求点的轨迹
P使距离的平方和
P来
一个从
P来
B,在哪里
一个和
B是平面上的两个不动点,是一个固定的正常数。
在旋转和平移平面后,我们可以假设
一个=(−一个,0)和
B=(一个,0).假设常数是
c2,
c=0.然后
P一个2+PB2(x+一个)2+y2+(x−一个)2+y22x2+2y2+2一个2x2+y2=c2=c2=c2=2c2−一个2.
轨迹要么是空的
(如果
c2<2一个2),一个点
(如果
c2=2一个2),或一个圆
(如果
c2>2一个2).
x2+y2=4l2
x2+4y2=l2
4x2+y2=l2
4x2+4y2=l2
一根长竿
l幻灯片的末端在
x设在和
y设在。
求中点的轨迹。
描述平面上与直线等距且不在直线上的固定点的点的轨迹。
在旋转和平移(也可能是反射)之后,我们可以假设点是
(0,2一个)与
一个=0这条线是
x设在。的距离
(x,y)到
x设在是
∣y∣,到这一点的距离是
x2+(y−2一个)2
,所以方程变成
y20y=x2+(y−2一个)2=x2−4一个y+4一个2=4一个x2+一个,
它描述了抛物线。
注意,如果点确实在直线上。
一个=0,方程简化为
x2=0,或
x=0,它给出了一条通过这个点与原直线垂直的直线;这在几何上也是有意义的。
□
点的轨迹
xy-与直线等距离的平面
12x−5y=124和点
(7,−8)是
__________.
求所有点的轨迹
P在一个平面上,使得距离之和
P一个和
PB是固定常数,在哪里
一个和
B是平面上的两个不动点。
平移和旋转之后,我们可以假设
一个=(−一个,0)和
B=(一个,0),让常数为
c.如果
c<2一个,那轨迹显然是空的,如果
c=2一个,轨迹是一个点,假设
c>2一个.让
P一个=d1和
PB=d2.然后
d12+d22=(x+一个)2+y2+(x−一个)2+y2=2x2+2y2+2一个2,和
d12−d22=4一个x.轨迹方程是
d1+d2d12+d22+2d1d24d12d224d12d2200(4c2−16一个2)x2+(4c2)y2=c=c2=(c2−d12−d22)2=c4−2c2(d12+d22)+(d12+d22)2=c4−2c2(d12+d22)+(d12−d22)2=c4−2c2(2x2+2y2+2一个2)+16一个2x2=c2(c2−4一个2).
自
4c2−16一个2>0和
c2−4一个2>0,这是椭圆方程。
□
注意,如果
一个=0,正如预期的那样,这描述了一个圆
(一个和
B一致
).
直线
圆
双曲线
悬链线
非简并的抛物线
方面椭圆
有限点集
以上都不是
一个和
B有两点
R2.点的轨迹是什么,使它们之间的距离比是多少
一个和
B总是
λ:1,在那里
λ一个正实数不等于
1?