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一般来说,多项式因式分解意味着分离多项式分解成它的分量多项式。有时，当多项式特别复杂时，最简单的方法是替换一个简单的项，然后分解。有时这看起来像下面的例子，一个多变量多项式取代了一个单一变量， 年代在这种情况下，它代表单个多项式直到整个多项式因式分解。
当面对复杂的多项式时，这是一种快速使用的技巧，特别是当多项式的子集重复时。例如，在下面的例子中， x−y在方程中重复两次。有时需要对整个多项式进行操作才能看到这种重复。当面对复杂的组件时，它也很有用根，虚数，以及其他非实数、非整数。
因素 （x−y)（x−y−1)−20．
让 年代＝x−y．然后替换 年代在 x−y为了便于计算，我们得到
（x−y)（x−y−1)−20＝（年代)（年代−1)−20＝年代2−年代−20＝（年代−5)（年代+4)＝（x−y−5)（x−y+4)．□
因素 3.（4x+5)2−2（4x+5)−1．
让 年代＝ 4x+5．然后替换 年代在 4x+5，我们得到
3.（4x+5)2−2（4x+5)−1＝3.年代2−2年代−1＝（3.年代+1)（年代−1)＝（3.（4x+5)+1)（4x+5−1)＝（12x+15+1)（4x+5−1)＝（12x+16)（4x+4)＝4（3.x+4)⋅4（x+1)＝16（3.x+4)（x+1)．□
下面是虚数替换的例子:
求出多项式的所有根
x4−5我x3.+19x2−125我x−150．
我们从替换开始 一个＝−我x（注意+/-号)，这就留给我们
一个4−5一个3.−19一个2+125一个−150．
看起来更容易分解，不是吗?现在只是分组，分组，再分组。如果你想，你可以使用这个技巧)。
一个4−5一个3.−19一个2+125一个−150＝一个3.（一个−5)−（19一个2−125一个+150)＝一个3.（一个−5)−（19一个−3.0)（一个−5)＝（一个3.−19一个+3.0)（一个−5)．
使用一些逻辑，由于权力的差距( 一个3.紧随其后的是 一个)时，应该有平方之差。根据余数定理，因为5是一个解，我们可以检查-5。
−125+95+3.0＝0．
一些合成除法得到
（一个2+5一个+6)（一个−5)（一个+5)＝（一个+2)（一个+3.)（一个−5)（一个+5)．
Re-substituting 我x＝一个，我们到达
（我x+2)（我x+3.)（我x−5)（我x+5)．□
替换也可以用来最小化和最大化函数。
求的最小值 4x2+20xy+3.0x+25y2+75y+3.6．
给定的表达式可以重写为 （2x+5y)2+15（2x+5y)+3.6．替换 一个＝2x+5y等于 一个2+15一个+3.6．完成这个正方形得到 一个2+15一个+3.6＝（一个+215)2+3.6−（215)2＝（一个+215)2−481，这意味着给定表达式的最小值是 −481． □
替换也可用于非合理系数。
求所有正根的和 183. x3.+51x2−3.13. x−12．
替换 一个＝3. x给了
6一个3.+17一个2−3.1一个−12＝（x+4)（6一个2−7一个−3.)＝（x+4)（3.一个+1)（2一个−3.)．
既然我们对正根感兴趣， 一个＝23.，这意味着所有给定表达式的正根的和是 x＝3. 一个＝23. ．□
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