Ford-Fulkerson算法

Ford-Fulkerson算法是一种解决最大流min-cut问题。也就是说，给定一个网络，它有一些顶点和这些顶点之间的边，这些顶点之间有一定的权值，网络一次能处理多少“流量”?流可以是任何东西，但通常是指通过计算机网络的数据。

它是由福特和富尔克森于1956年发现的。这种算法有时称为方法，因为它的协议的某些部分没有完全指定，并且可以从实施实现而变化。算法典型地指的是用于解决问题的特定协议，而方法是有问题的更一般的方法。

Ford-Fulkerson算法假设输入是图形那 $G$连同源顶点， $S.$，和汇聚顶点， $T.$．图是一个加权图的任何表示，其中顶点由指定权值的边连接。还必须有一个源顶点和汇聚顶点来理解流网络的起点和终点。

Ford-Fulkerson具有复杂性 $Ø\大（| E | \ CDOT˚F^ {*} \大）$在哪里 $f ^ {*}$为网络的最大流量。福特-福克森算法最终被Edmonds-Karp算法，它做同样的事情在 $O \大(V ^ 2 \ cdot E \大)$时间，与最大流量无关。

算法背后的直觉非常简单（即使实施细节也可以遮挡这一点）。想象一下只是汽车的流量网络。每条道路都可以持有一定数量的汽车。这可以通过以下图形说明。

流动网

直觉就是这样的：只要有一个路径从源到水槽可以采取一些流量的整个方式，我们发送它。这条路径被称为增广路径．直到有没有更多的增广路径我们一直在这样做。在上图中，我们可以通过发送2台车沿最顶端的路径（因为只有2辆可以通过最后一部分得到）开始。然后，我们可能会发送3辆汽车沿着底部路径共5辆。最后，我们可以发送沿着顶部路径2路车多了两个边，把他们下到底层路径，并通过与水槽。送车的总数现在是7，这是最大流量。

为什么在前面的例子中，我们只能在最后的增强路径中发送2辆车?

显示答案

我们已经沿着顶级派了两辆汽车的第一个增强路径。这意味着沿着该顶级路径的前两个边缘已经存在 $2／4$容量。因此，这些边缘不适合任何超过2辆车，所以他们在过去的增广路径的限制因素。

这就是为什么计算增强路径对于较大和更复杂的流量网络变得棘手。处理这个，剩余图在找到每个增广路径并使其最大化后生成。残差图显示了不同路径的容量和它们当前的流量之间的差异，并允许未来增加路径的精确计算。 $_\正方形$

这个方法的伪代码非常短;然而，有一些功能需要进一步讨论。下面是简单的伪代码。

这种伪代码不是写在任何特定的计算机语言。相反，它是算法的非正式高级别描述。

Ford-Fulkerson算法 $（$图 $G$， 来源 $S.$， 下沉 $t）：$

1 2 3 4 5 6 7

初始化流到0路径= findAugmentingPath（G，S，T），而路径存在：沿着路径＃此扩充流为现在G_f = createResidualGraph（）路径= findAugmentingPath（G_f，S，T）返回流目的地暧昧

基本上，这个简化的版本说的是，只要有从源到水槽的路径可以处理更多流量，就会发送该流程。以下是伪代码的版本，用于更深入地解释流量增强：

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

对于g：流量（u，v）= 0的每个边缘（u，v）流程= 0，而残余网络中的s  - > t在s  - > t中的路径p_f：diredual_capacity（p）= min（残差_capacity（u，v）：for（v）在p）流= p中的流量+残差（p）为p中的每个边缘（u，v）：if（v）是正边缘：flow（u，v）=流量（u，v）+残差_capacity（p）else：flow（u，v）=流量（u，v） - 残差_capacity（p）返回流程

该算法是比较明确的。唯一的不明确的一点是在线路8.“FOWARD边缘”术语当一个剩余图， $G_f$，则可以创建与原始图相反方向的边。如果一条边在原始图中存在，那么它就是一条“前边”， $G$．如果它是一个原始边缘的反转，它被称为“向后边缘”。

残余图是计算最大流量的重要中间步骤。如上所述伪代码，每一步都要计算它们，这样就可以找到从源到汇的增广路径。为了理解它们是如何创建和使用的，我们可以使用直觉部分。

然而，在查看残差图之前，有一个重要的属性是必须理解的。剩余容量是在上述伪代码中使用的术语，它在剩余图形创建中发挥着重要作用。在给定流量被带走后，剩余容量被定义为新容量。换句话说，对于给定的边缘 $（紫外线）$，剩余容量， $C_F$被定义为

$C_f (u, v) = c(u, v) - f(u, v)$

但是，也必须有一个剩余的能力逆转边缘。这最大流最小割定理流的状态必须保存在网络中。所以，下面的等式总是成立的:

$F（U，V）= -f（V，U）。$

有了这些工具，就有可能计算出流动网络中任何边(向前或向后)的剩余容量。然后，利用这些剩余容量构造剩余网络， $G_f$．

采用原始的直觉网络并向顶点添加标签，我们现在有这个：

Ford-Fulkerson之前的流量网络

结果表明，2个单位的流动可沿最上面的路径首先被推动。当发生这种情况，只有三个边缘受到影响：（S，A），（A，B），和（B，T）。（S，A）和（A，B）以相同的方式受到影响，因为它们具有相同的容量。两件事情：

1. 朝前方向，则边的剩余容量为 $C_f (u, v) = c(u, v) - f(u, v)$．流程等于2，因此（S，a）和（a，b）的剩余容量减小到2，而边缘（b，t）的剩余容量为0。
2. 反向，则边的剩余容量为 $C_f (v, u) = c(v, u) - f(v, u)$．由于流量保存，这可以写成 $C_F（v，u）= c（v，u）+ f（u，v）$．由于这些后向边的容量最初是0，所有后向边(T, B) (B, A)和(A, S)的剩余容量都是2。

当用这些新边构造一个新的残差图时，不包括任何具有类0 (B, T)残差容量的边。

1轮后的残差图

现在，必须找到一条新的增强路径 $（$最上面的路径不能被再次使用，因为边缘（B，T）被抹掉 $)．$可以选择底部路径，并沿其发送3条流。得到的曲线图如下:

2轮后残留图

最后，为2的流动可沿路径发送[（S，A），（A，B），（B，C），（C，d），（d，T）]，因为沿着最小剩余容量路径是2。在此之后完成最后的剩余图如下：

3轮后的残差图

没有更多的路径从源头到水槽，所以不能有更多的扩展路径。因此，循环完成。流量，7，是最大流量。

福特-Fulkerson算法是直接实现一次的概念剩余图据了解。如上所述，该算法通常称为方法，因为未完全指定在残余图中找到增强路径的方法。这种实现是这样做的一种方式。

下面的实现是不经过实战检验，并且只意味着是一个学习工具．

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班级顶点：def__在里面__（自己那姓名那源=错误的那水槽=错误的)：自己．姓名=姓名自己．源=源自己．水槽=水槽班级边缘：def__在里面__（自己那开始那结尾那容量)：自己．开始=开始自己．结尾=结尾自己．容量=容量自己．流=0.自己．restryedge.=没有任何班级flownetwork.：def__在里面__（自己)：自己．顶点=[]自己．网络={}defgetSource.（自己)：为了顶点在自己．顶点：如果顶点．源==.真正的：返回顶点返回没有任何defgets（自己)：为了顶点在自己．顶点：如果顶点．水槽==.真正的：返回顶点返回没有任何defgetvertex.（自己那姓名)：为了顶点在自己．顶点：如果姓名==.顶点．姓名：返回顶点defvertexInNetwork（自己那姓名)：为了顶点在自己．顶点：如果顶点．姓名==.姓名：返回真正的返回错误的def阁（自己)：答案=[]为了顶点在自己．网络：为了边缘在自己．网络[顶点]：答案．附加（边缘）返回答案defaddVertex（自己那姓名那源=错误的那水槽=错误的)：如果源==.真正的和水槽==.真正的：返回“顶点不能被源和汇”如果自己．vertexInNetwork（姓名)：返回“重复的顶点”如果源==.真正的：如果自己．getSource.（）！=没有任何：返回“源已经存在”如果水槽==.真正的：如果自己．gets（）！=没有任何：返回“沉已经存在”newVertex=顶点（姓名那源那水槽）自己．顶点．附加（newVertex）自己．网络[newVertex．姓名]=[]defaddEdge（自己那开始那结尾那容量)：如果开始==.结尾：返回“不能有相同的起点和终点”如果自己．vertexInNetwork（开始）==.错误的：返回“起始顶点还没有添加”如果自己．vertexInNetwork（结尾）==.错误的：返回“末端顶点尚未添加”newEdge=边缘（开始那结尾那容量）restryedge.=边缘（结尾那开始那0.）newEdge．restryedge.=restryedge.restryedge.．restryedge.=newEdge顶点=自己．getvertex.（开始）自己．网络[顶点．姓名]．附加（newEdge）returnVertex=自己．getvertex.（结尾）自己．网络[returnVertex．姓名]．附加（restryedge.）defgetpath.（自己那开始那结尾那小路)：如果开始==.结尾：返回小路为了边缘在自己．网络[开始]：残留物理性=边缘．容量-边缘．流如果残留物理性>0.和不是（边缘那残留物理性）在小路：结果=自己．getpath.（边缘．结尾那结尾那小路+[（边缘那残留物理性)))如果结果！=没有任何：返回结果defcalculatemaxflow.（自己)：源=自己．getSource.（）水槽=自己．gets（）如果源==.没有任何或水槽==.没有任何：返回“网络没有源和汇”小路=自己．getpath.（源．姓名那水槽．姓名那[]）而小路！=没有任何：流=最小值（边缘[1]为了边缘在小路）为了边缘那res.在小路：边缘．流+ =流边缘．restryedge.．流- =流小路=自己．getpath.（源．姓名那水槽．姓名那[]）返回总和（边缘．流为了边缘在自己．网络[源．姓名]）

在线定义的类1是一个简单的顶点班级。它只有一个名称，我们用于边缘创建（和调试），无论顶点是否是源或宿者。在线的7.， 这边缘类是定义的。此类具有起始顶点（仅仅是顶点的名称，而不是类实例），结束顶点，容量，流量，以及在残差图中使用的返回边缘的指针。边缘的容量是它的总重量可以进而边缘的流动是它是重目前携带。

这flownetwork.在线定义类15有两个属性。这顶点属性是图表中顶点所有实例的列表。此列表包含整个对象，将顶点的名称链接到其源和宿属性。这网络字典是一种数据结构，每个顶点的名称映射到未来所有相应的顶点出了边线。通过简单地具有顶点的名字充当字典的键，我们可以轻松地来回切换“顶点”和“网络”之间，以适应算法的需求。

线20-48含有各种辅助功能，使后来的功能更容易，帮助减少代码的重复。例如，上线功能32那getVertex ()取一个顶点名，然后去找整个顶点对象flownetwork.的顶点属性。

addVertex（）在线的50增加了一个顶点到图中它检查后各种错误情况，以确保可以加入顶点。它增加了整个顶点到顶点在一行62.并将顶点名称添加到一个空的线上边列表中63.．添加（）在线的65.首先检查起始顶点和结束顶点都在图中，并且它们不是同一个顶点。然后，它创建新的边和相应的返回边，容量为0。然后，它将新的边缘在线添加到网络地图中77.并在线添加返回边缘到同一地图79.．

在“的getPath（）”上线功能81.做这门课上重要的工作。这是一个递归功能通过在给定顶点开始的流量网络散步，并计算每个边缘的剩余容量。这种剩余容量用于决定沿着下一个功能中的给定路径发送多少流。将路径生长，直到它到达流量网络的末端;此时递归的基本情况在线调用82.函数结束。

calculateMaxFlow ()在线的91.是什么电话getpath.使用正确的参数并增加最大流量。它首先找到网络的源头和汇。然后，它计算行上的初始增强路径96.．然后，我们开始了重要的福特Fulkerson增法，并继续计算流量，同时还有一个路径。虽然是一个路径，可增广容量是在路径的每个边缘，因此流可在线计算出98.．该流程被添加到前边缘并从反向边缘中减去。然后，计算另一条路径并恢复过程。最后，我们只需要计算出来的总流量，因为这是通过整个网络的精确流量（因为我们只有一个来源）。

说明以上Python实现，我们可以从中构建完全相同的图表直觉部分。

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FN.=flownetwork.（）FN.．addVertex（'那真正的那错误的）FN.．addVertex（'T'那错误的那真正的）地图（FN.．addVertex那[“一个”那“b”那“c”那' d ']）FN.．addEdge（'那“一个”那4.）FN.．addEdge（“一个”那“b”那4.）FN.．addEdge（“b”那'T'那2）FN.．addEdge（'那“c”那3.）FN.．addEdge（“c”那' d '那6.）FN.．addEdge（' d '那'T'那6.）FN.．addEdge（“b”那“c”那3.）

流动网络被创建，所以它顶点和网络可以检查。但是，这些属性包含完整的对象—顶点属性包含顶点对象和网络属性包含边缘对象。因此，我们需要把它清理干净一点。

1 2 3 4

>>>[顶点．姓名为了顶点在FN.．顶点]['那'T'那“一个”那“b”那“c”那' d ']>>>['％S.->％S.'％（E.．开始那E.．结尾）为了E.在FN.．阁（）][“- >”那“a - b >”那'C  - > S'那'c  - > D'那“c - > b”那“b - >“那'B  - > T'那'b  - > c'那“d - > c”那'd  - > t'那的 - >一个“那的 - > C'那't  - > b'那't  - > d']

记住，边缘是向内的getedges（）还包含了所有的反向边。现在，这个类可以计算出自己的最大流量。

1 2

>>>FN.．calculatemaxflow.（）7.

这是我们发现早期检查相同的答案。

当'fn.calculateMaxFlow()'被调用时，'getEdges()'中的边的'capacity'和'flow'属性会发生什么?

提示:这回答向前边和向后边有一点不同。

显示答案

一旦这个过程完成，所有的前边都尽可能地填满，而反向边则反映出填满的状态。随着最大流最小割定理状态，网络的总流量必须保留。因此，对于与端点给定边 $（紫外线）$，前向和后向边的流量将总和为0，就像过程开始时一样。

这里是调用前和调用后的区别fn.calculateMaxFlow ()：

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>>>['％S.->％S.;％S./％S.'％（E.．开始那E.．结尾那E.．流那E.．容量）为了E.在FN.．阁（）][“一 - > S;-4/0'那'a - > b;4/4'那'c - > s;-3/0'那“c - > d;5/6'那'c - > b;-2/0'那“B - >一个;-4/0'那“b - > t;2/2的那“b - c >;2/3的那' d - > c;-5/0'那'd - > t;5/6'那's - > a;4/4'那's - > c;3/3'那“t - > b;-2/0'那“T - > d;-5/0']>>>FN.．calculatemaxflow.（）7.>>>['％S.->％S.;％S./％S.'％（E.．开始那E.．结尾那E.．流那E.．容量）为了E.在FN.．阁（）][“一 - > S;-4/0'那'a - > b;4/4'那'c - > s;-3/0'那“c - > d;5/6'那'c - > b;-2/0'那“B - >一个;-4/0'那“b - > t;2/2的那“b - c >;2/3的那' d - > c;-5/0'那'd - > t;5/6'那's - > a;4/4'那's - > c;3/3'那“t - > b;-2/0'那“T - > d;-5/0']

如果你画出所有的边，你会看到你创建的图形和剩余图部分。

Ford-Fulkerson的分析很大程度上依赖于如何找到增广路径。典型的方法是使用广度优先搜索寻找路径。如果使用这种方法，福特富尔克森运行在多项式时间。

如果所有流都是整数，那么福特-Fulkerson的while循环最多运行 $| f ^ {*} |$次, $f ^ {*}$为最大流量。这是因为流程在每次迭代中最多增加1。

查找增广路径中while循环需要 $O \大(V + E ^{} \大),$在哪里 $e ^ {'}$是该组中的残余图中的边。这可以简化为 $O (E)$．因此，福特富尔克森的运行时间 $大(E O \ \ cdot | f ^{*} | \大)。$