Fermat's Little Theorem
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数字理论
探索分裂性,模块化算术和无穷大的能力。
贡献
费马特的小定理西奥是一个基本定理在小学号码ry, which helps compute powers of integers<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="ModuloGydF4y2Ba" target="_blank">Modulo一个><一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-numbers/" class="wiki_link" title="prime numbers" target="_blank">prime numbers一个>。It is a special case of<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉的定理GydF4y2Ba" target="_blank">欧拉的定理一个>, 和一世s important in applications of elementary number theory, including<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="primality testing" target="_blank">primality testing一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rsa-encryption/" class="wiki_link" title="公钥密码学GydF4y2Ba" target="_blank">公钥密码学一个>。
GydF4y2BaThe result is called Fermat's "little theorem" in order to distinguish it from<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-last-theorem/" class="wiki_link" title="费马特的最后定理GydF4y2Ba" target="_blank">费马特的最后定理一个>。
(Fermat,1640年)
GydF4y2Ba让
p 是素数,并且
一个 是一个ny一世nteger. Then
一个p-一个总是可以分开
p 。
在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模块化算术GydF4y2Ba" target="_blank">模块化算术一个>noGydF4y2Batation, this can be written as
一个p◦一个modp。
11是伟大的,所以
2 11-2=2046可以分开
1 1由Fermat的小定理。
<呢-- end-example -->
定理的证明
费马特的小定理can be deduced from the more general Euler's theorem, but there are also direct proofs of the result using<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/induction-introduction/" class="wiki_link" title="就职GydF4y2Ba" target="_blank">就职一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/group-theory-introduction/" class="wiki_link" title="小组理论GydF4y2Ba" target="_blank">小组理论一个>。
proof using Euler's theorem:
让
ϕ是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-totient-function/" class="wiki_link" title="Euler's totient function" target="_blank">Euler's totient function一个>。欧拉的定理says that
一个 ϕ((n)◦1((modn),,,,whenever
一个和
n 一个re coprime. Let
n成为素数
p 。然后
ϕ(( p)=p-1,,,,所以
一个 p-1◦1((modp)任何
一个 企业
p 。在这种情况下,将双方乘以
一个 给予
一个 p◦一个((modp)如预期的。
GydF4y2BaOn the other hand, if
一个不是
p ,,,,然后
p ^一个。在Th一世s case, both
一个p和
一个 是一致的
0 ((modp),,,,所以
一个 p◦一个((modp)here as well.
□
proof by induction:
First, we will show that the theorem is true for all positive integers
一个通过归纳。基本案例
(( when
一个=1)一世s obviously true:
1p◦1((modp)。
对于归纳假设,假设
一个 p◦一个((modp)为了一个certain integer
一个。目标是表明
(( 一个+1)p◦一个+1((modp)。
由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-theorem-n-choose-k/" class="wiki_link" title="二项式定理GydF4y2Ba" target="_blank">二项式定理一个>,,,,
(( 一个+1)p=一个p+((1p)一个p-1+((2p)一个p-2+⋯+((p-1p)一个+1。
但
p ^^((kp)为了
1 ≤k≤p-1, 因为
p ^^p呢但
p ∤k呢和
p ∤((p-k)呢。所以中间术语消失了
p :
((一个+1)p◦一个p+1((modp)。
代替
一个 p◦一个((modp)通过归纳假设给出
(( 一个+1)p◦一个+1((modp)。
GydF4y2Ba所以The result holds for all positive
一个通过归纳。但every integer is congruent mod
pto a positive integer, so the result holds for every integer.
□
proof using<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/lagranges-theorem/" class="wiki_link" title="Lagrange's theorem" target="_blank">Lagrange's theorem一个>:
Suppose
p∤一个(如上所述,另一种情况是微不足道的)。一组
一个 形成一个子组
(( z/p)*。它的大小(或订单)是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-an-element/" class="wiki_link" title="乘法顺序GydF4y2Ba" target="_blank">乘法顺序一个>的
一个 ;如果是
X >0,,,,亚组由
X elements
{1,,,,一个,,,,一个2,,,,…,,,,一个X-1}。由Lagrange定理,
X d一世vides the order of
((z/p)*,,,,那是
p -1。所以
X y=p-1对于一些整数
y 。然后
一个 p-1◦一个Xy◦((一个X)y◦1y◦1((modp)。□
最后的证明实际上概括为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉的定理GydF4y2Ba" target="_blank">欧拉的定理一个>。
GydF4y2BaA final proof is outlined in the following exercise:
1
2
3
4
费马特(Fermat)的小定理指出,
p ,,,,we have
一个p-1◦1((modp)
((p^一个)。这是一个证明:
- 考虑
1 ,,,,2,,,,…,,,,p-1和
一个 ,,,,2一个,,,,…,,,,((p-1)一个。
- 他们是彼此的排列
m odp。
-
1⋅2⋯((p-1)◦一个⋅2一个⋯((p-1)一个((modp)。
- Cancellation:
1◦一个p-1((modp)。
但是,当我们谈论复合号码时
n ,,,,we have
一个ϕ((n)◦1((modn)用于副整数
一个 和
n 一世nstead, from Euler's theorem.
如果我将上述证明流程用于Euler定理,我首先要在哪个步骤中犯错?
申请
如果
n ∈n和
G 光盘((n,,,,35)=1, 证明
n 12◦1((mod35)。
由Fermat的小定理,
n 4◦1((mod5)和
n 6◦1((mod7)。所以
n 12◦1((mod5)和
n 12◦1((mod7)。这意味着
n 12◦1((mod35)。
□
看到Wiki<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots/" class="wiki_link" title="原始根GydF4y2Ba" target="_blank">原始根一个>为了概括这个论点。
<呢-- end-example -->
其余的
5 119在59分的划分时?
由Fermat的小定理,
5 58◦1((mod59),,,,所以
5 116◦1((mod59),,,,所以
5 119◦53◦7((mod59)。
□
让
p >5是素数,并且let
k是一个nypositive integer
<p。表明小数的扩展
p kconsists of
p-1重复小数位数。
由Fermat的小定理,
1 0p-1-1可以分开
p ,,,,say
p一个=10p-1-1。所以
p k=10p-1-1k一个=k一个((10p-11+102((p-1)1+103((p-1)1+⋯)。
Since
k一个<p一个<10p-1,,,,写
k 一个一个s a
((p-1)-Digit编号(必要时在前面有0)。上述扩展表明
(( p-1)-digit number will repeat in the decimal expansion.
GydF4y2BaFor example, let
k=2和
p =7。然后
一个 =7106-1=142857,,,,所以
k 一个=285714。所以
7 2=999999285714=285714((1061+10121+10181+⋯)=0。285714+0。000000285714+0。000000000000285714+⋯=0。285714。□
原始测试和相反
Fermat的小定理提出了一个原始测试:给定
n ,,,,选择一个随机的小数
一个 这是
n 和compute
一个n-1((modn)。如果不是
1 ,,,,然后
n 是Fermat的Little定理的复合。如果是
1 ,,,,我们可以得出结论
n 一世s prime? In general, the answer is no. For instance,
210◦1((mod11)和
2 5◦1((mod31)所以
2 10◦1((mod341),,,,因此
2 340◦1((mod341)。
如果
n 是复合的,但是
一个 n-1◦1((modn)对于一些
一个 企业
n ,,,,然后
n 一世s called a伪当向基础
一个 。如果
n 是每个基础相对较好的伪摄影,称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/carmichael-numbers/" class="wiki_link" title="Carmichael number" target="_blank">Carmichael number一个>。这种原始测试没有迭代将能够将Carmichael数字与实际素数区分开。
nGydF4y2Baevertheless, a refinement of this idea due to<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="米勒和拉宾GydF4y2Ba" target="_blank">米勒和拉宾一个>在实践中进行有效的原始测试。看到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="原始测试GydF4y2Ba" target="_blank">原始测试一个>Wiki进行详细讨论。
引用为:Fermat's Little Theorem.杰出的。org。Retrievedfrom<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-little-theorem/">//www.parkandroid.com/wiki/fermats-little theorem/一个>
这样的主概念
数字理论
探索分裂性,模块化算术和无穷大的能力。
费马特的小定理西奥是一个基本定理在小学号码ry, which helps compute powers of integers<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="ModuloGydF4y2Ba" target="_blank">Modulo一个><一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-numbers/" class="wiki_link" title="prime numbers" target="_blank">prime numbers一个>。It is a special case of<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉的定理GydF4y2Ba" target="_blank">欧拉的定理一个>, 和一世s important in applications of elementary number theory, including<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="primality testing" target="_blank">primality testing一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rsa-encryption/" class="wiki_link" title="公钥密码学GydF4y2Ba" target="_blank">公钥密码学一个>。
GydF4y2BaThe result is called Fermat's "little theorem" in order to distinguish it from<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-last-theorem/" class="wiki_link" title="费马特的最后定理GydF4y2Ba" target="_blank">费马特的最后定理一个>。
(Fermat,1640年)
GydF4y2Ba让
在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模块化算术GydF4y2Ba" target="_blank">模块化算术一个>noGydF4y2Batation, this can be written as
一个p◦一个modp。
11是伟大的,所以
<呢-- end-example -->2 11-2=2046可以分开1 1由Fermat的小定理。
定理的证明
费马特的小定理can be deduced from the more general Euler's theorem, but there are also direct proofs of the result using<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/induction-introduction/" class="wiki_link" title="就职GydF4y2Ba" target="_blank">就职一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/group-theory-introduction/" class="wiki_link" title="小组理论GydF4y2Ba" target="_blank">小组理论一个>。
proof using Euler's theorem:
让
GydF4y2BaOn the other hand, if
一个不是
proof by induction:
First, we will show that the theorem is true for all positive integers 一个通过归纳。基本案例
(( when 一个=1)一世s obviously true: 1p◦1((modp)。对于归纳假设,假设
一个 p◦一个((modp)为了一个certain integer 一个。目标是表明(( 一个+1)p◦一个+1((modp)。由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-theorem-n-choose-k/" class="wiki_link" title="二项式定理GydF4y2Ba" target="_blank">二项式定理一个>,,,,
(( 一个+1)p=一个p+((1p)一个p-1+((2p)一个p-2+⋯+((p-1p)一个+1。但
p ^^((kp)为了1 ≤k≤p-1, 因为p ^^p呢但p ∤k呢和p ∤((p-k)呢。所以中间术语消失了p :((一个+1)p◦一个p+1((modp)。
代替
一个 p◦一个((modp)通过归纳假设给出(( 一个+1)p◦一个+1((modp)。GydF4y2Ba所以The result holds for all positive 一个通过归纳。但every integer is congruent mod pto a positive integer, so the result holds for every integer. □
proof using<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/lagranges-theorem/" class="wiki_link" title="Lagrange's theorem" target="_blank">Lagrange's theorem一个>:
Suppose p∤一个(如上所述,另一种情况是微不足道的)。一组
一个 形成一个子组(( z/p)*。它的大小(或订单)是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-an-element/" class="wiki_link" title="乘法顺序GydF4y2Ba" target="_blank">乘法顺序一个>的一个 ;如果是X >0,,,,亚组由X elements {1,,,,一个,,,,一个2,,,,…,,,,一个X-1}。由Lagrange定理,X d一世vides the order of ((z/p)*,,,,那是p -1。所以X y=p-1对于一些整数y 。然后
一个 p-1◦一个Xy◦((一个X)y◦1y◦1((modp)。□
最后的证明实际上概括为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉的定理GydF4y2Ba" target="_blank">欧拉的定理一个>。
GydF4y2BaA final proof is outlined in the following exercise:
费马特(Fermat)的小定理指出,
但是,当我们谈论复合号码时
如果我将上述证明流程用于Euler定理,我首先要在哪个步骤中犯错?
申请
如果
n ∈n和G 光盘((n,,,,35)=1, 证明n 12◦1((mod35)。
由Fermat的小定理,
n 4◦1((mod5)和n 6◦1((mod7)。所以n 12◦1((mod5)和n 12◦1((mod7)。这意味着n 12◦1((mod35)。 □看到Wiki<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots/" class="wiki_link" title="原始根GydF4y2Ba" target="_blank">原始根一个>为了概括这个论点。
<呢-- end-example -->
其余的
5 119在59分的划分时?由Fermat的小定理,
5 58◦1((mod59),,,,所以5 116◦1((mod59),,,,所以5 119◦53◦7((mod59)。 □
让
p >5是素数,并且let k是一个nypositive integer <p。表明小数的扩展p kconsists of p-1重复小数位数。由Fermat的小定理,
1 0p-1-1可以分开p ,,,,say p一个=10p-1-1。所以
p k=10p-1-1k一个=k一个((10p-11+102((p-1)1+103((p-1)1+⋯)。Since k一个<p一个<10p-1,,,,写
k 一个一个s a ((p-1)-Digit编号(必要时在前面有0)。上述扩展表明(( p-1)-digit number will repeat in the decimal expansion.GydF4y2BaFor example, let k=2和
p =7。然后一个 =7106-1=142857,,,,所以k 一个=285714。所以
7 2=999999285714=285714((1061+10121+10181+⋯)=0。285714+0。000000285714+0。000000000000285714+⋯=0。285714。□
原始测试和相反
Fermat的小定理提出了一个原始测试:给定
如果
nGydF4y2Baevertheless, a refinement of this idea due to<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="米勒和拉宾GydF4y2Ba" target="_blank">米勒和拉宾一个>在实践中进行有效的原始测试。看到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="原始测试GydF4y2Ba" target="_blank">原始测试一个>Wiki进行详细讨论。