解指数方程gydF4y2Ba

来gydF4y2Ba解指数方程gydF4y2Ba，我们需要考虑gydF4y2Ba法治指数gydF4y2Ba．这些规则对我们解这类方程很有帮助。gydF4y2Ba

在解指数方程时，下面的定理通常是有用的:gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是一个非零gydF4y2Ba常数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba $一个^ ^ x = y,gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $X = y。\ _\平方gydF4y2Ba$

我们有gydF4y2Ba

$\开始{对齐}^ x = y ^ \ neq 1 \ \ \压裂{x ^} {^ y} & = 1 \ \ ^ {x - y} & = 1 \ \ x - y & x = 0 \ \ & = y。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

下面是如何解指数方程:gydF4y2Ba

1. 管理方程使用gydF4y2Ba法治指数gydF4y2Ba还有一些简单的代数定理。gydF4y2Ba
2. 用刚才证明过的定理。gydF4y2Ba

解决gydF4y2Ba ${5^{x-1}} = 125}。gydF4y2Ba$

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让两边的底数都等于5gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始压裂{1}{5 ^ {x}} & = 125 \ \ 5 ^ {- (x - 1)} & = 5 ^ 3 \ \ - x (x - 1) & = 3 \ \ & = 2。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

解决gydF4y2Ba $4^{x-3} = 0.125。gydF4y2Ba$

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把两边的底都换成2gydF4y2Ba

$\开始{对齐}4 ^{3}& = 0.125 \ \ 4 ^{3}& = \压裂{125}{1000}\ \ 2 ^{2×6}& = \压裂{1}{8}\ \ 2 ^{2×6}& = 2 ^ {3}\ \ 2 x-6& = 3 \ \ x = \压裂{3}{2}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

找出…的价值gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$当gydF4y2Ba $4 ^ x = 16。gydF4y2Ba$

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我们有gydF4y2Ba $4^x = 4^2gydF4y2Ba$那么这个定理"如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是一个非零gydF4y2Ba常数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba $一个^ ^ x = y,gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $x = ygydF4y2Ba$“让gydF4y2Ba $x = 2。\ _ \广场gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $8 ^ x = 2gydF4y2Ba$是什么gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$？gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba

$\{对齐}开始8 x ^ & = 2 \ \ \大(2 ^ 3 \大)^ {x} & = 2 \ \ 2 ^{3} & = 2 ^{1}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

将幂等分，我们得到gydF4y2Ba

$\begin{aligned} 3x & = 1\\ x & = \dfrac{1}{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $6 ^ x - 1 = 0,gydF4y2Ba$是什么gydF4y2Ba $x ?gydF4y2Ba$

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我们有gydF4y2Ba

$\{对齐}6日开始^ x - 1 = 0 \ \ 6 ^ x & = 1 \ \ 6 x x & = 6 ^ 0 ^ \ \ & = 0。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $(8) (9 ^ x) = 9 x ^,gydF4y2Ba$是什么gydF4y2Ba $x ?gydF4y2Ba$

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我们有gydF4y2Ba

$\{对齐}开始(8)(9 x ^) & = ^ 9 x \ \ (8) (9 x ^) - 9 x ^ & = 0 \ \ (7) 9 x ^ & = 0 \ \ 9 x ^ & = 0。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

那么这个定理"如果gydF4y2Ba $\ neq 0gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $^ x = 0,gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $x = \φgydF4y2Ba$“让gydF4y2Ba $x = \φ。\ _ \广场gydF4y2Ba$

如果基底不同，解指数方程还是有技巧的。如果基数是公共基数的幂，我们只需要将一个或两个基数转换为公共基数，然后继续使用“Same base”情况。gydF4y2Ba

解决gydF4y2Ba $4 ^ {3} = 8 ^ {x - 1}。gydF4y2Ba$

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我们看到，虽然4和8是不同的底数，但它们都是同一底数的幂，也就是2。我们将继续用它们的公用基来重写4和8:gydF4y2Ba

$\开始{对齐}4 ^ {3}& = 8 ^ {x - 1} \ \ \大(2 ^ 2 \大)^{3}& = \大(2 ^ 3 \大)^ {x - 1} \ \ 2 ^ 6 {x} & = 2 ^ {3 - 3} \ \ 6 x = 3 - 3 \ \ x = 1。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

解出gydF4y2Ba $x:gydF4y2Ba$ $\ dfrac {8 ^ {4 x - \ sqrt {x}}} {{16} ^ {2 x + \√{x}}} = 2 ^{2 \√{x}}gydF4y2Ba$

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我们有gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始dfrac {8 ^ {4 x - \ sqrt {x}}} {{16} ^ {2 x + \√{x}}} & = 2 ^{2 \√{x}} \ \ \ \ \ dfrac{{\大(2 ^ 3 \大)}^ {4 x - \ sqrt {x}}}{{{\大(2 ^ 4 \大)}}^ {2 x + \√{x}}} & = 2 ^{2 \√{x}} \ \ \ \ \ dfrac {2 ^ {12 x - 3 \ sqrt {x}}} {2 ^ {8 x + 4 \ sqrt {x}}} & = 2 ^{2 \√{x}} \ \ \ \ 2 ^ {12 x - 3 \ sqrt {x} - 8 x - 4 \ sqrt {x}} & = 2 ^{2 \√{x}} \ \ \ \ 2 ^ {4 x - 7 \ sqrt {x}} & =2 ^{2 \√{x}}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

把幂相等gydF4y2Ba

${对齐}4 x - 7 \ \开始sqrt {x} & = 2 \√{x} \ \ 4 x & = 9 \ sqrt {x} \ \ \ sqrt {x} & = \ dfrac {9} {4} \ \ x & = \ dfrac{81}{16}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

解决gydF4y2Ba ${27^{3 -2}}{243} = 81^{3 -6}。gydF4y2Ba$

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把两边27,81和243的碱基减少到3个产量gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始压裂{27 ^ {3 x - 2}}{243} & = 81 ^{3×6}\ \ \压裂{3 ^{9×6}}{3 ^ 5}& = 3 ^ 3 ^{12×24}\ \ {9 x-6-5} & = 3 ^ 3 ^{12×24}\ \{9×11}& = 3 ^{12×24}\ \ 9×11 & = 12×24 \ \ 3 x & = 13 \ \ x & = \压裂{13}{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

不幸的是，不可能总是像我们在上面的例子中所做的那样转换为公共基。gydF4y2Ba

例如，在解决问题时gydF4y2Ba $5^{x} = 3^{x + 2}gydF4y2Ba$，我们注意到5和3不是一个好的公共底的幂。在这种情况下，我们需要使用对数。gydF4y2Ba

解决gydF4y2Ba $5^{x} = 3^{x + 2}。gydF4y2Ba$

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我们有gydF4y2Ba

$\{对齐}开始5 ^ {x} & = 3 ^ {x + 2} \ \ \ log_ {10} (5 ^ {x}) & = \ log_{10} \大(3 ^ {x + 2} \大)\ \ x \ log_ {10} 5 & = (x + 2) \ log_ {10} 3 \ \ x \ log_ {10} 5 & = x \ log_ {10} 3 + 2 \ log_ {10} 3 \ \ x \ log_ {10} 5 - x \ log_ {10} 3 & = 2 \ log_ {10} 3 x \ \ \大(\ log_ {10} 5 - \ log_{10} 3 \大)& = 2 \ log_{10} 3。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

因此,gydF4y2Ba

$x = \压裂{2 \ log_ {10} 3} {\ log_ {10} 5 - \ log_{10} 3} \ \ _ \广场约4.3013gydF4y2Ba$

鉴于gydF4y2Ba $1728 = 2 ^ ^由bgydF4y2Ba$，求正整数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba

$\{对齐}1728年开始& = {12}^ {3 }\\ & = {( 4×3)}^{3}\ \ & = 4 ^ 3×3 ^ 3 \ \ & ={(2 ^ 2)}^ 3×3 ^ 3 \ \ & = 2 ^ 6×3 ^ 3 \ \ \ Rightarrow & = 6, \ b = 3。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

解决gydF4y2Ba $3 ^ {x ^ 2} = 3 ^ {x}。gydF4y2Ba$

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由于方程的两边有相同的底，它们的指数也必须相同:gydF4y2Ba

$\开始{对齐}3 ^ {x ^ 2} & = 3 ^ {x} \ \ x ^ 2 & = x \ \ x ^ 2-x& = 0 x (x - 1) & = 0 \ \ \ \ \ Rightarrow x = 0, 1。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $2^x \cdot 3^y \cdot 5^z = 45，gydF4y2Ba$价值是什么?gydF4y2Ba $x + y + z ?gydF4y2Ba$

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观察到gydF4y2Ba $45gydF4y2Ba$可以分解为:gydF4y2Ba

$45 = 3 ^ 2 \ \ cdot3 cdot5 = 2 ^ 0 ^ 2 \ cdot5 ^ 1。gydF4y2Ba$

然后gydF4y2Ba $x = 0, y = 2, z = 1,gydF4y2Ba$这给了gydF4y2Ba $x + y + z = 0 + 2 + 1 = 3。gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $X ^ X \c ^y = 108，gydF4y2Ba$价值是什么?gydF4y2Ba $x + y ?gydF4y2Ba$

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$108gydF4y2Ba$可以分解为:gydF4y2Ba

$108 = 2^2 \cdot 3^3。gydF4y2Ba$

这意味着gydF4y2Ba $x = 2, y = 3gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $x = 3, y = 2。gydF4y2Ba$因此答案是gydF4y2Ba $x + y = 2 + 3 = 5。\ _ \广场gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba ${2^5}{2^3} \cdot 3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2 = 2^x \cdot 3^y，gydF4y2Ba$价值是什么?gydF4y2Ba $x + y ?gydF4y2Ba$

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$\压裂{2 ^ 5}{2 ^ 3}gydF4y2Ba$可以重写为gydF4y2Ba

$\压裂{2 ^ 5}{2 ^ 3}={2}^{5 - 3}= 2 ^ 2。\ qquad (1)gydF4y2Ba$

$3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2gydF4y2Ba$可以重写为gydF4y2Ba

$3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2 =3^{0+1+2}=3^3。\ qquad (2)gydF4y2Ba$

从gydF4y2Ba $（1)gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $(2)，gydF4y2Ba$ $xgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$\begin{align} \frac{2^5}{2^3} \cdot 3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2 &= 2^2 \cdot 3^3 \\ &= 2^x \cdot 3^y \\ \右tarrow x&= 2，\ y=3。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

因此,gydF4y2Ba $X +y= 2+3 = 5。\ _ \广场gydF4y2Ba$

一个gydF4y2Ba指数方程gydF4y2Ba是指数中出现变量的情况。如果方程两边的底相同，那么两边的指数也相同:gydF4y2Ba

$A ^x= A ^y \意味着x=y。gydF4y2Ba$

以下是关于指数函数的一些规则:gydF4y2Ba

$a^{m+n} = a^{m+n}gydF4y2Ba$
$a^{m-n} = a^{m-n}gydF4y2Ba$
$a^{mn} = a^{mn}gydF4y2Ba$
$\四(4)~ ~ (ab) ^ n = ^ {n} b ^ {n}gydF4y2Ba$
$\四(5)~ ~ ^ 0 ^ 0 = bgydF4y2Ba$
$1 \四(6)~ ~ ^ ^ n m = 1,gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $一个\ neq0gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $b \ neq0。gydF4y2Ba$总是小心gydF4y2Ba $（5)gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $（6）gydF4y2Ba$；永远不要忘记检查在指数中代入0是否有效，或者是否有等于1的底数。gydF4y2Ba