期望值
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应用概率
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在概率理论中,一个期望值为数值的理论平均值<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/uniform-probability/" class="wiki_link" title="实验" target="_blank">实验一个>经过多次重复的实验。期望值是衡量集中趋势;结果倾向于的价值。当概率分布是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/normal-distribution/" class="wiki_link" title="普通的" target="_blank">普通的一个>,多数结果将接近预期值。
任何给定随机变量包含丰富的信息。它可以具有许多(或无限)可能的结果,每个结果可能具有不同的可能性。预期值是一种在单一数值中总结所有这些信息的方式。
定义
如果概率实验的样本空间只包含数值结果,则a随机变量是表示这些结果的变量。例如,掷一个公平的六面骰子的结果是一个随机变量,它以概率从1到6取每个值 61.这是一个例子<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/discrete-random-variables-definition/" class="wiki_link" title="离散随机变量" target="_blank">离散随机变量一个>.
对于一个离散随机变量,预期值可通过由该结果的概率每个数值相乘结果,然后将这些积相加在一起来计算。公平六面模的预期值的计算方法如下:
61(1)+61(2)+61(3.)+61(4)+61(5)+61(6)=3..5.
让 X是一个离散的随机变量。然后是的预期值 X,表示为 E[X]或 μ., 是
E[X]=μ.=x∑xP(X=x).
卡片堆栈包含标有一个卡 1,两张牌标有 2,三张牌标记为 3.和标有四张牌 4.如果打乱堆栈并抽到一张牌,抽到的牌的期望值是多少?
让 X为表示所抽牌值的随机变量。然后
P(X=1)P(X=2)P(X=3.)P(X=4)⇒E[X]=101=51=103.=52=(1×101)+(2×51)+(3.×103.)+(4×52)=3..
绘制的卡的预期价值是 3..□
从理论测量的角度来看,让( ω.,F,P)是一个度量空间。为了计算一般随机变量的期望或积分,我们必须按照以下方式进行<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/axioms-of-probability/">概率的原理一个>一个定义 σ.-algebra。
步骤1:期望, E{X}简单随机变量的
随机变量, X叫做简单,如果可以写成 X=∑我=1n一个我1一个我,这样 一个我形成的分区 ω., 那是, ⋃我=1n一个我=ω.和 一个我∩一个j=∅∀我=j,每个人 一个我=一个我.
现在我们可以将一个简单随机变量的期望定义为:E{X}=∑我=1n一个我P(一个我), 在哪里 P(一个我)是概率测量和每个 一个我∈F, F是A. σ.-algebra的子集 ω.. E{X}等价地写成 E{X}=∫X(ω.)P(dω.)或 ∫XdP
自分区以来 ω.有许多不同的表现,我们必须表明,考虑到任何代表的选择,我们仍然以明确的期望概念结束。
的定义 E{X}简单随机变量的定义很好。
证明:
让 X=∑我=1n一个我1一个我和 Y=∑我=1nb我1Bj是两个简单的随机变量,这样 ⋃我=1n一个我=ω.=⋃j=1米Bj在哪里 一个我∩一个l=∅∀我=l和 Bj∩Bk=∅∀j=k.注意,我们可以写出每一个 一个我=一个我∩ω.=一个我∩(⋃j=1米Bj)和每一个人 Bj=Bj∩ω.=Bj∩(⋃我=1n一个我).因此,我们可以重写我们的简单函数表示 X作为 X=∑我=1n一个我1一个我=∑我=1n一个我1一个我∩(⋃j=1米Bj).由于所有 一个我和 Bj是不相交的,每个 一个我∩Bj形成一个不相交的联盟 ω., 因此, X=∑我=1n一个我1一个我∩(⋃j=1米Bj)=∑我=1n∑j=1米一个我1一个我∩Bj.我们做简单的随机变量相同, Y=∑j=1米∑我=1nbj1一个我∩Bj.因此,我们让 一个我=bj在所有 一个我∩Bj=∅然后我们看到了 X=∑我=1n∑j=1米一个我1一个我∩Bj=∑j=1米∑我=1nbj1一个我∩Bj=Y.现在需要期待 X和 Y我们有 E{X}=∑我=1n∑j=1米一个我P(一个我∩Bj)=∑j=1米∑我=1nbjP(一个我∩Bj)=E{Y}简单随机变量的期望定义很好。 ■
特性
下面两个定理说明如何翻译或由恒定缩放随机变量变化的预期值。说明如下。
对于随机变量 X和任意常数 c,
E[X+c]=E[X]+c.
我们有
E[X+c]=x∑(x+c)P(X+c=x+c)=x∑xP(X=x)+x∑cP(X=x)=E[X]+cx∑P(X=x)=E[X]+c⋅1=E[X]+c.□
对于随机变量 X和任意常数 c
E[cX]=cE[X].
通过期望的定义
E[cX]=x∑cxP(cX=cx)=cx∑xP(X=x)=cE[X].□
第一个定理表明,通过恒定翻译所有变量也意味着在相同的恒定的预期值。这使得直观的感觉,因为如果所有的变量都通过恒译,中央或平均值也应该不断的转换。第二定理表明,由恒定缩放的随机变量的值 c也缩放了预期的价值 c.
一个公平的六面的管芯标记的每个面与数字5至10是什么模辊的预期值?
从之前,我们知道常规六面模的预期价值是 E[X]=3..5.这个问题是自找的 E[X+4].
因此,掷模的期望值为 3..5+4=7.5. □
一个公平的六面骰子在每个面上都标有前6个5的正数倍数。掷骰子的期望值是多少?
从之前,常规六面模辊的预期值是 E[X]=3..5.这个问题是自找的 E[5X].
因此,掷模的期望值为 3..5×5=17.5. □
我们现在展示如何计算随机变量和的预期值。
让 X和 Y是随机变量。然后
E[X+Y]=E[X]+E[Y].
掷两个公平的六面骰子。它们滚动次数总和的期望值是多少?
从之前,众所周知,单个普通六面模的预期值是 E[X]=3..5.这个问题是自找的 E[X+X].
因此,模辊和的期望值为 3..5+3..5=7. □
期望的线性
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="期望的线性" target="_blank">期望的线性一个>.
上述定理可以组合以证明以下内容:
对于任意随机变量 X1,X2,...,Xk和常数 c1,c2,...,ck,我们有
E[我=1∑kc我X我]=我=1∑kc我E[X我].
这被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="线性的期望" target="_blank">线性的期望一个>,并保持甚至当随机变量 X我不是独立的事件。
一个公平的六面骰子要反复掷出,直到连续掷出三个六。预期的滚动次数是多少?
让 Xn表示需要获得的滚动次数的随机变量 n连续六人。
为了得到 n连续六人,必须首先 n−1连续六人。然后,这 nth连续六年将出现与下辊 61概率,或者该过程将在下一卷上敲击 65概率:
E[Xn]=E[61(Xn−1+1)+65(Xn−1+1+Xn)]=E[Xn−1+1+65Xn].
通过期望的线性,
E[Xn]=E[Xn−1]+1+65E[Xn].
解决 E[Xn]产量
E[Xn]=6E[Xn−1]+6.
可以找到它 E[X1]=6, 所以 E[X2]=6×6+6=42, 和 E[X3.]=6×42+6=258.
在连续掷出三个六之前,期望掷出的次数是 258. □
连续随机变量
有两种类型的随机变量,离散和连续。从上面的模侧滚动示例是离散随机变量的示例,因为变量可以采用有限数量的离散值。从间隔选择一个随机的实数 [0,1]将是连续随机变量的一个例子。
给定连续随机变量 X和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-random-variables-probability-density/" class="wiki_link" title="概率密度函数" target="_blank">概率密度函数一个> f(x),预期值 X是由的
E[X]=∫xxf(x)dx.
给出概率密度函数 f(x)=3.x2在区间上定义 [0,1]是什么 E[X]?
根据上述定义,
E[X]=∫013.x3.dx=43.x4∣∣∣∣01=43..□
条件期望
让 X和 Y是离散随机变量。然后是期望值 X考虑到事件 Y=y,表示为 E[X∣Y=y], 是
E[X∣Y=y]=x∑xP(X=x∣Y=y).
鉴于“头部”翻转的数量大于2,鉴于“头部”翻转的数量大于2,预计的“头部”翻转的预期数量是多少?
在这个例子中, X是在硬币5翻转的“头”翻转的数量, Y=y是代表的活动 X>2.
回想一下<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/conditional-probability-distribution/" class="wiki_link" title="有条件的概率" target="_blank">有条件的概率一个>: P(X=x∣Y=y)=P(Y=y)P(X=x∩Y=y).
因此所期望的总和为
E[X∣Y]=3.(P(X>2)P(X=3.))+4(P(X>2)P(X=4))+5(P(X>2)P(X=5)).
这些概率可以使用该概率计算<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/" class="wiki_link" title="二项分布" target="_blank">二项分布一个>:
P(X=3.)P(X=4)P(X=5)⇒P(X>2)=(3.5)(21)5=165=(45)(21)5=3.25=(55)(21)5=3.21=P(X=3.)+P(X=4)+P(X=5)=21.
用这些值,
E[X∣Y]=3.(2)(165)+4(2)(3.25)+5(2)(3.21)=1655.
抛掷两次以上正面的期望次数是 1655=3..43.75.□
让 X为连续随机变量,设 f(x)是它的密度函数。让 Y=y成为一个事件,让 χrange X鉴于 Y=y.然后是期望值 X考虑到事件 Y=y,表示为 E[X∣Y=y], 是
E[X∣Y=y]=P(Y=y)∫x∈χxf(x)dx.
让 X是具有密度函数的连续随机变量 f(x)=2x,0<x<1.
是什么 E[X∣X<21]?
在这个例子中,条件 X<21应用在随机变量上 X.在此条件下 X是 0<x<21.
概率 P(X<21)可以用相同的边界计算:
P(X<21)=∫0212xdx=x2∣01/2=41.
然后是期望值 X鉴于 X<21用上面的公式计算。
E[X∣X<21]=P(X<21)∫01/22x2dx=413.2x3.∣01/2=41121−0=3.1.
预期的价值 X鉴于 X<21是 3.1. □
其他工作的例子
有2个袋子,并将1到5的球放置在每个袋子中。从每个袋子中,去除1个球。两个球总数的预期值是多少?
考虑下表,该表列出了第一行中第一球的可能值,以及第一列中的第二球的可能值。表中的每个条目都是通过查找这两个值的总和来获得的:
123.45123.45623.45673.456784567895678910
让 X是表示这些值之和的随机变量。然后,我们可以看到概率分布 X如下表计算公式如下:
xP(X=x)22513.2524253.5254625572548253.925210251
因此,这使我们可以计算
E[X]=2×251+3.×252+4×253.+5×254+6×255+7×254+8×253.+9×252+10×251=6.□
注意:我们如何利用预期的线性度在迅速的结果到达?
n掷六面骰子。期望的次数是多少 5滚动了?
要确定滚动的预期次数,我们可以定义 Y成为的次数的随机变量 5滚动,和 Y我是模具的随机变量 我滚一个 5.很容易看到 E(Y我)=61×1+65×0=61.我们有 Y=我=1∑nY我,通过期望的线性关系, E(Y)=我=1∑nE(Y我).因此, E(Y)=6n. □
注:我们也可以注意到,由于越来越每个号码的概率是相等的,我们得到每个数字的预期次数是相同的回答这个问题,并且这些期望的总和 n,所以每个数字的期望是 6n.
数学上来说,让 Z我对的次数随机变量 我推出了 n抛出。通过对称性,我们知道 E[Z我]是一个常数。由于共有的 n结果, n=Z1+Z2+Z3.+Z4+Z5+Z6.这给了我们
n=E[Z1+Z2+Z3.+Z4+Z5+Z6]=E[Z1]+E[Z2]+E[Z3.]+E[Z4]+E[Z5]+E[Z6]=6E[Z我].
考虑一个独立硬币序列的伯努利过程,用于具有头部概率的硬币 p.让 X我是一个随机变量 X我=1如果 我th翻转是头部和 X我=0如果 我th翻转是尾巴。让 Y是一个随机变量,指示试验次数,直到硬币序列中的头部头部的第一触发。什么是预期的价值 Y?
在第一次正面出现之前,抛掷硬币次数的可能值是 1,2,3.,...,这些是随机变量的可能值 Y.为了 我=1,2,3.,...,即 Y=我概率是第一个吗 我−1轨迹是尾巴和试验 我是头。这使分布 p(Y=我)=(1−p)我−1p,这是一个几何分布的随机变量。然后
E[Y]=我=1∑∞我(1−p)我−1p=p(1+2(1−p)+3.(1−p)2+4(1−p)3.+⋯).
现在 ∣x∣<1, 我们有
1+x+x2+x3.+⋯=1−x1
对它求导
1+2x+3.x2+⋯=(1−x)21.
然后
E[Y]=p(1+2(1−p)+3.(1−p)2+4(1−p)3.+⋯)=(1−(1−p))2p=p2p=p1.□
掷骰子实验的期望值
掷骰子实验可以从集合中得到一个结果 {1,2,3.,4,5,6}.因此随机变量 X(掷骰子的结果)可以有 6值如下:
x1=1,x2=2,x3.=3.,x4=4,x5=5,x6=6.
为了得到一个公平的骰子, P(x1)=P(x2)=P(x3.)=P(x4)=P(x5)=P(x6)=61,暗示
E(X)=x1P(x1)+x2P(x2)+x3.P(x3.)+x4P(x4)+x5P(x5)+x6P(x6)=61×(1+2+3.+4+5+6)=3..5.□
注意:观察变量的预期值 X不需要是其中的价值 X如该示例所示。
抛掷均匀硬币直到得到正面次数的期望值
让
X活动=次数扔一枚硬币,直到你得到一个头={H,TH,TTH,TTTH,TTTTH,...}.
然后
XP(X)={1,2,3.,4,5,...}={21,41,81,161,3.21,...}.
然后我们有 E(X)=1×21+2×41+3.×81+4×161+5×3.21+⋯.(1)
两边同时除以 2给了 21E(X)=41+2×81+3.×161+4×3.21+5×641+⋯.(2)服用 (1)−(2),我们有
21E(X)⇒E(X)=21+41+81+161+3.21+641+⋯=1−2121=1=2.□
解决问题
−$10 $0 +$10 +$∞拉斯维加斯赌场magnicifecto.很难把酒店客人吸引到赌场。赌场空无一人促使管理层采取严厉措施,他们决定放弃减持。他们决定提供一个“均价”游戏——无论玩家下注的大小 (说 $一个),他有50%的机会得到 +$一个,他将获得50%的几率 −$一个.他们认为,由于每场比赛的预期值是0,他们不应该做或在长期内失去金钱。
守财奴,谁是度假,决定利用这甚至价值的比赛。他有无限的资金(货币),并决定发挥以下方式在第一轮(全系列):
- 他先打了个赌
$10.
如果他赢了,他让他的收入和树叶。 他失去每一次,他再次翻倍他以前的赌注和戏剧的大小。
现在,什么是守财奴的(总)的奖金,从第一轮的预期值(当他离开该结束)?
“一轮”指的是上述游戏的整个系列。这个问题涉及到整个回合。这组问题有4轮。
这个问题是Go Big Or Go Home的一部分,它探索了期望值的线性。
图片来源:维基百科
引用:期望值。bright.org..检索到从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/expected-value/">//www.parkandroid.com/wiki/expected-value/一个>硕士概念如此
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