指数规则 - 代数

对于应用于数值示例而不是代数表达式的指数规则，阅读指导规则。

指数是我们编写重复乘法的简写方式。我们很容易找到价值 $A ^ B.$通过乘法 $一种$很多次。例如，具有众多计算，

$2 ^ 2 \ times 2 ^ 3 \ times 2 ^ 4 = 4 \ times 8 \ times 16 = 512 = 2 ^ 9。$

然而，这种方法将迅速导致大量引入并发症。指数规则为我们提供了一种捷径的方法，并得出结论

$2 ^ 2 \ times 2 ^ 3 \ times 2 ^ 4 = 2 ^ {2 + 3 + 4} = 2 ^ 9。$

指数规则是：

$\ begin {array} {c |c} \文本{规则名称}＆\ text {sure} \\ \ hline \ text {product sure}＆a ^ m \ time a ^ n = a ^ {m + n} \\＆a ^ n \ time b^ n =（a \ times b）^ n \\ \ hline \ text {quientize规则}＆a ^ n / a ^ m = a ^ {n - m} \\＆a ^ n / b ^ n =（a/B.）^ n \\ \hline \text{Negative Exponent} & a^ {-n} = \frac{1}{a^n} \\ \hline \text{Power Rule} & (a^n)^m = a^ { n \times m } \\ & a ^ { 1/n} = \sqrt[n]{a } \\ & \sqrt[m]{ a^n} = a^ { n/m} \\ \hline \text{Tower Rule} & a ^ { n^ m } = a ^ { \left ( n^ m \right) } \\ \hline \text{Zero Rule} & a^0 = 1 \\ & 0^ a = 0 \text{ for } a > 0 \\ \hline \text{One Rule} & a^1 = a \\ & 1^a = 1 \\ \end{array}$

如果是这些规则是真的 $一种$是积极的， $m$那 $N$是正整数。

笔记：对于电力规则，有 $n = 2$和 $m = \ dfrac {1} {2}$，LHS（左侧）是 $（a ^ 2）^ {\ frac {1} {2}} = |a |$，而RHS（右侧）是 $a ^ {2 \ times \ frac {1} {2}} = a$。这些不等于。处理消极或复杂值时也有特殊情况。

因为大多数人都有难度和分数指数困难，所以我们向这些部分增加了额外的练习。

$\大a ^ m \ times a ^ n = a ^ {m + n}$

当基础相同时，您可以添加指数。

什么是 $A ^ 3 \倍A ^ 4$还是

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我们有

$A ^ 3 \次A ^ 4 =（a \ times a \ times a）\ times（a \ times a \ times a \ times a）= a ^ 7。$

换句话说， $^ 3 \ \倍^ 4 = a ^ {3 + 4} = a ^ 7。\ _\正方形$

什么是 $x \ times x ^ 2 \ times x ^ 6 \ times x ^ 4$还是

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我们有

$x \ times x ^ 2 \ times x ^ 6 \ times x ^ 4 = x ^ {1 + 2 + 6 + 4} = x ^ {13}。\ _\正方形$

什么是 $A ^ 2 \次数a ^ 3 \ times b \ times c ^ 2 \ times b ^ 4 \ times c ^ 7$还是

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我们有

$A ^ 2 \倍A ^ 3 \ times b \ times c ^ 2 \ time b ^ 4 \ time c ^ 7 = a ^ {2 + 3} b ^ {1 + 4} c ^ {2 + 7} = a^ 5b ^ 5c ^ 9。\ _\正方形$

$\大a ^ n \ times b ^ n =（a \ times b）^ n$

当指数相同时，您将乘以基础。

什么是 $（a \ times b）^ 5$还是

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我们有

$（a \ times b）^ 5 = a ^ 5 \ times b ^ 5 = a ^ 5 b ^ 5。\ _\正方形$

什么是 $a ^ 3 \ times b ^ 3$还是

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我们有

$a ^ 3 \ times b ^ 3 =（a \ times b）^ 3 =（ab）^ 3。\ _\正方形$

$\大\ frac {a ^ n} {a ^ m} = a ^ {n - m}$

什么是 $a ^ 6 \ div a ^ 3$还是

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我们有

$a ^ 6 \ div a ^ 3 = a ^ {6-3} = a ^ 3。\ _\正方形$

什么是 $a ^ {5} \ div a ^ {7}$还是

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我们有

$a ^ {5} \ div a ^ {7} = a ^ {5-7} = a ^ { - 2}。\ _\正方形$

什么是 $x ^ 2 \ div x ^ 4$还是

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我们有

$x ^ 2 \ div x ^ 4 = x ^ {2-4} = x ^ { - 2} = \ frac {1} {x ^ 2}。\ _\正方形$

$\大\ frac {a ^ n} {b ^ n} = \ left（\ frac {a} {b}右）^ n$

当指数相同时，您可以划分基础。

什么是 $\ frac {a ^ 2} {b ^ 2}？$

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我们有

$\ frac {a ^ 2} {b ^ 2} = \ left（\ frac {a} {b}右）^ 2。\ _\正方形$

一种负指数当我们有一个编写的数​​字时发生 $A ^ B.$， 在哪里 $B.$小于零。解释这一点，如果我们替代 $n = 0.$和 $m = 1$在商品规则中，我们得到

$a ^ { - 1} = a ^ {0-1} = \ frac {a ^ 0} {a ^ 1} = \ frac {1} {a}。$

更一般地，我们有

$a ^ {-n} = \ frac {a ^ 0} {a ^ n} = \ frac {1} {a ^ n}。$

互惠的：

对于任何非零实数 $一种，$号码 $a ^ { - 1}$是它的互惠的。 $_\正方形$

什么是 $A ^ { - 3}$还是

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我们有

$a ^ { - 3} = \ frac {1} {a ^ 3}。\ _\正方形$

表达方式 $\ dfrac {x ^ 5 \ cdot y ^ { - 3}} {x ^ { - 2} \ cdot y ^ 3}$可以简化到 $x ^ a \ cdot y ^ b$。找 $A + b。$

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可以将给定的表达式重写为

$\ begin {对齐} \ dfrac {x ^ 5 \ cdot y ^ { - 3}} {x ^ { - 2}} {x ^ { - 2}} {x ^ { - 2} \ cdot y ^ 3}＆= x ^ 5 \ cdot y ^ { - 3} \ cdot \ left（\ frac {1} {x}右）^ { - 2} \ cdot \ left（\ frac {1} {y} \ oled）^ 3 \\＆= x ^ 5 \ cdot y ^ { - 3}\ cdot x ^ 2 \ cdot y ^ { - 3} \\＆= x ^ 5 \ cdot x ^ 2 \ cdot y ^ { - 3} \ cdot y ^ { - 3} \\＆= x ^ {5+2} \ cdot y ^ { - 3 -3} \\＆= x ^ {7} \ cdot y ^ { - 6}。\结束{对齐}$

比较，我们得到了 $A = 7.$和 $b = -6，$这意味着

$A + B = 7 - 6 = 1。\ _\正方形$

$\大（a ^ m）^ n = a ^ {m \ times n}$

什么是 $\左（\左（a ^ 2 \右）^ 5 \右）^ 3$还是

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我们有

$\左（\左（a ^ 2 \右）^ 5 \右）^ 3 = a ^ {2 \ times 5 \ times 3} = a ^ {30}。\ _\正方形$

什么是 $\左（a ^ 4 \右）^ 2 \ times \ left（a ^ 2 \右）^ 3$还是

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我们有

$\左（a ^ 4 \右）^ 2 \ times（a ^ 2）^ 3 = a ^ {4 \ times 2} \ times a ^ {2 \ times 3} = a ^ {8 + 6} = a ^{14}。\ _\正方形$

什么是 $\左（a ^ 2 \右）^ 5 \ times \ left（b ^ 4 \右）^ 3$还是

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我们有

$\左（a ^ 2 \右）^ 5 \ times \ left（b ^ 4 \右）^ 3 = a ^ {2 \ times 5} \ times b ^ {4 \ times 3} = a ^ {10} b^ {12}。\ _\正方形$

什么是 $\左（a ^ 7 \ times b ^ 4 \右）^ 5$还是

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我们有

$\左（a ^ 7 \ times b ^ 4 \右）^ 5 = a ^ {7 \ times 5} \ times b ^ {4 \ times 5} = a ^ {35} b ^ {20}。\ _\正方形$

什么是 $\左（\ frac {a ^ 3} {b ^ 2} \右）^ 4$还是

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我们有

$左（\ frac {a ^ 3} {b ^ 2} \右）^ 4 = \ frac {a ^ {3 \ times 4}} {b ^ {2 \ times 4}} = \ frac {a ^ {12}} {b ^ 8}\ _\正方形$

$\大a ^ {n ^ m} = a ^ {\ left（n ^ m \ rice）}$

在一个指数塔中，从顶部工作。

这是一个非常常见的错误，因为我们忘记了定义是工作形成全面，而不是从自下而上。服用 $a ^ {（b ^ c）} = \左（a ^ b \右）^ c$是A.常见的错误是的。

如果 $x> 1$，以下哪项更大： $x ^ {2 ^ 3}$或者 $左（x ^ 2 \右）^ 3？$

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我们有 $x ^ {2 ^ 3} = x ^ 8$， 和 $\左（x ^ 2 \右）^ 3 = x ^ {2 \ times 3} = x ^ 6$。自从 $x> 1$， 我们有 $x ^ 8> x ^ 6$。因此， $x ^ {2 ^ 3}$更大。 $_\正方形$

$\大\ begin {array} {c}＆a ^ {1 / n} = \ sqrt [n] {a}，＆a ^ {m / n} = \ sqrt [n] {a ^ m}。\结束{array}$

提升到分数力量类似于服用a根。
第二条规则通过提高第一个规则来遵循 $m ^ {\ text {th}}$力量。

什么是 $x ^ {\ frac {1} {2}}$还是

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我们有 $x ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {x}。\ _ \正方形$

什么是 $左（x ^ 2 \右）^ {\ frac {1} {4}}$还是

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我们有 $\左（x ^ 2 \右）^ {\ frac {1} {4}} = x ^ {\ frac {2} {4}} = x ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {X} 。\ _\正方形$

$\大1 ^ a = 1$

$1$向任何权力提升等于 $1。$

什么是 $1 ^ x$还是

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$1 ^ x$总是等于 $1$对于任何真正的价值 $X$。 $_\正方形$

$\ text {if} a \ neq 0，\ text {则} a ^ 0 = 1. \ _ \ square$

向零功率等于的任何非零数量 $1。$

什么是 $一个^ 0.$， 在哪里 $一种$是一个非零实数吗？

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我们有

$A ^ 0 = 1. \ _ \ Square$

什么是 $x ^ 5 \ div x ^ 5$， 在哪里 $X$是一个非零实数吗？

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我们有

$x ^ 5 \ div x ^ 5 = x ^ {5-5} = x ^ 0 = 1. \ _ \ square$

有关的信息 $0 ^ 0，$看什么是 $0 ^ 0.$。

简化

$\左（\ frac {x ^ 5y ^ { - 3}} {x ^ 3y ^ 8} \右）^ 2。$

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我们有

$\左（\ frac {x ^ 5y ^ { - 3}} {x ^ 3y ^ 8} \右）^ 2 = \ left（x ^ {5-3} y ^ { - 3-8} \右）^2 =左（x ^ 2y ^ { - 11} \右）^ 2 = x ^ 4y ^ { - 22} = \ frac {x ^ 4} {y ^ {22}}。\ _\正方形$

简化

$\ frac {\ left（27 x ^ 4 y ^ { - 5}右）^ 3} {\ left（81 x ^ 2 y ^ { - 3}右）^ 2}。$

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我们有

$\ begin {对齐} \ frac {\ left（27 x ^ 4 y ^ {-5}右）^ 3} {\ left（81 x ^ 2 y ^ {-3}右）^ 2}＆= \Frac {\ left（3 ^ 3 x ^ 4 y ^ {-5}右）^ 3} {\ left（3 ^ 4 x ^ 2 y ^ { - 3}右）^ 2} \\＆= \Frac {3 ^ 9 x ^ {12} y ^ { - 15}} {3 ^ 8 x ^ 4 y ^ { - 6}} \\＆= 3 ^ {9-8} x ^ {12-4} y^ { - 15 - （ - （ - 6）} \\＆= 3 ^ 1 x ^ 8 y ^ { - 9} \\＆= \ frac {3x ^ 8} {y ^ 9}。\ _ \ square \结束{对齐}$

如果 $3 ^ {x-y} = 81$和 $3 ^ {x + y} = 729$， 什么是 $X$还是

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将两个表达式乘以一起获得 $y$要取消：

$\begin{aligned} 3^{x-y} \times 3^{x+y} &= 81 \times 729 \\ 3^{x-y+x+y} &= 3^4 \times 3^6 \\ 3^{2x} &= 3^{10} \\ x &= 5. \ _\square \end{aligned}$

如果 $a ^ b = a ^ c，$在哪里 $一种$是一个积极的数字 $一个\ ne1，$然后它意味着 $B = C.$。

如果 $2 ^ 8 = x ^ 2$， 在哪里 $X$是一个积极的整数，是什么 $X？$

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我们可以将给定的等式重写为

$2 ^ 8 = 2 ^ {4 \ times 2} = \左（2 ^ 4 \右）^ 2 = 16 ^ 2 = x ^ 2，$

这意味着 $x = 16。$ $_\正方形$

如果 $27 ^ p = 3 ^ 7 \ times 9 ^ 4$， 什么是 $P？$

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首先，让我们将所有条款转换为权力 $3：$

$\ begin {对齐} 3 ^ {3p}＆= 3 ^ 7 \ times 3 ^ {4 \ times 2} \\＆= 3 ^ 7 \ times 3 ^ 8 \\＆= 3 ^ {7 + 8} \\＆= 3 ^ {15}。\结束{对齐}$

由于基地等于，我们可以说 $3p = 15，$这意味着 $p = 5。$ $_\正方形$