层功能
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- 代数>
的层功能(又称最大的整数的函数) ⌊⋅⌋:R→Z实数的 x表示小于或等于的最大整数 x.例如, ⌊5⌋=5,⌊6.3.59⌋=6,⌊7 ⌋=2,⌊π⌋=3.,⌊−13..42⌋=−14.
一般来说, ⌊x⌋唯一整数满足吗 ⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1.
让 {x}表示<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/factional-part-function/" class="wiki_link" title="小数部分" target="_blank">小数部分一个>的 x与 0≤{x}<1例如, {2.13.7}=0.13.7.然后 x=⌊x⌋+{x}对于任何实数 x.例如, 3..1416=3.+0.1416,与 ⌊x⌋=3.和 {x}=0.1416.
层功能
关键的事实是 ⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1往往足以解决涉及楼层功能的基本问题。
求的所有值 x满足 ⌊0.5+⌊x⌋⌋=20.
让 ⌊x⌋=y.然后 ⌊0.5+y⌋=20.这个等价于 20≤y+0.5<21,或 19.5≤y<20.5.自 y为整数,且 y=20这个区间内唯一的整数是这个吗 y=20=⌊x⌋.任何值小于 21大于等于 20满足这个方程。因此,答案是所有的实数 x这样 20≤x<21.□
其他属性:
(1) ⌊x+n⌋=⌊x⌋+n对于任何一个整数 n.
(2) ⌊x⌋+⌊−x⌋={−10如果x∈/Z如果x∈Z.
(3) ⌊x+y⌋=⌊x⌋+⌊y⌋或 ⌊x⌋+⌊y⌋+1.
这些的证明是很简单的。为了说明,这里有一个证明(2) x是整数吗 ⌊x⌋+⌊−x⌋=x+(−x)=0.如果 x不是整数吗 ⌊x⌋<x<⌊x⌋+1.然后 −⌊x⌋−1<−x<−⌊x⌋,不等式的外面是连续的整数,所以不等式的左边必须相等 ⌊−x⌋,通过介绍中给出的最大整数函数的表征。
所以 ⌊−x⌋=−⌊x⌋−1,或 ⌊x⌋+⌊−x⌋=−1. □
地板和天花板功能-问题解决
涉及层函数的问题 x通常通过写作来简化 x=n+r,在那里 n=⌊x⌋为整数,且 r={x}满足 0≤r<1.
如果 ⌊x⌋{x}=1和 ⌊x⌋2−⌊x⌋(1+x)+4=0,什么是价值 x?
写 x=n+r与 n=⌊x⌋和 r={x}如上建议。那么第一个方程就是 nr=1.展开并重新排列第二个方程,
n2−n(1+n+r)+4−n−nr+4−n+3.=0=0=0,
所以 n=3..因此, r=3.1和 x=n+r=3.10. □
底函数在微积分中的应用
涉及底函数的定积分和和在问题和应用中是很常见的。最好的策略是将积分(或求和)区间分解成若干块,在这些块上底层函数是常数。
评估 0∫∞⌊x⌋e−xdx.
将积分分解成形式的小块 n∫n+1⌊x⌋e−xdx=n∫n+1ne−xdx=−ne−x∣∣∣nn+1=n(e−n−e−(n+1))=ne−(n+1)(e−1).积分就是这些部分的和 n: ∫0∞⌊x⌋e−xdx=n=0∑∞∫nn+1⌊x⌋e−xdx=n=0∑∞ne−(n+1)(e−1)=(e−1)n=0∑∞en+1n,但 n=0∑∞nxn+1=x2n=0∑∞nxn−1=(1−x)2x2通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series-manipulation/" class="wiki_link" title="对几何级数求导" target="_blank">对几何级数求导一个>,所以答案是 (e−1)(1−e1)2(e1)2=(e−1)(e−1)21=e−11.□
楼层功能的其他应用
底函数的一个常见应用是求a的最大次幂<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-numbers/" class="wiki_link" title="主要的" target="_blank">主要的一个>将一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/factorials-properties/" class="wiki_link" title="的阶乘" target="_blank">的阶乘一个>.
让 p是质数 n一个正整数。最大的力量 p分 n!是 pk,在哪里
k=⌊pn⌋+⌊p2n⌋+⋯=我=1∑∞⌊p我n⌋.
上的感应 n.的基本情况 n=1是清楚的(两边都是0),如果它是真的 n−1,然后是最大的幂 p分 n!=(n−1)!⋅n是 pℓ,在哪里 ℓ=vp(n)+我=1∑∞⌊p我n−1⌋,在哪里 vp(n)是最大的 k这样 pk∣n.现在很清楚 ⌊p我n⌋−⌊p我n−1⌋=1如果 p我分 n,和 0否则。的数量 我≥1这样 p我分 n只是 vp(n),所以 我=1∑∞⌊p我n⌋−我=1∑∞⌊p我n−1⌋我=1∑∞⌊p我n⌋=vp(n)=vp(n)+我=1∑∞⌊p我n−1⌋,这是 ℓ,根据需要。 □
参考文献
- 高频质谱仪。层功能.2006年3月30日从<一个href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Floor_function.svg">https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Floor_function.svg一个>
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