小数部分功能

的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/floor-function/" class="wiki_link" title="层功能" target="_blank">层功能 $\ \ rfloor lfloor x$ 定义为小于或等于实数的最大整数 $x$ ．的小数部分函数 $\ \ {x}$ 定义为这两者之间的差:

让 $x$ 做一个实数。然后小数部分的 $x$ 是

$\{x\}= x -\lfloor x\ rfloor。$

$这是函数$y=\{x\}.$的图形$ 这是函数的图像 $y = \ \ {x}。$

对于非负实数，小数部分只是“小数点后的部分”。

$\{3.64 \} = 3.64 - \lfloor 3.64 \rfloor = 3.64 - 3 = 0.64。$

但对于负实数，情况就不一样了:

$\ \ {-3.64} = -3.64 - -3.64 \ lfloor \ rfloor = -3.64 - 0.36(4) =。$

注意在这两种情况下 $\ \ {x}$ 是负的。

下面是一些小数部分函数如何工作的例子:

$\{1 \} = 1 - 1 = 0。$

$左\ \ {\ sqrt{2} \右\}= \ \ ldots sqrt{2} 1 = 0.4142。$

$\{\pi \} = \pi - 3 = 0.14159\ldots。$

$左\ \{——\压裂{17}5 \ \}= - \压裂{17}5 - (4)= \ frac35。$

内容

分数部分的性质

解决问题

分数分式与积分

分数部分的性质

下面是分数部分的一些性质:

$0 \le \{x \} < 1$ , $0 = \{x \}$ 当且仅当 $x$ 是一个整数。

$\{x \} + \{-x\} = \begin{cases} 0 & \text{如果}x\ text{是一个整数}\\ 1 & \text{否则。} \结束{病例}$

如果 $一个$ 而且 $b$ 是整数, $b > 0$ ,然后 $\big\{\frac{a}{b} \big\} = \frac{r}{b}$ ,在那里 $r$ 是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/division-algorithm/" class="wiki_link" title="剩余部分" target="_blank">剩余部分从分 $一个$ 通过 $b$ ．

$\{9\} + \{-9\} = 0+0 = 0$ ,但 $\{9.01\} + \{-9.01\} = 0.01+0.99 = 1$ ．分数部分总是非负的。

自 $47 = 13 \cdot 3 + 8$ ，可以得出 $\左\{\frac{47}{13} \右\}= \frac{8}{13}$ ．

解决问题

对于涉及到底函数和分数部函数的问题，通常(为了便于记法)写出来是有帮助的 $X = n+r，$ 在哪里 $N = \lfloor x \rfloor$ 而且 $R = \{x\}$ ．然后 $n$ 为整数，且 $0 \le r < 1$ ．

让 $x$ 是一个正实数

$x ^ 2 + \ \} {x ^ 2 = 27。$

找到 $x$ ．

写 $x = n + r$ 建议。现在请注意, $X ^2 \le X ^2+\{X \}^2 < X ^2+1$ ,所以 $26 < x^2 \le 27$ ．所以 $n = 5$ ．然后

$\{对齐}开始(5 + r) ^ 2 + r ^ 2 & = 27 \ \ 25 + 10 + 2 r ^ 2 & = 27 \ \ 2 r ^ 2 + 10 r2 & = 0,结束\{对齐}$

所以 $r = \压裂{5 + \√{29}}2$ 用二次公式。

因此, $X = 5+ r = \frac{5+\sqrt{29}}2$ ． $_ \广场$

找出最小的实数 $米$ 对于所有正实数 $x$ ，

$\{x \} + \左\{\frac1{x} \右\}< m。$

如果 $x < 1$ ，我们可以写 $X = \frac1y, y \ge 1，$ 而且 $\ \ {x} +大\ \ {\ frac1 {x} \大\}= \ \}{y +大\ \ {\ frac1 {y} \大\}。$ 所以我们可以假设 $x \通用电气1$ ．然后 $\big\{\frac1{x} \big\} = \frac1{x}$ ．写作 $x = n + r$ , $n$ 一个正整数，左边变成

$r + \ frac1 {n + r}。$

固定 $r$ ，当分母最小时，这是最大的。 $n = 1$ ．

现在, $r + \ frac1 {1 + r}$ 递增函数是为 $0 \le r < 1$ ，其导数为 $1 - \ frac1 {(1 + r) ^ 2}$ ．作为 $1 ^ - r \$ ，和等于 $1 + \ frac1{1 + 1} = \压裂{3}{2}$ ．所以答案是 $\压裂{3}{2}$ ． $_ \广场$

$（$ 练习:如果 $x$ 允许是负的，答案是 $m = 2。)$

分数分式与积分

有许多有趣的积分都涉及到分数部函数。求这类定积分的一个好方法是将积分区间分解为最大整数函数为常数的区间;那么原始的积分就是一个积分的和它更容易求值。

找到

$\int_0^1 \左\{\frac1{x} \右\}\，dx。$

的时间间隔 $\离开(\ frac1 {n + 1},正确\ frac1n \]$ ， $\left\lfloor \frac1{x} \right\rfloor = n$ ．在这个区间上的积分就变成

$\开始{对齐}\ int_ {1 / (n + 1)} ^ {1 / n} \离开(\ frac1 {x} - n \) \, dx & = \ ln \ frac1n - \ ln \ frac1 {n + 1} - n \离开(\ frac1n \ frac1 {n + 1} \) \ \ & = \ ln (n + 1) - \ ln n - \ frac1 {n + 1}。结束\{对齐}$

积分是

$\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ int_ {1 / (n + 1)} ^ {1 / n} \左\ {\ frac1 {x} \右\}\,dx = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \离开(\ ln (n + 1) - \ ln n - \ frac1 {n + 1} \右)$

和 $k ^ \文本{th}$ 部分和望远镜 $左\ ln (k + 1) - \ \ frac12 + \ cdots + \ frac1 {k + 1} \右)$ ．极限是 $1 - \γ$ ,在那里 $\γ$ 是著名的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/digamma-function/" class="wiki_link" title="欧拉-马歇罗尼常数" target="_blank">欧拉-马歇罗尼常数． $_ \广场$

$\ int_1 ^ {\ infty} \压裂{\ \ {x}} {x ^ 3} \, dx = - \压裂{\ bπ^}{c}$

上述积分对正整数成立 $a、b$ 而且 $c$ ．

的价值是什么 $a + b + c ?$

注意: $\ \ {x}$ 的小数部分 $x$ ．

$\ int _{0} ^{1}{\左\{\压裂{1}{x} \右\}^ {3}}dx = - \压裂{H}{你}- Mγ+ \压裂{{M} _ {1}} {U_1} \ ln {(Sπ)}- b \ ln{一}$

在上面的等式中， $一个$ 为Glaisher-Kinkelin常数，其他变量均为正整数，所述分数均为素。

找到 $H+ u + m +{m}_{1}+{u}_{1}+ s + b。$

请注意： $\ \ {x}$ 的小数部分 $x。$

这是"谁能接受挑战"的一部分

$\ displaystyle \ int_{0} ^{1}{\左左(\ \{\压裂{1}{x} \右\}\ {2 x \} \) \压裂{dx} {x}}$

上面的积分等于 $+ \ ln {B} - c \γ,$ 在哪里 $A, B, C$ 都是正整数。

找到 $A + B + C。$

请注意： $\ {\}$ 表示分数部分和 $\γ$ 为欧拉-马斯切罗尼常数。

$\ int _{0} ^{1}{\左\ {\ dfrac {1} {{x} ^{1/6}} \右\}\,dx} = \ dfrac{一}{B} - \ dfrac{{\π}^ {C}} {D}$

上式对正整数成立 $A, B, C,$ 而且 $D$ , $一个$ 而且 $B$ coprime。

找到 $A + B + C + D$ ．

符号： $\ {\ cdot \}$ 表示分数部函数。

测试

有关……

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