费米估计gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba费米估计gydF4y2Ba是一种使用粗略的计算和粗略的概括来估计需要广泛的分析或实验才能准确确定的值的方法。gydF4y2Ba
物理学是为了实现对诸如电子的磁矩等棘手问题的极度准确的预测,通过太阳的重力,光线的偏转,或者在太阳周围的行星轨道。然而,准确性通常是计算计算成本。gydF4y2Ba
例如,计算甚至一个贫穷估计温度玻色-爱因斯坦凝聚态的形式要求大多数人大概15年的准备,和一个精确计算商业飞机的飞行完全是棘手的如果没有复杂的软件系统,处理困难的数值计算。如果需要一个漂亮的、美观的分析结果,那么许多物理问题就不会发生。事实上,正式计算的诱惑可能是一个严重的障碍。每当数学无法控制时,放松要求,接受一种虽然不精确,但却能让我们向前迈进的方法通常是一个好主意。gydF4y2Ba
内容gydF4y2Ba
亚数次数gydF4y2Ba
如果阿富汗和伊拉克战争的成本是在美国纳税人的汽油价格中的考虑因素,每加仑有效的战争税将是多少?根据每个人的能量,更有效,太阳能或风更有效?美国有多少破解的iPhone屏幕修理官?这些问题中的每一个都可能完全令人困惑,至少如果在一步中试图猜出答案。谁有任何这些数字的直觉?由于几个原因,它们在正常经验之外。在战争税问题的背景下gydF4y2Ba
- 其中一些数字非常大,而人类对大数字的判断能力很差。gydF4y2Ba
- 有完全未知的因素,比如驾驶的英里数每年由一个典型的人,战争的大小的黑色预算(秘密行动),或稳定的石油输出国组织(OPEC)在缺乏美国的外交政策,这可能是重要的因素找到一个准确的答案。gydF4y2Ba
然而,这些问题可以通过将大问题分解成适当的子问题来解决。gydF4y2Ba
一个典型的MLB球队每个赛季的收入是多少?gydF4y2Ba
主要的问题是一个相当高的要求,但可以作出一些合理的假设。gydF4y2Ba
球队收入的主要来源之一必须是gydF4y2Ba门票销售gydF4y2Ba,或者他们只是在一个地方玩游戏,并向各自的城市广播。所以,假设门票销售弥补了损失gydF4y2Ba 一个典型的美国职业棒球大联盟球队的利润(如果它被证明是极端错误的,这总是可以被重新考虑)。gydF4y2Ba
一支球队每年的门票收入是多少?gydF4y2Ba大多数大联盟球场都有空间容纳gydF4y2Ba 球迷出席。假设在大多数日子里,体育场大约是gydF4y2Ba 满座,因为他们可能计划让体育场在电视上看起来不会太空,但如果有更高的兴趣,有足够的空间容纳额外的球迷。gydF4y2Ba
在一个规模相当大的市场上,球迷可以花20美元(看洛杉矶天使队比赛的个人估计)买到一个很糟糕的座位。一个非常好的座位可能要花2500美元。让我们假设分布是不对称的,大多数座位都还好,所以平均票价略高于超差座位gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
最后,每队比赛gydF4y2Ba 每年的比赛,平均来说,每一场比赛的利润与对方球队分享。因此,一个典型的MLB球队的年收入大约是gydF4y2Ba 百万。gydF4y2Ba
的gydF4y2Ba真正的答案是2.26亿美元gydF4y2Ba,这意味着这个估计非常准确,肯定比它应有的准确得多。gydF4y2Ba
在不了解任何MLB球队的实际收益的情况下,我们能够将这个大问题分解成几个更易于处理的子问题,我们可以用我们的常识进行推理:gydF4y2Ba
- 体育场容量gydF4y2Ba
- 典型的出勤率gydF4y2Ba
- 机票价格gydF4y2Ba
- 一个赛季的比赛数gydF4y2Ba
- 对票价对收入贡献的合理猜测gydF4y2Ba
通过将所有五个子问题的答案相乘,我们得到了团队收益的一个非常好的近似。gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba费米问题gydF4y2Ba是对任意数字的粗略计算,通过确定该数字的适当因素,使其易于得到,这些因素是可以从一般经验中获得的。根据问题的难度,以及需要接触常识的子问题的数量,人们通常可以希望正确到2或3的倍数内,其他时间在正确的数量级内。gydF4y2Ba
你是一名宇航员,还有几个小时就要出发执行一项星系间的太空任务了,你正坐在卡纳维拉尔角附近的大西洋岸边,最后一次欣赏这风景。这个任务特别艰巨;因为你们飞船的相对速度,地球将在你们回来的时候进入10亿年的未来。gydF4y2Ba
沮丧得说不出话来,在你最虚弱的时候,你决定往大西洋里撒尿。gydF4y2Ba
快进:10亿年gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
你回到地球,期待着英雄般的欢迎,但你却发现所有的人类都消失了。相反,地球是由一个和平的念力海豚家族管理的,他们偷走了最后一批人类在将灵魂上传到奇点服务器时丢弃的大部分比特币。在幻想破灭的阴霾中,你弯下腰,往宇航员生存杯里倒满了清新的湖水,希望能弄清楚一些。喝完杯子后,你意识到在遥远的未来,地球上所有的水从你起飞执行任务时就已经完全混合好了。gydF4y2Ba
你大概消耗了你十亿年前的尿液中的多少分子?gydF4y2Ba
假设和细节gydF4y2Ba
- 你发布的gydF4y2Ba 将尿液排入大西洋gydF4y2Ba
- 估计你的尿液是由纯水组成的。gydF4y2Ba
美国有多少iPhone屏幕修理工?gydF4y2Ba
这个问题的一个重要数据是美国的iphone数量。我们可以用两种方法得出这个数字。gydF4y2Ba
首先,从一般经验来看,似乎每两个人中就有一个人有智能手机,而没有智能手机的往往是非常年轻或非常年老的人。此外,我们经常听到Android手机主导市场,所以让我们估计一下Android的数字gydF4y2Ba 因此,iPhone的份额将成为可能gydF4y2Ba 近似的窗户,黑莓,和其他平台在市场上小球员。这个收益率gydF4y2Ba iphone。gydF4y2Ba
另一种方法是考虑你在街上看到的人,试着直接估计他们中有多少人有iPhone。在我看来,这个数字大约是五分之一,也就是说gydF4y2Ba 在这个国家有一百万部iphone。因此,五千万到六千万之间的估计似乎是大致正确的。gydF4y2Ba
有多少破解了?手机合同通常持续两年,而且大多数人会进行升级,所以我们假设典型的iPhone在被更换之前要花2.5年的时间。现在,这些屏幕中有多少会在手机的生命周期中被破解?我猜这个数字大概在20%左右。gydF4y2Ba
每个破裂的屏幕都不会被替换,否则我们不会经常看到它们。让我们假设,如果裂缝发生在第一个gydF4y2Ba 在用户拥有手机的时间里,他们会把它修好,但除此之外,他们只会等待一部新手机。这意味着在某一年,gydF4y2Ba 将需要更换他们的屏幕,或者gydF4y2Ba iPhone的屏幕。gydF4y2Ba
这能支持多少修理工?让我们假设每个iPhone屏幕的维修人员都是普通人gydF4y2Ba 修理iPhone屏幕的工人平均每周花一半的全职工作时间修理iPhone屏幕(平均而言,全职和兼职工人都是如此)。因此,我们预计会有足够多的坏iphone来支持大约gydF4y2Ba 在整个国家。gydF4y2Ba
这大约是中国苹果零售店数量的10倍,所以这似乎是相当合理的。gydF4y2Ba
猜测字符串的准确性gydF4y2Ba
就像我们在MLB收益问题中看到的那样,将大问题分解成小问题能够帮助我们更好地进行估算。然而,这可能会带来麻烦。例如,对于iPhone,我们不一定会更熟悉我们必须通过分解问题来估计的数字。尽管iPhone屏幕破裂的数量比直接猜测屏幕维修人员的数量要简单得多,但很少有人了解iPhone屏幕破裂的频率。我们希望这个数字能精确到2倍以内(我们猜是20%,但很容易是10%或30%)。类似地,我们胡乱猜测修复一个特定的iPhone所需的时间。事实证明,屏幕破裂的真实频率接近所有iphone的三分之一,平均维修时间接近半小时。因此,在其中一个数字中,我们的值太低了gydF4y2Ba 而在另一个例子中,我们的身高高出了2倍,也就是说,这两个因素让我们处于劣势gydF4y2Ba 我们估计太高了。在长串的猜测中,这些错误会成倍增加,并使我们偏离正确答案。然而,在一系列独特的子问题上,我们不太可能有一致的偏差(过高或过低),因此,我们的错误倾向于相互平衡,就像在随机漫步中一样。如果我们在一些数字上过高,我们可能在其他数字上过低。gydF4y2Ba
粗略地说,如果我们在估计任何数字时有一致的不确定性,我们可以将我们的猜测建模为一个从高斯分布中得出的带有特征方差的真实答案的随机数gydF4y2Ba .将我们的猜测分解成gydF4y2Ba 子问题意味着方差变成gydF4y2Ba (随机变量的方差是可加的),因此标准差(方差的平方根)随着的平方根而增大gydF4y2Ba .这与随机行走的行为是相同的(平均位移增加为gydF4y2Ba 随着时间的推移,我们可能期望的是,因为我们希望在我们估计的每个号码中略微过高或稍微低下。因此,尽可能避免制作太多的子猜测。gydF4y2Ba
另一方面,很可能我们对子问题中的数字的熟悉程度要比我们对大问题的了解要好得多,所以在某种程度上,将大问题分解总是有意义的。要精确地在随机漫步和精确知识之间建立这种权衡模型是不可能的,所以知道什么时候停止寻找子问题是一个直觉问题,并在做出这类准确预测方面积累经验。gydF4y2Ba
占主导地位的一部分gydF4y2Ba
另一个进行良好评估的关键技术是忽略所有的因素,只考虑你认为是问题中最重要的因素。例如,在棒球问题中,我们假设收入的主要来源是门票、电视和人们在体育场或其他地方购买的商品,我们把所有其他收入来源都忽略不计。同样地,如果我们估计一个人每天的能源预算,我们可以假设,他们的电动牙刷所消耗的能量与他们做食物、开车、给房子供暖等所消耗的能量相比,微不足道。如果我们考虑开车100英里所需的时间,我们可以忽略开门所需的时间,gydF4y2Ba等等gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这需要一些虚张声势才能开始。对主导贡献的了解并不总是显而易见的,可以通过一些数字比较来了解它。然而,减少我们需要跟踪的变量数量总是会降低数学问题的复杂性,并能引导我们获得更精确的解决方案。例如,如果我们先在一个极端的情况下解决问题,然后在另一个极端的情况下,我们可能能够识别短期和长期行为,或低能量和高能量行为,因此知道我们应该寻找什么,当我们进行全面的分析解决方案。处理主要部分会让我们得到基本正确的答案,即与真实答案只相差20%或30%,从而让我们对发生了什么有一个很好的了解。gydF4y2Ba
摇晃一个冰冻的水瓶要多久才能融化?gydF4y2Ba
为了做出这个估计,我们必须确定一种加热冰的机制。为了简单起见,我们假设系统是在零摄氏度。在这个假设下,如果一开始就没有融化的冰,我们就不能融化冰,也就是说,如果我们来回摇动一块坚硬的冰,就不会有热量传递到冰上。gydF4y2Ba
为了取得进展,让我们给水瓶一个很小的初始体积的液态水,也是在零摄氏度。假设一个水瓶有体积gydF4y2Ba 一开始,水的一小部分是液体,也就是。gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
当我们向一个方向加速瓶子时,瓶子里的所有物质都有动能。当我们减速使瓶子朝另一个方向移动时,冰通过液态水来减速液态水从瓶子的后面移动。这就是热量进入系统的方式。在通过液态水减速时,冰受到摩擦力,摩擦力转化为热量。由于冰和水的温度都是0摄氏度,热量会使冰融化。gydF4y2Ba
在时间gydF4y2Ba 液体体积为gydF4y2Ba ,冰冻冰的体积为gydF4y2Ba (在这一步中,我们明确地忽略了冰和水的密度差)。如果我们将水瓶近似为圆柱体,冰减速通过的距离由液体体积除以横截面积给出:gydF4y2Ba .让我们做一个粗略的近似,当冰把水推开的时候,它没有失去任何速度,也就是说,我们手臂的加速力等于水对冰的摩擦力。因此,冰以这样的速度移动gydF4y2Ba 直到它碰到瓶子的末端。让我们假设是剧烈的摇晃。人的手臂能够向对方投球(棒球、板球)gydF4y2Ba ;我们取这个值的10%作为冰的持续稳定速度,gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
然后,随着每次震动,冰感受到阻力gydF4y2Ba 哪些行为通过距离gydF4y2Ba 因此,每次摇一摇,我们的瓶子就会获得热量gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
通过估算在水中减速所花费的时间,我们可以将其转化为平均功率。这里我们有几个选择。我们可以做一个简单的模型每次震动都经过相同的距离gydF4y2Ba 并以这样的速度前后摇晃gydF4y2Ba .我们也可以做一个稍微复杂一点的模型,在这个模型中,摇酒器一旦感觉到冰撞击瓶子,就会改变方向。这更现实。首先,我们将计算一个简单的模型。gydF4y2Ba
不断震动的频率gydF4y2Ba
在这里,我们拥有它的摇动时间gydF4y2Ba ,则平均功率为gydF4y2Ba
有多少冰因加热而融化gydF4y2Ba ?熔化的热为gydF4y2Ba ,因此我们需要热量gydF4y2Ba 使质量熔化gydF4y2Ba 冰。对时间求导gydF4y2Ba ,或gydF4y2Ba
这就产生了解决方案gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba .解决时间问题gydF4y2Ba 分数gydF4y2Ba 冰已经融化了(解释如下),我们发现gydF4y2Ba
当我们接近完全熔化时,这个解是渐近的,所以我们必须使用一些合理的截止,例如gydF4y2Ba ,即融化99%的冰的时间。代入已知的冰的密度,水的熔化热,一些合理的值gydF4y2Ba (0.5米)gydF4y2Ba (一个典型的水瓶的体积),我们得到gydF4y2Ba 约gydF4y2Ba 因为我们在粗略地摇晃gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ),相当于来回摇晃16万次。下面,我们绘制所需的震动次数如下gydF4y2Ba (冰融化的初始比例)从0.1%到99%不等。gydF4y2Ba
我们的选择gydF4y2Ba 差,因为开始时的震动频率应该较高(冰穿过液体的距离较短),而结束时的震动频率应该较低(移动距离较大)。因此,一开始,这个模型应该低估平均发电量,随着时间的推移,它可能会高估。gydF4y2Ba
按比例缩小的震动频率gydF4y2Ba
现在我们计算模型当冰撞击瓶子的时候我们改变摇晃的方向。在这种情况下,到达终点所需要的时间是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
用这个新的估计gydF4y2Ba ,我们发现平均幂在时间上是恒定的gydF4y2Ba
这将产生一个简单得多的结果,即。gydF4y2Ba ,因此gydF4y2Ba
代入数字,我们预测我们只需要gydF4y2Ba 2000秒,也就是30分钟gydF4y2Ba ,大约是40赫兹,所以我们需要gydF4y2Ba 80000摇。gydF4y2Ba
对于融化一个冰冻水瓶所需的奶昔数量的估算合理吗?我们应该期望这些模型什么时候工作?是否存在这种模型会严重失败的情况,例如,对于小的初始未熔化体积,它是否应该是准确的?gydF4y2Ba
挑战你自己gydF4y2Ba
把融化的冰从零摄氏度摇到沸腾需要多长时间?gydF4y2Ba
中东战争gydF4y2Ba
通常,当被要求解释西方在阿拉伯半岛的军事存在时,政府官员会指出,西方在中东石油大国的经济平衡和稳定方面的“战略利益”,其含义是,如果不不断对中东地区进行干预,石油市场将变得不稳定,西方国家将遭受经济损失。撇开对阿拉伯半岛采取不干涉外交政策可能存在的风险或缺乏风险不谈,这回避了一个问题:相对于西方的石油消费,我们在中东的军事存在到底花了多少钱?为简单起见,我们将考虑美国。gydF4y2Ba
首先,我们估计美国每年消耗的汽油量。让我们估算一下汽车使用的汽油大约占美国所有汽油消耗量的一半。接下来,让我们估算一下美国人平均每年行驶的里程数。从个人经验来看,美国人每天上下班的平均路程为40英里似乎是合理的。计数gydF4y2Ba 工作日(忽略假日),这使得gydF4y2Ba
把它乘以gydF4y2Ba 这就是休闲和跑腿的原因。这就把我们带到了gydF4y2Ba 每年英里。假设gydF4y2Ba 这个国家的人口是活跃的劳动力,这使得gydF4y2Ba 人驾驶gydF4y2Ba 英里一年,或者gydF4y2Ba 每年行驶的英里数。假设一个典型的汽油里程gydF4y2Ba 每加仑英里数,这让我们gydF4y2Ba 每年的加仑数,或者gydF4y2Ba 每年加起来就是加仑。gydF4y2Ba
从2001年到2007年,美国军事预算中用于波斯湾军事部署的比例平均约为50%gydF4y2Ba 每年,这意味着在那时,在那里有一个看不见的汽油税相当于粗略gydF4y2Ba
以面值为中东外交政策为中东外交政策的流行理由,您可能希望汽油的国内成本将在这项努力中落下或保持稳定,但实际上汽油成本大幅上涨。石油价格是供需互连,国际贸易和欧佩克的反复性的复杂互连的结果,但它也是该地区稳定的函数。总的来说,一些价格上涨是由于持续的战争和叛乱运动在该地区遭受了巨大的战争和叛乱运动,这些不稳定会导致他们反对。gydF4y2Ba
虽然战争和水泵之间的联系被如何纳税的骗局所掩盖,但常识计算可以揭示军事干预的真实成本和意义。gydF4y2Ba
假设你正从旧金山飞往纽约。这架空客320飞机载有189名乘客和6名机组人员,他们每小时的工资为20美元。假设在一个最小模型中,飞行的唯一成本是支付机组人员的工资和燃料费用。此外,假设引擎所做的一切就是对抗阻力。如果每张机票价格是300美元,燃油价格是每升0.75美元,机组人员的工资是根据他们工作的完成小时数计算的,那么你机票价格的百分之几会占航空公司的利润?gydF4y2Ba
假设和细节gydF4y2Ba
- 空客有阻力系数gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba
- 空气的密度是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 飞机飞向gydF4y2Ba 从头到尾。gydF4y2Ba
- 从纽约到旧金山的距离是gydF4y2Ba
- 喷气发动机的能源效率是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 将空中客车近似为直径圆柱体gydF4y2Ba
- 飞机燃料的能量密度是gydF4y2Ba
- 燃料的密度是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 工作人员按他们工作的每小时支付报酬,也就是说,如果他们工作的话gydF4y2Ba 他们是为gydF4y2Ba
风能和太阳能的规模扩大gydF4y2Ba
风力发电gydF4y2Ba
一些环保主义者青睐的一项技术是风力发电场。它的支持者指出,它本身是清洁和碳中和的,而风是一种我们要放弃的资源。再加上我们目前对石油的依赖,风能似乎是轻而易举的事。但它与太阳能等可再生能源相比又如何呢?它的内在局限性与太阳相比如何?gydF4y2Ba
为了对我们的能源预算有一个规模感,我们需要知道每人每天的能源使用。让我们以欧盟国家为例,它们是能源消耗人口的中间地带。官方数据显示,欧盟公民每人每年的用电量约为4万千瓦时gydF4y2Ba 每人每天。估计这个数字本身是很有趣的,但对于我们现在的问题,我们将把它视为理所当然的。gydF4y2Ba
当我们想到风车的时候,最基本的事情就是风力的动能被收集起来用来旋转风车风车利用这些动能来驱动发电机。一个体积的风所包含的动能gydF4y2Ba 和速度gydF4y2Ba 是由gydF4y2Ba .如果我们假设唯一驱动螺旋桨的风是与桨叶对齐的气缸中的风,那么我们就有gydF4y2Ba 每秒钟到达叶片的千瓦。这样,在一天之内,我们就有了gydF4y2Ba 千瓦时通过叶片。gydF4y2Ba
现在欧盟的空气密度是gydF4y2Ba ,而欧盟的平均风速约为gydF4y2Ba .取刀片面积为gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba 来自风车的千瓦时。gydF4y2Ba
最后,风车并不是完全有效的,这不仅是因为风在离开叶片时还留有动能。让我们宽宏大量地假设风车可以收集50%的能量。gydF4y2Ba
由于风车是靠从空气中汲取能量来运转的,所以我们不能把一个风车直接放在另一个风车后面,否则我们很快就会陷入一片死气。因此,我们必须在我们的风车之间留出合理的空间。要估计这个距离有多远,看看一些野外风力发电场的图片。例如,在下图中,看起来风车之间的间距大约是叶片直径的6倍。gydF4y2Ba
因此,密集的风车群中,每一个风车对应一个风车gydF4y2Ba .非常慷慨,占据了欧盟的全部领土(gydF4y2Ba )是成熟的风车安置,这给了我们gydF4y2Ba 每天千瓦时。代入实数,就得到了gydF4y2Ba 或gydF4y2Ba 每人每天。更现实一点,我们可能只能把风车放在gydF4y2Ba 当我们考虑山脉,风不太大的地方,人们不希望他们的土地被风车覆盖,等等。gydF4y2Ba
在白天,风车通常是无用的,大多数欧盟的风车都在类似的地方运行gydF4y2Ba 能力。这把我们带到了大约gydF4y2Ba 这大约是欧盟普通公民能源预算的10%。总的来说,这并不坏,但也不是能源危机的解决方案。gydF4y2Ba
增加这个数字的最简单的目标是建造更多的风车,但这可能需要离岸(更高的风速,更多的土地),这意味着由于生锈、海水等而迅速退化,因此更多的能源首先用于生产风车。因此,风能可能会补充我们的总体能源预算。gydF4y2Ba
太阳能发电gydF4y2Ba
现在让我们考虑太阳能。计算比计算风要简单得多。太阳辐射强度在地球的距离约gydF4y2Ba .平均整个地球,并考虑有效横截面,这就变成了大约gydF4y2Ba 地球上一般的土地gydF4y2Ba
考虑到从大气层顶部反弹回太空的能量(gydF4y2Ba ),以及从地球表面反弹回太空的数量(另一个gydF4y2Ba ),这使我们得到大约10%的太阳辐射,或gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
让我们再次以欧盟作为我们的测试大陆。顶级的太阳能电池板可以达到的效率gydF4y2Ba ,意思是我们可以期待gydF4y2Ba .给定人口密度为gydF4y2Ba 这相当于gydF4y2Ba 每人每天。gydF4y2Ba
我们将可用土地的比例调整到5%gydF4y2Ba 这比欧盟公民每天的平均能源使用量还要多gydF4y2Ba