欧拉准则

在数论，欧拉准则告诉你一个数是否是奇数素数的二次余模。

它是由欧拉在 $1748$．

让 $p$是一个奇怪的主要的而且 $一个$正整数不能被整除吗 $p$．欧拉判据告诉我们

$左(\ \压裂{一}{p} \) \枚^{\压裂{p - 1} {2}} \ pmod p,$

在哪里 $左(\ \压裂{一}{p} \右)$是勒让德的象征的 $一个$关于 $p$．

我们要证明的是费马小定理和代数基本定理．

首先，我们回顾一个众所周知的事实:恰好一半的线性残数mod $p$除了零是二次余模 $p$．根据费马定理，我们有

$一个^ {p - 1} \枚1 ~ \意味着~ ^{\压裂{p - 1}{2}} \枚\ \ pmod p点1。$

如果 $一个$二次剩余模 $p,$然后 $一个\枚x ^ 2 \ pmod p$对于一些 $x$．那么我们必须 $^{\压裂{p - 1}{2}} \枚x ^ {p - 1} \枚1 = \离开(p \ \压裂)\ pmod p$费马小定理。

所以对于二次非残项证明它是足够的 $一个$我们有 $^{\压裂{p - 1}{2}} \枚1 \ pmod p。$考虑方程 $x ^{\压裂{p - 1} {2}} = 1$在 $\ mathbb Z_p。$它最多有 $\压裂{p - 1} {2}$的根源。但是我们已经证明了所有的二次残数 $\大($有 $\压裂{p - 1} {2}$其中 $\大)$国防部 $p$是这个方程的根。所以没有其他根，也就是说没有二次非残留 $一个$我们不能有 $^{\压裂{p - 1}{2}} \枚1 \ pmod p$．但 $A ^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1\pmod p$，那么对于二次非残数一定是这样的 $一个$我们有 $^{\压裂{p - 1}{2}} \枚1 = \离开(p \ \压裂)\ pmod p$．

因此我们总是 $^{\压裂{p - 1}{2}} \枚\离开(p \ \压裂)\ pmod p。$

1. 勒让德的象征
2. 二次残留
3. 费马小定理