流体力学gydF4y2Ba

流体力学是流动物质的物理学，包括但不限于汽车通过交通网格，废物通过下水道系统，气体通过引擎，或汁液将蔗糖从树叶移动到树的远端。流体力学的其他例子包括浮力(为什么你会在死海中漂浮)、表面张力、伤口愈合、沸腾液体中的图案形成(所谓的Rayleigh-Bènard对流)，以及蚂蚁或鸟群的一致运动。gydF4y2Ba

熔岩，流动的熔岩，是流体的一个例子gydF4y2Ba

流体的名声不好，因为它们的详细行为是由纳维-斯托克斯方程控制的，这构成了巨大的数学难题。令人高兴的是，为了获得对流体行为的深入了解，往往不需要求解这些方程。使用正确的近似集通常可以取得进展。首先，我们将分析一个非常简单的问题，即浮动问题的机制。gydF4y2Ba

如果你跳进水里，你很有可能会浮起来，不管是咸水还是淡水，但如果你扔一个铁砧，它会直接沉到水底。一个浮在水面上，另一个沉在水面上的原因很简单，只要直接考虑一池水，没有人，没有铁砧，也没有其他碎片就可以得到。考虑一下水的选择，gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$在池中，体积gydF4y2Ba $V_ {\ textrm {H} _2 \ textrm {O}}gydF4y2Ba$任意形状，用下图中的黑色闭合圆表示。gydF4y2Ba

因为水池在重力场中，gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$是被力拉下来的吗gydF4y2Ba

$H F = m_ {\ textrm {} _2 \ textrm {O}} g = V_ {\ textrm {H} _2 \ textrm {O}} \ rho_ {\ textrm {H} _2 \ textrm {O}} ggydF4y2Ba$

现在，池在容器内保持稳定的形状，因此任意体积上的力都是平衡的。具体地说，任何一卷gydF4y2Ba $V_ {\ textrm {H} _2 \ textrm {O}}gydF4y2Ba$在池子里有一股向上的力量gydF4y2Ba $V{\textrm{H}{u2\textrm{O}}\rho{\textrm{H}{u2\textrm{O}}ggydF4y2Ba$,被称为gydF4y2Ba浮力gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

游泳池不知道gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$是水的体积，如果我们替换gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$与其他物质体积相同，重量相同gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$，它会感受到同样的浮力，漂浮在原地。事实上，如果我们替换gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$对于任何体积相同的物体，不管它的重量如何，它都会感受到相同的浮力。因此，我们得出了阿基米德的原理。gydF4y2Ba

Archimede的原则gydF4y2Ba

物体上的浮力是垂直的，与物体所排开的液体的重量相等且相反。gydF4y2Ba

$f \文本{活跃}={流体}\ rho_ \文本V_ \文本对象}{ggydF4y2Ba$

无论流体是水、糖浆、空气还是其他简单的流体，这个观点都成立。gydF4y2Ba

冰块gydF4y2Ba

阿基米德原理可以解释为什么冰块会浮到饮料的顶部。水在结冰时体积膨胀，因此体积gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$液态水的体积gydF4y2Ba $V^\prime>VgydF4y2Ba$冻结的冰。因为它感受到的力与它的体积成正比，而重力的拉力与它不变的重量成正比，所以冰感受到的是一个向上的合力gydF4y2Ba $F = g left(V^ ' - V\right)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

物理治疗gydF4y2Ba

即使是最终沉下去的物体，阿基米德的原理也表明其重量明显减轻。当行走在水中，一个人的质量gydF4y2Ba $毫克ydF4y2Ba$谁通常会觉得自己有体重gydF4y2Ba $毫克gydF4y2Ba$会觉得体重减轻了吗gydF4y2Ba $mg-V_ \文本{人类}\ rho_ {\ textrm {H} _2 \ textrm {O}} ggydF4y2Ba$．因为肉的密度大约是0.97克/毫升，一个典型的人的体重将是gydF4y2Ba

$\{对齐}mg -开始\压裂{m} {\ rho_ \文本{肉}}\ rho_ {\ textrm {H} _2 \ textrm {O}} g \ \ & =毫克\离开(1 - \压裂{\ rho_ {\ textrm {H} _2 \ textrm {O}}} {\ rho_ \文本{肉}}\)\ \ & \大约0.03毫克\倍\{对齐}结束gydF4y2Ba$

只有正常体重的3%这使游泳池成为物理治疗师的一个方便的地方，他们需要开始教人们走路，在他们的腿足够强壮，可以正常行走。gydF4y2Ba

对于活跃流动的流体，我们需要比力的平衡更好的东西。幸运的是，我们可以通过一个简单的假设走很长的路，gydF4y2Ba物质守恒gydF4y2Ba．当流体从一个位置移动到另一个位置时，它必须以一种不破坏流体物质的方式移动。gydF4y2Ba

例如，如果我们以…的速度向管口注射液体gydF4y2Ba $J_文本{}= \ \如果{1}{\升\ / \第二}gydF4y2Ba$，我们应该找到它gydF4y2Ba $\ SI{1}{\升}gydF4y2Ba$每秒钟有一个液体从另一侧流出，即gydF4y2Ba $J_ \文本{}{出}= J_ \文本gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

对于一个玩具模型，考虑下面一个由一个水平管组成的装置。gydF4y2Ba $\Gamma\uux\text{A}gydF4y2Ba$与面积的横截面gydF4y2Ba $A_AgydF4y2Ba$，由连接部分连接到另一水平管gydF4y2Ba $文本\ Gamma_ \ {B}gydF4y2Ba$与横截面gydF4y2Ba $A_BgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

我们想要找到一个关系，连接速度和压力的流体在管的任何一段。gydF4y2Ba

首先，让我们假设我们的系统是椎间盘之间的液体gydF4y2Ba ${一}\ partial_ \文本gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $文本\ partial_ \ {B}gydF4y2Ba$在时刻0，我们称之为gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$．为了让gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$要向右流动，必须有一个净力推动它。如果油液压力在gydF4y2Ba $\Gamma\uux\text{A}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $P_AgydF4y2Ba$是否大于流体压力gydF4y2Ba $\ Gamma_ {B}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $P_BgydF4y2Ba$左边的液体gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\ Sigma_LgydF4y2Ba$会以比液体更大的力向右推gydF4y2Ba $\ Sigma_RgydF4y2Ba$,因此gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$将流。这两种力是gydF4y2Ba $P_A A_AgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $P_B A_BgydF4y2Ba$分别。gydF4y2Ba

应用功能原理，我们有gydF4y2Ba $W = T + UgydF4y2Ba$．对我们这部分流体来说，在运动中两个压力做功gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$沿着地铁。考虑在一段时间内进行的流动gydF4y2Ba $\δtgydF4y2Ba$．在gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$将移动距离gydF4y2Ba $v_A \δtgydF4y2Ba$，及gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$将移动距离gydF4y2Ba $v_B \δtgydF4y2Ba$．因此，网络起作用了gydF4y2Ba $WgydF4y2Ba$对于流体的功是由左边的流体对流体做的功给出的gydF4y2Ba $\ Sigma_LgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $F dx = P_A A_A v_A tgydF4y2Ba$，减去流体对右边流体做的功gydF4y2Ba $\ Sigma_RgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $P_B A_B v_B tgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

$W = P_A A_A v_A t - P_B A_B v_B tgydF4y2Ba$

但是，我们有守恒条件gydF4y2Ba $J_ \文本{}{出}= J_ \文本gydF4y2Ba$哪些适用于光盘gydF4y2Ba $\ partial_AgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\ partial_BgydF4y2Ba$．因此，它一定是真的gydF4y2Ba $A_A va \ t = A_B va \ tgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

换句话说，流体的体积gydF4y2Ba $δm \gydF4y2Ba$流经gydF4y2Ba $\ partial_AgydF4y2Ba$等于流出的液体的质量gydF4y2Ba $\ partial_BgydF4y2Ba$．因此,gydF4y2Ba

$W = Delta V \左(P_A-P_B\右)gydF4y2Ba$

现在，所做的工作gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$等于液体的能量变化。流体的动能gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$应该和以前一样，只是数量不同gydF4y2Ba $δm \gydF4y2Ba$最初以一定速度运动的液体gydF4y2Ba $v_AgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$现在是以速度运动吗gydF4y2Ba $v_BgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $\伽马gydF4y2Ba$,因此gydF4y2Ba $\Delta T=\frac12\rho\Delta V_B^2-\frac12\rho\Delta V_A^2gydF4y2Ba$．所以,我们有gydF4y2Ba $(P_A ^2 - P_B ^2) = (P_A ^2 - P_B ^2) = (P_A ^2 - P_B ^2)gydF4y2Ba$,或gydF4y2Ba $P_A + fr12 \rho v_A^2 = P_B + fr12 \rho v_B^2gydF4y2Ba$，这是流体在水平高度任意管中的伯努利关系。gydF4y2Ba

在这个推导过程中，为了简单起见，管子保持在相同的水平。当两个管段在重力场中的高度不同时，重新计算我们的关系是很简单的，就像公寓楼的管道系统一样。在这种情况下gydF4y2Ba功能原理gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba $W = T + UgydF4y2Ba$因此，我们有了完整的伯努利关系gydF4y2Ba

$P_A + \frac12\rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac12\rho v_B^2 + \rho gh_BgydF4y2Ba$

注意，我们的计算不依赖于任何方式，我们使用的特定设置(两个管和连接部分)。同样的计算也适用于任意形状的管子，它在引力场中执行任意轨迹。因此，该关系可用于连接流体流动的任意两个横截面。gydF4y2Ba

伯努利关系式有许多应用，特别是在液压方面。gydF4y2Ba

叉车gydF4y2Ba

假设一个昏昏欲睡的叉车司机笨拙地停在山上，没有使用紧急刹车。突然，叉车滑倒了，开始向后滚下山。为了在撞上一辆装满泰迪熊的校车前停下来，必须对盘刹施加150牛的法向力。假设这个力是由一个表面积为2米的活塞产生的gydF4y2Ba $^ 2gydF4y2Ba$由液压系统连接至表面积为0.02 m的脚踏杆gydF4y2Ba $^ 2gydF4y2Ba$．为了施加所需的力，操作人员必须用多大的力踩在杠杆上?假设从刹车到杠杆没有明显的高度差。gydF4y2Ba

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在这个问题中，流体将力从操作人员的脚传递到刹车片。刹车片在它们压下的圆盘上悬停，所以我们可以假设流体速度可以忽略不计。事实上，一旦脚被压在杠杆上，这种安排将是静态的。在这种情况下，伯努利关系简化为gydF4y2Ba

$P\uText{foot}=P\uText{brake}gydF4y2Ba$

因为压强是由单位面积上的力给出的gydF4y2Ba $f \ \压裂{文本{脚}}{现代\文本{脚}}= \压裂f \文本{制动}{}{现代文本\{制动}}gydF4y2Ba$

屈服gydF4y2Ba

$f \文本{脚}= f \文本{制动}\乘以\压裂{现代\文本{脚}}{制动}}{现代\文本1.5 \文本{N}gydF4y2Ba$

活塞区域的不对称使操作人员比制动系统具有显著的机械优势，使操作人员很容易施加所需的巨大力。gydF4y2Ba