保理二次方程式论

二次因式分解法是一种简化二次表达式和求解方程的方法。常见的情况包括三项式分解和平方和分解。

一个二次表达式可以写成和， $x ^ 2 + 7 + 12,$或者作为产品 $（x + 3）（x + 4），$就像14可以写成乘积一样， $7 \ * 2,$或总和， $6 + 8。$三项式的因式分解是把和写成乘积的过程。

二次表达式可以以标准形式写入 $斧头^ 2 + bx + c。$

让我们从分解三项式开始 $= 1,$如 $x ^ 2 + 8x + 15。$

首先，我们需要找到产品 $AC：$ $AC =（1）（15）= 15。$

接下来，我们需要找到一个因子对 $AC.$这笔款项 $湾$因此，我们需要一个第15个第15个，总和为8.系数对，3和5总和到8。

接下来，我们需要重写 $B.$- 我们的二次使用我们的新总和： $x ^ 2 + 3x + 5x + 15。$

最后，我们可以通过分组分解，将表达式的前两项和后两项进行分解: $（x ^ 2 + 3x）+（5x + 15）= x（x + 3）+ 5（x + 3）=（x + 5）（x + 3）。$

代表性形式 $x ^ 2 + 8x + 15$是 $（x + 3）（x + 5）。$

因素 $x ^ 2-4x-12。$

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的产物 $一种$和 $C$是 $(1)(-12) = -12。$

因素对 $-12$这笔款项 $－4$是 $－6$和 $2。$

把表达式改写一下 $x ^ 2-4x-12 = x ^ 2-6x + 2x-12。$

分组和简化，我们有 $x ^ 2-6x + 2x-12 =（x ^ 2-6x）+（2x-12）= x（x-6）+2（x-6）=（x + 2）（x-6）。$

代表性形式 $x ^ 2-4x-12$是 $(x + 2) (x6)。$

因素 $x ^ 2-7x + 6。$

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回答

的产物 $一种$和 $C$是 $(1)(6) = 6。$

因素对 $6.$这笔款项 $－7$是 $－1$和 $6。$

把表达式改写一下 $x ^ 2-7x + 6 = x ^ 2-1x-6x + 6。$

分组和简化，我们有 $x ^ 2-1x-6x + 6 =（x ^ 2-1x）+（ - 6x + 6）= x（x-1）-6（x-1）=（x-6）（x-1）。$

代表性形式 $x ^ 2-7x + 6$是 $（x-6）（x-1）。$

如果下面的陈述是正确的，值是多少 $一种\，？$

$x ^ 2 + 5x-14 =（x + a）（x-2）$

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回答

观察方程的左边可以被分解为 $\{对齐}开始x ^ 2 + 5 x-14 & = x ^ 2 + 7 x-2x + 7 \ cdot (2) \ \ & = x (x + 7) 2 (x + 7) \ \ & = (x + 7) (x - 2)。\结束{对齐}$将其与右侧等同起来 $一个= 7$．

请记住，二次表达式可以以标准形式写入 $斧头^ 2 + bx + c。$让我们对一些表达来说 $\ neq 1。$

我们首先开始 $2x ^ 2 + 7x + 3，$并按照上述相同的步骤。

首先，我们需要找到产品 $AC：$ $一个\ cdot c = 2 \ cdot 3 = 6。$

接下来，我们需要找到一个因子对 $AC.$这笔款项 $湾$因此，我们需要一个第六个第6个，总和为7.因子对为6和1总和到7。

接下来，我们需要重写 $B.$- 我们的二次使用我们的新总和： $2x ^ 2 + 6x + 1x + 3。$

最后，我们可以通过分组分解，将表达式的前两项和后两项进行分解: $(2 x ^ 2 + 6 x) + (1 x + 3) = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) = (2 x + 1) (x + 3)。$

代表性形式 $2 x ^ 2 + 7 + 3$是 $（2x + 1）（x + 3）。$

因素 $3 x ^ 2 + 10 x 8。$

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回答

的产物 $一种$和 $C$是 $（3）（ - 8）= - 24。$

因素对 $-24$这笔款项 $10.$是 $12.$和 $-2。$

把表达式改写一下 $3x ^ 2 + 10x-8 = 3x ^ 2 + 12x-2x-8。$

分组和简化，我们有 $3x ^ 2 + 12x-2x-8 =（3x ^ 2 + 12x）+（ - 2x-8）= 3x（x + 4）-2（x + 4）=（3x-2）（x + 4）。$

代表性形式 $3x ^ 2 + 10x-8$是 $（3x-2）（x + 4）。$

有时，我们可以在完全分解三项式之前，先分解出公因式来简化二次表达式。

例如，我们考虑因式分解 $6x ^ 2-15x-36。$

三项式中的每一项都能被3整除所以我们提出一个3: $6x ^ 2-15x-36 = 3（2x ^ 2-5x-12）。$

现在我们可以考虑 $2 x ^ 2-5x-12$遵循我们上面使用的相同的过程。

的价值 $AC.$是 $(2)(-12) = -24。$因子对 $-24$这笔款项 $－5$是8, $3所示。$

因此, $3 (2 x ^ 2-5x-12) = 3 (2 x ^ 2 + 8 x-3x-12) = 3 [(2 x ^ 2 + 8 x) +(3十二)]= 3 (2 x (x + 4) 3 (x + 4) = 3 (2 - 3) (x + 4)。$

因素 $20x ^ 2-30x + 10。$

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回答

让我们开始解决一个10： $20x ^ 2-30x + 10 = 10（2x ^ 2-3x + 1）。$

的产物 $一种$和 $C$是 $（2）（1）= 2。$

因素对 $2$这笔款项 $－3$是 $－1$和 $-2。$

因此, $好几次10 (2 x ^ + 1) = 10 (2 x ^ 2-1x-2x + 1) = 10 [(2 x ^ 2-1x) + x + 1) (2) = 10 [x (2 x - 1) 1 (2 x - 1)) = 10 (x - 1) (2 x - 1)。$

给定一个二次方程 $AX ^ 2 + Bx + C = 0$如何分解?

首先，我们需要知道二次方程的因式形式是 $(x-r_1) (x-r_2)$， 在哪里 $r_1$和 $r_2$是等式的根源 $一种$是第一项的系数。

通过扩大这一点，我们得到了 $留下\ (x ^ 2 - (r_1 + r_2) x + r_1 r_2 \右)$．

现在我们可以尝试考虑方程，但首先我们需要要做 $一种$，这是第一项的系数。然后，我们可以通过尝试一些价值来找到方程的根源，因为我们知道 $\ frac {-b} {a} = r_1 + r_2$和 $\ frac {c} {a} = r_1 r_2$．

因式分解 $x ^ 2-7x + 6$．

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我们不需要要做 $一种$自 $一个= 1$．

现在我们知道 $r_1 + r_2 = - b = 7$和 $r_1 r_2 = c = 6$，我们知道价值观 $1$和 $6.$满足条件 $r_1$和 $r_2$．

因此, $x ^ 2-7x + 6 =（x-6）（x-1）。\ _\正方形$

给定一个二次方程 $Ax ^2 + bx + c = 0$，我们可以很容易地使用所述方法分解它<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratics-factoring-easy/">在这里．然而，当处理解不是实数的一般二次方程时，这可能不是最好的方法。对于这些情况，二次公式可能更适用。

考虑二次方程 $AX ^ 2 + Bx + C = 0$．如果我们划分全表达 $一种$,我们得到 $x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} = 0。$重新排列给予 $x ^ 2 + \ frac {b} {a} x = - \ frac {c} {a}。$现在让我们添加 $\ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}$双方: $\{对齐}开始x ^ 2 + \压裂{b ^ 2} {4 a ^ 2} + \压裂{b} {x} & = \压裂{b ^ 2} {4 a ^ 2} - \压裂{c}{} \ \ \离开(x + \压裂{b}{2} \右)^ 2 & = \压裂{b ^ 2-4ac} {4 a ^ 2}。\结束{对齐}$我们拥有双方的平方根 $x + \ frac {b} {2a} = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}}。$最后一次重新排列，我们得到了 $X = \压裂{-b \时\ SQRT {B ^ 2 - 4AC}} {2A}。$

请注意，即使他们不是真实的，我们也能找到二次的根源。这使我们能够很容易地考虑。因此对于任何二次 $Ax ^2 + bx + c = 0$，我们可以把它分解成 $k (x + \α)(x + \β)= 0$， 在哪里 $\ alpha = \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}，$ $\ beta = \ frac {-b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}，$和 $K.$是一个常数。

因式分解 $x ^ 2 + x - 1 = 0。$

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使用我们的公式，我们获得 $φ= \ \压裂{- b + \ sqrt {b ^ 2 - 4 ac}}{2} = \压裂{1 + \ sqrt{5}},{2} \φ= \压裂{- b - \ sqrt {b ^ 2 - 4 ac}}{2} = \压裂{1 - \ sqrt{5}}{2}。$因此我们的二次是 $k (x - \φ)(x - \φ)= 0$为一个常数 $K.$．然而，由于我们的第一学期的主要系数为1，我们知道要素必须是 $（x-\ phi）（x - \ phi）= \ left（x - \ frac {-1 + \ sqrt {5}} {2} {右）\ left（x-\ frac {-1 - \ sqrt {5}} {2} \右）。\ _\正方形$

当我们不与真实解决方案/系数处理的Quadatics的时，这种分解方法也有效。

因式分解 $2x ^ 2 +2 x + 2 = 0。$

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我们首先观察到这没有真正的解决方案，因为它的判别是负面的： $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\times2\times2 = -12 < 0。$我们可以继续寻找它的根 $x = \压裂{- b + \ sqrt {b ^ 2 - 4 ac}}{2} = \压裂{- b + \ sqrt {D}}{2}。$使用我们的公式 $\ alpha = \ frac {-2+ \ sqrt {-12}} {2.2} = \ frac {-2+ \ sqrt {4 \ times-1 \ times 3}} {4} = \ frac {-2+ 2i\ sqrt {3}} {4} = \ frac {-1} {2} + \ frac {i \ sqrt {3}} {2}。$同样，我们得到了 $β= \ \压裂2 - \ sqrt{-12}{}{2.2} = \压裂{2 - \√{\ * 1 \ 4 * 3}}{4}= \压裂{2 - 2我\√{3}}{4}= \压裂{1}{2}- \压裂{我\ sqrt{3}}{2}。$

我们现在可以写我们的等式 $k \ left（x-\ frac {-1} {2} - \ frac {i \ sqrt {i \ sqrt {i \ sqrt {l}} {2} \右）\ left（x-\ frac {-1} {2} + \ frac {i \ sqrt {3}} {2} \右）= 0。$注意 $K.$必须是 $2$为了使系数 $x ^ 2$ $2$．因此，我们终于得到了 $2 \ left（x + \ frac {1} {2} - \ frac {\ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {3}} {2} i \ rote）\ left（x + \ frac {1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {2} I \右）= 0。\ _\正方形$

这使我们能够用非理性甚至虚构的系数来定向二际。

因式分解 $\ sqrt {24} x ^ 2 + 5 \ sqrt {2} x + \ sqrt {6} = 0。$

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再次，我们的判别是 $D = B ^ 2 - 4 \倍A \ times C = 50-4 \ time12 = 2> 0。$使用我们的公式我们得到了 $\ begin {senugented} \ alpha＆= \ frac {-5 \ sqrt {2} + \ sqrt {2}} = \ sqrt {2}} = \ frac { - 4 \ sqrt {2}} {4 \ sqrt {6}} = - \ frac {\ sqrt {3}} {3} \\ \ beta＆= \ frac {-5 \ sqrt {2} - \ sqrt {2}} {4 \ sqrt {6}} = \ frac{ - 6 \ sqrt {2}} {4 \ sqrt {6}} = - \ frac {\ sqrt {3}} {2}。\结束{对齐}$

因此，我们的分解成了

$k \ left（x + \ frac {\ sqrt {3}} {3} \右）\ left（x + \ frac {\ sqrt {3}} {2} \右）= 0。$

再次，通过将其与我们的初始多项式进行比较，我们看到了 $K =√{24}= 2√{6}$．因此，我们最终的分解形式是 $大概{24}\ \离开(x + \压裂{\ sqrt{3}}{3} \) \离开(x + \压裂{\ sqrt{3}}{2} \右)= 0。\ _\正方形$