欧拉的一级方案

在复杂的分析，欧拉公式提供了一座基本桥梁指数函数和三角函数．为复数 $x$，欧拉的惯例说

$E ^{ix} = \cos{x} + I \sin{x}。$

除了作为基本数学结果的作用外，欧拉的配方在物理和工程中具有许多应用。

欧拉公式的一个直接证明可以简单地通过等式幂级数公式中各项表示形式:

$\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \压裂{x ^ 4} {4 !} - \ cdots$

和

$/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *} + \压裂{x ^ 5} {5 !} \ cdots,$

所以

${对齐}\ \开始因为{x} +我罪\ {x} & = 1 + ix - \压裂{x ^ 2} {2 !} - I \frac{x^3}{3!} + \压裂{x ^ 4} {4 !} - \ cdots\\ &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots \\ &= e^{ix}. \end{aligned}$

欧拉的一级方案

假设 $x$是复杂的。然后

$E ^{ix} = \cos{x} + I \sin{x}。$

计算 $e ^ {i \ pi}$．

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我们有

$E ^{i \pi} = cos{pi} + i \sin{pi} = -1，$

这导致了非常有名的欧拉恒等式: $E ^{i \pi} + 1 = 0。\ _ \广场$

计算 $我^ I.$．

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回想起那个 $forall k \in \mathbb{N}$我们有

$\{对齐}开始e ^{我(\π/ 2 + 2 \πk)} & =我\ \ \ Rightarrow \离开(e ^{我(\π/ 2 + 2 \πk)} \右)^ & ^ =我。结束\{对齐}$

所以，

$我= e ^ ^ {i ^ 2(\π/ 2 + 2 \πk)} = e ^{- \π/ 2 \πk}。\ _ \广场$

注意:这意味着 $我^ I.$不是一个定义明确的(唯一的)量。为了补救这个问题，需要指定一个分支切割。例如，我们可以定义的参数 $e ^{我\θ}$待定义 $\ theta \在[0,2 \ pi）中$，在这种情况下 $I ^ I = e^{-\ / 2}$．也就是这个力 $k = 0$．当然，不同的分支切割可以选择产生不同的值 $k$．

欧拉公式适用于任何复数 $x$被代表为 $e ^ {ix}$，它位于一个有实分量和虚分量的单位圆上 $\因为{x}$和 $罪\ {x}$， 分别。然后可以将各种操作（例如查找统一的根）被视为沿着的旋转单位圆．

欧拉公式的一个直接应用就是扩展三角函数的定义允许参数将函数的范围扩展到超出允许的范围实数．

一些有用的结果是

$E ^{-ix} = cos{x} - I {sin{x}，$

所以

$E ^{x} + E ^{- x} = 2 \cos{x}$

由此可见,

$\cos{x} = frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}，$

和类似的

$\ sin {x} = \ frac {e ^ {ix} - e ^ { - ix}} {2i}$

和

$谭\ {x} = \压裂{e ^{第九}- e ^{第九}}{我(e ^{第九}+ e ^{第九})}。$

解决 $\因为{x} = 2$在复数中。

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我们首先注意到，如果 $x = x_0.$是一个解决方案，那么也是吗 $x = 2 \ pi k \ pm x_0$对于任何一个整数 $k$．这是因为 $\ cos x.$是基本周期为的偶函数吗 $2 \ PI.$．

服用 $\ cos {x} = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ { - ix}} {2}$收益率

$\ begin {对齐} e ^ {ix} + e ^ { - ix}＆= 4 \\ \ left（e ^ {ix}右）^ 2-4e ^ {ix} +1＆= 0 \\ e ^{ix}＆= 2 \ pm \ sqrt {3} \\ \ lightarrow x＆dfrac1i \ ln \ left（2 \ pm \ sqrt 3 \右）\\＆= - i \ ln \ left（2 \ PM\ sqrt 3 \右）。结束\{对齐}$

因此， $X = 2 k \pm I \ln左(2 pm \根号{3}右)，2 k \mp I \ln左(2 pm \根号{3}右)$对于任何一个整数 $k$． $\ _ \广场$

欧拉公式还可以很容易地推导出几个三角恒等式。从

$e ^ {i（x \ pm y）} = \ cos（x \ pm y）+ i \ sin（x \ pm y），$

一个发现

$\{对齐}开始e ^{我(x、y)下午}& = e ^{第九}e ^ {\ iy点 } \\ &= (\ 因为罪{x} + i \ {x})(我\ \因为{y} \点罪{y }) \\ &= \ 因为{x} \因为{y} \议员\罪罪{x} \ {y} + i(罪\ {x} \下午因为{y} \ \因为{x} \罪{y})。结束\{对齐}$

将实部和虚部分别等价，就得到了我们熟悉的结果总和和差异公式

$\ cos (x、y)下午= \因为{x} \因为{y} \议员\罪{x} \ {y}的罪$

和

$\ sin (x、y)下午= \罪{x} \ cos {y} \ \下午因为{x} \ {y}的罪。$

欧拉定理的一个重要推论是de Moivre的定理．

De Moivre定理

$(我\ \因为{x} + sin (x)) ^ \φ= \因为{x} \φ+ i \罪{x} \φ$

我们有 $\ begin {对齐}（\ cos {a \ phi} + i \ sin {a \ phi}）\ times（\ cos {b \ phi} + i \ sin {b \ phi}）＆= \ \ cos {a\ phi} \ cos {b \ phi} + i \ cos {a \ phi} \ sin {b \ phi} + i \ sin {a \ phi} \ cos {b \ phi} - \ sin {a \ phi}\ sin {b \ phi} \\（\ cos {a \ phi} + i \ sin {a \ phi}）（\ cos {b \ phi} + i \ sin {b \ phi}）＆= \ cos {a \ phi} \ cos {b \ phi} - \ sin {a \ phi} \ sin {b \ phi} + i（\ cos {a \ phi} \ sin {b \ phi} + sin {a \ phi} \ cos {b \ phi}）\\ \ lightarrow \ cos {（a \ phi + b \ phi）} + i \ sin {（a \ phi + b \ phi）}＆= \ cos {\ big（（a + b）\ phi \ big）} + i \ sin {\ big（（a + b）\ phi \ big）}。结束\{对齐}$为 $a = b$,我们有 $(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})= \ cos{(φ+ \ \φ)}+ i \罪{(φ+ \ \φ)}= \ cos{\φ(2)}+ i \罪恶{\φ(2)}。$这意味着 $\{对齐}开始(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})^ n & = \ \ underbrace{(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})\ \ cdots \乘以(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})}_ {{* n \文本 }} \\ &= \ 因为{大(\ \ underbrace {(a + \ cdots + a)} _ {n \ \文本{}}\φ\大)}+ i \罪{\大(\ underbrace {(a + \ cdots + a)} _ {n \ \文本{}}\φ\大)}\ \ \ Rightarrow(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})^ n & =\因为{(na \φ)}+ i \ {(na \φ)}的罪。结束\{对齐}$因此,我们有 $（\ cos {x} + i \ sin x）^ \ phi = e ^ {ix \ phi} = e ^ {i（\ phi x）} = \ cos {\ phi x} + i \ sin {\ phi x}。\ _\正方形$

德莫弗定理有很多应用。作为一个例子，人们可能希望计算团结的根源，或方程的复解集 $x ^ n = 1$为整数 $n$．请注意, $e ^ {2 \ pi ki}$总是等于 $1$为 $k$一个整数，所以 $n ^ \ text {th}$团结的根部必须是

$E ^{2\pi ki / n} = \cos left(\frac{2\pi k}n\right) + isin left(\frac{2\pi k}n\right)。$

这个过程类似于把单位圆分成 $n$等距的楔形。

求单位的立方根。

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单位的立方根是

• $左(\ \因为\压裂{2 \π}{3}\右)+我罪\ \(\压裂{2 \π}{3}\右)= - \压裂{1}{2}+ i \压裂{\ sqrt {3}} {2}$
• $\ cos \ left（\ frac {4 \ pi} {3} \右）+ i \ sin \ left（\ frac {4 \ pi} {3} \ rectle）= - \ frac {1} {2} - 我\ frac {\ sqrt {3}} {2}$
• $\ cos \ left（\ frac {6 \ pi} {3} \右）+ i \ sin \ left（\ frac {6 \ pi} {3} \右）= 1. \ _ \ square$