量纲分析gydF4y2Ba

物理学中任何计算的目的都是找到一个与系统变量相关的方程。这样的关系非常有用，因为它们在一个单一的、可理解的平等声明中捕捉到了一个问题的无限多个实例的行为。例如，考虑到大气密度和炸弹能量，我们知道炸弹的爆炸半径是如何随时间增长的。我们知道，为了逃离行星的引力场，发射物必须以多快的速度发射。我们甚至可以估计一杯搅拌过的咖啡沉淀所需的时间。因为等式是如此的有用，大量的时间和智力投入被用来通过各种数学技巧和计算技巧来寻找它们。gydF4y2Ba

是什么让一杯咖啡沉淀下来?gydF4y2Ba

然而，所有的方法都是不相等的，存在一个技巧，基于最简单的观察，它可以让我们从混乱的深处，跳到一个点，我们有一个有效的方程，正确地描述了我们的系统的性质，而不需要任何计算。诀窍是gydF4y2Ba量纲分析gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

观察到的是，如果一个方程正确地描述了一个系统的物理，至少我们可以说，方程的两边都有相同的单位。换句话说，我们必须在苹果和苹果之间进行比较。我们可以用任何已知的结果，比如质量和能量的等价，来证明这是正确的。对于自由粒子，我们有gydF4y2Ba $E = mc ^ 2gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$是光速，gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$它的相对质量是多少gydF4y2Ba $EgydF4y2Ba$是总能量。在右边，我们用质量的单位乘以速度的单位，或者gydF4y2Ba $\text{kg}\text{m}^2 / \text{s}^2gydF4y2Ba$也就是牛顿·米，gydF4y2Ba ${Nm} \文本。gydF4y2Ba$在左边，我们有能量，根据定义，能量的单位是牛顿米。所以，我们看到，我们有一个关于能量的方程。。。大惊喜！冒着进一步令人失望的风险，我们指出，gydF4y2Ba $\压裂{E} {mc ^ 2}gydF4y2Ba$，是一个无量纲的乘积，即是一个没有物理单位的参数，只是一个纯数字。我们追求的正是这些无量纲的量，因为它们是我们变量的唯一组合，有可能产生正确的物理关系。gydF4y2Ba

在我们继续之前，引入一些复杂的符号是很有用的，gydF4y2Ba $\模拟gydF4y2Ba$．如果一个数量gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$等于一些因素的组合吗gydF4y2Ba $f（r\u 1、\ldots、r\u n）gydF4y2Ba$，除了一些数字乘数gydF4y2Ba $\γgydF4y2Ba$以致gydF4y2Ba $g = \伽马f (r_1 \ ldots r_n)gydF4y2Ba$，然后我们说gydF4y2Ba $g \ sim f (r_1 \ ldots r_n)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

例如,如果gydF4y2Ba $F = 24 l^2gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $f = \压裂{l ^ 2} {100}gydF4y2Ba$，在这两种情况下我们都这么说gydF4y2Ba $f \ sim l ^ 2gydF4y2Ba$．对所有gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$对于这种关系，我们说gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$范围内,gydF4y2Ba $l ^ 2gydF4y2Ba$．直到某个可以通过测量得到的数值常数gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$值为gydF4y2Ba $l ^ 2gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是完全由数量决定的吗gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

旋转代表著名的结果:gydF4y2Ba

一些著名的数学和物理关系，用旋转符号重铸，如下:gydF4y2Ba

• 粒子的经典动能:gydF4y2Ba $文本\{动向｝\模拟米v^2\text{ vs.} \frac12mv^2.$
• a的体积gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$-球体：gydF4y2Ba ${卷}\ \文本大[\ mathbf{年代}_n”(r) \]大文本{和}\ sim r ^ n \ \压裂{\π^ {n / 2}}{\伽马\离开(\压裂{n}{2} + 1 \右)}r ^ n。gydF4y2Ba$
• 可能的三次握手的次数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$人:gydF4y2Ba $δ(n) \ \ sim n \左(n - 1 \) \左文本(n - 2 \) \{和}\压裂{n \左(n - 1 \) \左(n - 2 \右)}{3 !}。gydF4y2Ba$

另一个密切相关的符号是gydF4y2Ba $\ propto,gydF4y2Ba$用来表示左边和右边成比例。相比gydF4y2Ba $x \ sim lgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $x \ propto lgydF4y2Ba$不就意味着这种行为gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$单是通过gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$,但这gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$是一个因素。例如,如果gydF4y2Ba $F (x,y,z) = xyzgydF4y2Ba$，我们可以说gydF4y2Ba $f \ propto xgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $f \ propto ygydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $f \ propto zgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

正如我们上面提到的，任何真正的物理关系都必须有相等的单位。因此，如果我们忽略无量纲前因子(纯数)，我们有gydF4y2Ba $文本\ displaystyle \ {lh} \ sim \文本{RHS}gydF4y2Ba$，或同等地，gydF4y2Ba $文本\压裂{\ {lh}}{\文本{RHS}} \ sim 1gydF4y2Ba$所有的肉体关系。一般来说，我们可以替换gydF4y2Ba $文本\压裂{\ {lh}}{\文本{RHS}}gydF4y2Ba$由一个包含所有问题相关变量的任意乘积提升到尚未指定的幂，即。gydF4y2Ba $X ^ y^ z^ sim 1gydF4y2Ba$．我们称这个乘积为比例关系，因为它显示了随着其他变量的比例(大小)的变化，每个变量将如何变化。gydF4y2Ba

现在，我们的比例关系由不同的因素组成，每个因素都可能有不同的基本维度组合(长度，时间，质量，电荷，等等)。假设我们有一个系统，它的相关变量是位置gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$速度gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$和时间gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$，因此我们的比例关系是gydF4y2Ba $R ^ v^ t^ sim 1gydF4y2Ba$．我们表示变量的维数gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $\左[x \右]gydF4y2Ba$，我们有gydF4y2Ba $左右\ [r \] ={1} \文本gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $左右\ [v \] ={1} \ \文本文本{T} ^ {1}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $左右\ [t \] = {t} \文本gydF4y2Ba$. 如果我们用变量的基本维数替换变量，那么gydF4y2Ba $文本\{1}{1}^ ^ \α\文本\β\文本{T} ^{-β\}\文本{T} ^ \伽马\ sim 1gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $\text{L}^{\alpha+\beta}\text{T}{-\beta+\gamma}\sim 1=\text{L}^0\text{T}^0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

因此，我们发现这两个方程gydF4y2Ba $+ = 0gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $- + = 0gydF4y2Ba$控制我们缩放关系的行为gydF4y2Ba $-\alpha=\beta=\gammagydF4y2Ba$．正如我们将看到的，我们可以为其中一个待定指数取一个任意值，然后得到另外两个的值。选择gydF4y2Ba $\α= 1gydF4y2Ba$，我们有gydF4y2Ba $β= \ \γ= 1gydF4y2Ba$这样我们的无量纲关系就变得gydF4y2Ba $r ^ {1} vt \ sim 1gydF4y2Ba$，这导致gydF4y2Ba $r \ sim vtgydF4y2Ba$，位置和速度之间通常的关系。因此，在不了解运动学的情况下，仅通过量纲分析就可以得到定义关系。我们选了另一个值吗gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$说,gydF4y2Ba $\ frac65gydF4y2Ba$，我们仍然会得到相同的缩放关系，因为我们将gydF4y2Ba $\sqrt[\frac65]{r}gydF4y2Ba$为所关心的变量求整数次幂。我们选择的值是无关紧要的，缩放条件要求指数具有一定的相对值，而正是它们的相对值控制着系统。gydF4y2Ba

这项技术可能还不是那么令人印象深刻，而且gydF4y2Ba $r=vtgydF4y2Ba$这也许是所有物理学中最简单的关系，任何开车或等火车的人都能凭直觉知道。然而，量纲分析技术的用处远远超出了这样一个简单的例子，它可以在直觉不足的情况下产生结果。用户所需要做的就是确定哪些物理量对所考虑的现象是重要的，哪些是不重要的。gydF4y2Ba

原子弹爆炸半径:gydF4y2Ba

奇怪的声音gydF4y2Ba

量纲分析的一个著名的胜利是找到了爆炸的原子弹爆炸半径随时间的函数公式。利用这种比例关系，通过查看报纸上公布的爆炸照片，就有可能准确估计美国原子武器库(高度机密)的总能量。gydF4y2Ba

让我们自己去寻找其中的关系。我们的首要任务是确定相关的物理量。首先，我们感兴趣的是炸弹的总能量gydF4y2Ba $EgydF4y2Ba$，单位是gydF4y2Ba $左右\ [E \] = {1} {M} \ \文本文本文本{T} ^ ^ 2 \ {2}gydF4y2Ba$这一定是我们的量之一。我们还对爆炸的半径感兴趣gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$以及爆炸发生后的时间gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$，其单位为gydF4y2Ba ${1} \文本gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba ${T} \文本,gydF4y2Ba$分别。所以它们也必须包含在比例关系中。gydF4y2Ba

到目前为止，我们做到了gydF4y2Ba

• 炸弹的爆炸能量gydF4y2Ba $EgydF4y2Ba$
• 爆炸前半径gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$
• 爆炸以来gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$

看来我们还没有完成我们的缩放变量集。首先，我们可以肯定的是，当炸弹在空气中爆炸时，冲击波的扩张速度要比在糖浆海洋中爆炸时快得多。另一方面，我们注意到缩放变量目前只包含一个单位质量的变量。我们需要所有的维度在我们的关系中消失，所以我们不能有炸弹能量gydF4y2Ba $EgydF4y2Ba$没有另一个质量相关的量。gydF4y2Ba

我们需要的是炸弹爆炸时介质的密度，gydF4y2Ba $\ρgydF4y2Ba$，单位是gydF4y2Ba ${1} {M} \ \文本文本^ {3}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

因此我们有gydF4y2Ba

$E^ r^ t^ sim 1gydF4y2Ba$

或gydF4y2Ba

$文本\ {M} ^{\α+β\}\文本{L} ^{3 \α+β2 \ \伽马}\文本{T} ^{2δ}\β+ \ \ sim \文本{M}{1} ^ 0 ^ 0 \文本文本\ {T} ^ 0 = 1。gydF4y2Ba$

通过求解指数关系，我们发现gydF4y2Ba $= -gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $δ= 2 \ \βgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $5 \β= - \γgydF4y2Ba$．因此，我们有四个指数变量的三个方程，所以我们可以自由选择其中一个的值。选择gydF4y2Ba $\α= 1gydF4y2Ba$，我们发现gydF4y2Ba $\β= 1gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\δ= 2gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $\γ= 5gydF4y2Ba$，这就形成了缩放关系gydF4y2Ba

$E^{-1} r^5 t^{-2}gydF4y2Ba$

因此，炸弹正面的半径作为时间的函数必须成比例gydF4y2Ba

$r\sim\sqrt[5]{\frac{Et^2}{\rho}，gydF4y2Ba$

即。gydF4y2Ba

$r\propto t^{2/5}。gydF4y2Ba$

这是相当了不起的。在不了解重大气下炸弹爆炸的物理原理的情况下，我们能够获得炸弹在巨大介质中爆炸时的正确缩放行为。gydF4y2Ba

用以下问题挑战自己:gydF4y2Ba

使用下列带有时间标记的照片，估计三位一试验中使用的原子弹的爆炸能量。gydF4y2Ba

既然我们已经用量纲分析来解决一个现实世界的问题，现在是时候将我们的方法形式化并多说一些将要发生的事情了。到目前为止，我们的程序一直是识别gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$物理变量gydF4y2Ba $a, b, c, \ ldotsgydF4y2Ba$，形成缩放乘积gydF4y2Ba $A ^乘以b^乘以c^乘以cdotsgydF4y2Ba$，并替换gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$我们变量的独立维度，形成一个gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$方程gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$变量。解出这些方程就能得到形成无因次尺度积所需的指数值，gydF4y2Ba $\π\ sim 1gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

例如，在原子弹问题中，我们有以下系统:gydF4y2Ba

$\左（\begin{array}{ccc}\rho{M&\rho{l&\rho{t\\E{M&E}l&E{t\\r\U M&r{l&r{t\\t{M&t{t}\end{array}\right）\left（\begin{array}{c}\alpha\\\\ beta\\\γ\\\delta\end{array}\right）=\left=\begin（\begin{array}\c}\0}\0}gydF4y2Ba$

或gydF4y2Ba

$\左（\begin{array}{ccc}1&-3&0\\1&2&-2\\0&1&0\\0&0\0&1\end{array}\right）\left（\begin{array}{c}\alpha\\\ beta\\ gamma\\\ delta\end{array}\right）=\left（\begin begin array}{c}0\\0\end{array}\right）。gydF4y2Ba$

我们可以把这个方程写成gydF4y2Ba $vec {e} \ mathbf {D} \ = 0gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $D \ mathbf {}gydF4y2Ba$表示gydF4y2Ba $m\n次gydF4y2Ba$变量维数的矩阵gydF4y2Ba $vec {e} \gydF4y2Ba$表示长度-gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$变量指数在比例关系中的向量。gydF4y2Ba

到目前为止，这个过程已经产生了独特的解决方案，导致了单一维度的产品。然而，一般来说，这样的系统将产生总数gydF4y2Ba $n-mgydF4y2Ba$独立解决方案，所以我们可以有多个维度的缩放产品gydF4y2Ba $\{\pi\u 1\pi\u 2\}gydF4y2Ba$．在这种情况下，分析不再意味着gydF4y2Ba $\pi_i\sim 1gydF4y2Ba$，而是gydF4y2Ba $g (\ pi_1) = f (\ pi_2),gydF4y2Ba$哪里gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$是任意的函数。为了简单起见，我们可以说gydF4y2Ba $\ pi_1 = f (\ pi_2)gydF4y2Ba$，总的来说gydF4y2Ba $\pi\u 1=f（\pi\u 2\ldots\pi\u n）gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

白金汉gydF4y2Ba $\πgydF4y2Ba$定理gydF4y2Ba

如果有gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$描述物理系统的变量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$独立维度，变量将形成gydF4y2Ba $l = n - mgydF4y2Ba$独立的无量纲参数gydF4y2Ba $\ {\ pi_1 \ ldots \ pi_l \}gydF4y2Ba$相关的gydF4y2Ba $\pi\u 1=f（\pi\u 2\ldots\pi\u l）gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

阳光对光线的偏转：gydF4y2Ba

物理学的一个伟大转变是从牛顿引力理论向更强大的广义相对论的转变。有一段时间，关于这个新理论是否正确存在着争议。证实这一新理论的主要步骤之一是预测太阳引力场会使星光偏转。gydF4y2Ba

如果一个光子的质量是gydF4y2Ba $\frac Ec=\frac{hf}cgydF4y2Ba$，则可以表明，在经过太阳时，光子通过这个角度发生了偏转gydF4y2Ba $文本\ theta_ \{牛顿}gydF4y2Ba$．相比之下，广义相对论预测，弯曲恰好是牛顿挠度的两倍，gydF4y2Ba ${GR} = 2 \ \ theta_ \文本theta_{\文本{牛顿}}gydF4y2Ba$. 我们将无法解决争议，但我们应该能够估计gydF4y2Ba $文本\ theta_ \{牛顿}gydF4y2Ba$光速、太阳质量和引力常数等相关参数gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

首先，如果引力常数不变，我们预计光的弯曲会改变大小gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$即太阳的密度gydF4y2Ba $\rho\uux\text{Sun}gydF4y2Ba$太阳的半径gydF4y2Ba $R_ \文本{太阳}gydF4y2Ba$我们必须改变。如果一个经典粒子要通过太阳的引力场，我们会期望它的能量，通过它的速度，对它在太阳附近的轨道产生影响（无论它是进入轨道，移动，还是螺旋进入太阳表面），因此我们有理由期望光速gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$应该发挥作用。gydF4y2Ba

我们不认为辐射或光的频率会起重要作用，因此我们可以忽略玻尔兹曼常数gydF4y2Ba $k_BgydF4y2Ba$，以及普朗克常数gydF4y2Ba $hgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

的单位gydF4y2Ba $\ρgydF4y2Ba$，和以前一样gydF4y2Ba ${1} {M} \ \文本文本^ {3}gydF4y2Ba$．光速gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$得到我们的单位gydF4y2Ba ${1} \ \文本文本{T}gydF4y2Ba$，太阳的半径gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$给予gydF4y2Ba ${1} \文本gydF4y2Ba$. 现在，引力常数的单位是gydF4y2Ba

$G \压裂{m ^ 2} {r ^ 2}gydF4y2Ba$

产生力的单位，或gydF4y2Ba ${M} \ \文本文本{L} \文本{T} ^ {2}gydF4y2Ba$，我们确实做到了gydF4y2Ba $左右\ [G \] = \文本{M} ^{1}{1} ^ 3 \ \文本文本{T} ^ {2}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

最后，我们有兴趣变量gydF4y2Ba $\西塔，gydF4y2Ba$这已经是一个无量纲参数了。因为我们有五个变量gydF4y2Ba $（n=5）gydF4y2Ba$三个基本维度gydF4y2Ba $(m = 3),gydF4y2Ba$我们期待gydF4y2Ba $N - m = 2gydF4y2Ba$无因次的产品gydF4y2Ba $\ pi_1 = \θ= f (\ pi_2) = f \大(G ^ \βαρ^ \ \ R ^ \伽马c ^ \三角洲\大)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

治疗gydF4y2Ba $\ pi_2gydF4y2Ba$，我们有gydF4y2Ba $\displaystyle\text{M}^{-\alpha+\beta}\text{L}{3\alpha-3\beta+\gamma+\delta}\text{T}{-2\alpha-\delta}=1gydF4y2Ba$．因此gydF4y2Ba

$\开始{aligned}\alpha&=\beta\\\delta&=-2\alpha\\\gamma&=2\alpha\结束{对齐}gydF4y2Ba$

选择gydF4y2Ba $\α= 1gydF4y2Ba$，我们有gydF4y2Ba $= 1， = -2gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\γ= 2gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $R^2c^{-2}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba

$\theta = f\left(\frac{G\rho R^2}{c^2} right)。gydF4y2Ba$

量纲分析的简单性也是它的祸根。现在我们需要把两个无量纲的量联系起来，gydF4y2Ba $\ pi_2gydF4y2Ba$几乎可以是我们能想到的任何函数的辐角，也就是。gydF4y2Ba $\罪gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\因为gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\双曲正切^ {1}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\实验gydF4y2Ba$,等等。然而，我们可以用直觉来缩小可能性。首先,如果gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\ρgydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$增加，我们期望偏转会增加，我们对光速的期望是相反的gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$（gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$显然是一个常数，但如果它增加，我们可以预期太阳对光子轨道的影响会减弱，理论上)。gydF4y2Ba

现在，如果我们用泰勒展开函数gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $\ pi_2gydF4y2Ba$，我们希望没有常数项，即如果gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\ρgydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$是零，还是gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$是无限的，那么我们就不会有任何偏差，因此gydF4y2Ba $f（0）=0gydF4y2Ba$．展开的第二项应该是的导数gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在0处乘以gydF4y2Ba $\ pi_2gydF4y2Ba$．假设gydF4y2Ba $f^\prime（0）\neq 0gydF4y2Ba$，我们就会gydF4y2Ba $θ\ \ sim \ pi_2 + O \离开(\ pi_2 ^ 2 \) \ sim \压裂{G \ρR ^ 2} {c ^ 2}gydF4y2Ba$．事实上，这是正确的比例关系gydF4y2Ba $\θgydF4y2Ba$物理量gydF4y2Ba $G \ρ,RgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

哈勃透镜gydF4y2Ba

我们不知道是否gydF4y2Ba $\theta \approx \theta_\text{Newton}， 4\theta_\text{Newton}gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $10^6θ文本{Newton}gydF4y2Ba$，但根据我们得到的标度关系，我们可以说光的弯曲取决于物理参数。在上面，我们看到了一个引人注目的例子，光通过引力场弯曲，形成了一个爱因斯坦环。gydF4y2Ba

注意:gydF4y2Ba我们可以选择将引力物体的质量引入到问题中，或者通过物体的密度gydF4y2Ba $\ρgydF4y2Ba$或者明确地把物体的质量作为我们的物理量之一。我们选择使用密度。这是因为密度是一个无标度的量，而质量随物体半径的变化而变化。我们是否曾经使用过gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$，我们将不必要地使我们的分析复杂化，每个尺度都有两个量gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$．使用gydF4y2Ba $\ρgydF4y2Ba$使得对行星大小的依赖变得透明。一般来说，当有多种表示给定量的方法时，其中一种是无标度的，通常最好选择无标度形式。gydF4y2Ba

逃逸速度gydF4y2Ba

用量纲分析来说明一个大质量物体脱离行星引力场所需的速度为gydF4y2Ba $v\sim\sqrt{\frac{GM}R}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

量纲分析的好处是显而易见的。这项技术使用起来非常简单，可以让我们在没有物理直觉的情况下获得物理直觉。它的简单性带来了许多缺点。虽然我们通常可以很快找到问题的缩放解决方案，但量纲分析可以gydF4y2Ba从来没有gydF4y2Ba在数值前因子的情况下给出精确的答案。在我们最终得到无量纲产品的情况下gydF4y2Ba $\{\pi\u 1、\pi\u 2、\ldots\}gydF4y2Ba$以致gydF4y2Ba $\pi_1 \sim f(\pi_2， \ldots)gydF4y2Ba$，我们需要想出物理上的原因来缩小形式gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$，并采取极限情况来证明所提出的解决方案的合理性。gydF4y2Ba

然而，由于量纲分析的用例之一是我们对问题了解不多的情况，这可能是一项艰巨的任务。此外，当我们追求的答案是一个简单的产品时，这种方法最有效。当答案涉及到相同维度的变量的和时，事情就变得棘手了。在这些情况下，我们可以找到几个极限情况(当一个或另一个和数趋近于0时)，然后将解缝合在一起。gydF4y2Ba

然而，无论作为一种学习工具还是一种研究工具，量纲分析都是一种强有力的武器，可以是解决新问题的第一道防线和最后一道防线。gydF4y2Ba

• 费米估计gydF4y2Ba