级数的有限截断趋于过冲。这是傅里叶级数的一个常见方面对于任何不连续周期函数它被称为<年代trong>吉布斯现象年代trong>.
求第二个傅里叶系数<年代pan class="katex">
b年代pan>2年代pan>为<年代trong>锯齿波年代trong>,取值<年代pan class="katex">
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>x年代pan>在<年代pan class="katex">
0年代pan>≤年代pan>x年代pan><年代pan>2年代pan>并且在这个区域之外是周期性的。
求它的傅里叶级数
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>2年代pan>∣年代pan>x年代pan>−年代pan>0年代pan>.年代pan>5年代pan>∣年代pan>+年代pan>1年代pan> 为<年代pan class="katex">
−年代pan>0年代pan>.年代pan>5年代pan>≤年代pan>x年代pan>≤年代pan>1年代pan>.年代pan>5年代pan>在这个区域之外是周期性的。
提示:年代trong>首先尝试绘制给定函数。
应用和推广
热方程和球谐:年代trong>
傅里叶最初设计了用傅里叶级数来求解<年代trong>热方程年代trong>
∂年代pan>t年代pan>∂年代pan>T年代pan>−年代pan>α年代pan>∇年代pan>2年代pan>T年代pan>=年代pan>0年代pan>,年代pan>
在哪里<年代pan class="katex"> T年代pan>是温度,<年代pan class="katex"> t年代pan>是时间,<年代pan class="katex"> α年代pan>是一个常数。
从泛函分析可以看出,该算子的本征函数集<年代pan class="katex">
∇年代pan>2年代pan>=年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>在一维中是完备的,这意味着任何函数都可以用它们的线性组合来表示。在一维中,这些特征函数就是正弦函数和余弦函数。因为热方程的显著特征是操作者<年代pan class="katex">
∇年代pan>2年代pan>,通过傅里叶级数表示函数,傅里叶能够求解给定初始温度分布的材料中的渐近温度分布。
在高维方程中使用<年代pan class="katex">
∇年代pan>2年代pan>如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/schrodinger-equation/" class="wiki_link" title="薛定谔方程gydF4y2Ba" target="_blank">薛定谔方程一个>为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hydrogen-atom/" class="wiki_link" title="氢原子gydF4y2Ba" target="_blank">氢原子一个>,使用傅里叶级数的高维泛化更合适<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/spherical-harmonics/" class="wiki_link" title="球面谐波gydF4y2Ba" target="_blank">球面谐波一个>.
傅里叶变换:年代trong> 上述傅里叶级数足以表示任何周期函数。也可以说,这意味着三角函数是表示紧区间上函数的完整集合,因为任何周期函数都可以用一个有限周期上的函数来表示。
对于整个实直线上的任意函数不是周期性的,没有傅里叶级数是处处收敛的。但是,在这种情况下,可以用它来表示函数<年代trong>傅里叶变换年代trong>.给定一个函数<年代pan class="katex">
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,它的傅里叶变换写成
f年代pan>^年代pan>(年代pan>k年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>−年代pan>∞年代pan>∞年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>.年代pan> 我们可以把这个公式看成是定义傅里叶级数系数的内积。以前,系数是由一个离散变量数值索引的<年代pan class="katex">
k年代pan>.现在,该变量<年代pan class="katex">
k年代pan>是连续的,函数呢<年代pan class="katex">
f年代pan>^年代pan>(年代pan>k年代pan>)年代pan>给出振荡函数的“系数”的值<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>,这是一个
巴塞尔协议的问题:年代trong> 的<年代trong>巴塞尔协议的问题年代trong>在数学分析中,是否有一个众所周知的问题,涉及到计算某一数值的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-zeta-function/" class="wiki_link" title="黎曼ζ函数gydF4y2Ba" target="_blank">黎曼ζ函数一个>:
ζ年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>n年代pan>年代年代pan>1年代pan>.年代pan> 可以看出,对于值<年代pan class="katex">
年代年代pan>=年代pan>2年代pan>n年代pan>,在那里<年代pan class="katex">
n年代pan>一个正整数,这个函数取值
ζ年代pan>(年代pan>2年代pan>n年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>⋅年代pan>(年代pan>2年代pan>n年代pan>)年代pan>!年代pan>(年代pan>2年代pan>π年代pan>)年代pan>2年代pan>n年代pan>(年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>n年代pan>+年代pan>1年代pan>B年代pan>2年代pan>n年代pan>,年代pan>
傅里叶级数的推导
在线性代数中,向量<年代pan class="katex">
v年代pan>与组件<年代pan class="katex">
(年代pan>v年代pan>1年代pan>,年代pan>...年代pan>,年代pan>v年代pan>n年代pan>)年代pan>在标准基底中可以写成另一种标准正交基底<年代pan class="katex">
{年代pan>b年代pan>k年代pan>}年代pan>通过这个公式
v年代pan>=年代pan>k年代pan>∑年代pan>b年代pan>k年代pan>(年代pan>v年代pan>,年代pan>b年代pan>k年代pan>)年代pan>,年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
(年代pan>一个年代pan>,年代pan>b年代pan>)年代pan>表示内积或<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/dot-product-properties/" class="wiki_link" title="点积gydF4y2Ba" target="_blank">点积一个>的<年代pan class="katex">
一个年代pan>和<年代pan class="katex">
b年代pan>.
这个公式可以推广到函数,其中两个实函数的内积<年代pan class="katex">
f年代pan>和<年代pan class="katex">
g年代pan>成为一个整体。如果两个函数都有周期<年代pan class="katex">
T年代pan>,这个内积是(通过某种特定的标准化)
(年代pan>f年代pan>,年代pan>g年代pan>)年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>d年代pan>x年代pan>,年代pan> 一般来说,函数可以写成
f年代pan>=年代pan>k年代pan>∑年代pan>b年代pan>k年代pan>(年代pan>f年代pan>,年代pan>b年代pan>k年代pan>)年代pan> 对于任意一组基函数<年代pan class="katex">
b年代pan>k年代pan>.
傅里叶级数是一种特殊的用基来重写函数的方法<年代pan class="katex">
{年代pan>b年代pan>k年代pan>}年代pan>=年代pan>{年代pan>f年代pan>k年代pan>}年代pan>∪年代pan>{年代pan>g年代pan>k年代pan>}年代pan>.也就是说,基函数是两个特殊的函数集的组合<年代pan class="katex">
{年代pan>f年代pan>k年代pan>}年代pan>和<年代pan class="katex">
{年代pan>g年代pan>k年代pan>}年代pan>.这些集合就是函数
f年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>,年代pan>g年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>,年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
k年代pan>∈年代pan>{年代pan>0年代pan>,年代pan>1年代pan>,年代pan>2年代pan>,年代pan>...年代pan>}年代pan>范围覆盖非负整数。
写出基底随这些函数的变化,任何函数<年代pan class="katex">
f年代pan>可以分解成傅里叶级数吗
f年代pan>=年代pan>2年代pan>一个年代pan>0年代pan>+年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>一个年代pan>k年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>+年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>b年代pan>k年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan> 的系数<年代pan class="katex">
一个年代pan>k年代pan>和<年代pan class="katex">
b年代pan>k年代pan>由内积定义
一个年代pan>k年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>,年代pan>b年代pan>k年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>,年代pan> 如前所述。
参考文献
- Thenub314。
方波的傅里叶级数 .从检索<一个href="https://en.wikipedia.org/wiki/Square_wave">https://en.wikipedia.org/wiki/Square_wave一个>
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