极限的定义

在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/calculus/" class="wiki_link" title="微积分" target="_blank">微积分, $\ varepsilon$- $\三角洲$a的定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/limits-of-functions/" class="wiki_link" title="限制" target="_blank">限制是求a极限的代数精确公式吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/functions/" class="wiki_link" title="功能" target="_blank">功能. 非正式地说，该定义规定 $l$函数在某一点的函数 $x_0$无论如何都会存在 $x_0$时，函数返回的值总是接近 $l$. 该定义与初等微积分中用于评估极限的方法一致，但与之相关的数学上严格的语言出现在更高层次的分析中。这个 $\ varepsilon$- $\三角洲$当试图显示<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-functions/" class="wiki_link" title="函数的连续性。" target="_blank">函数的连续性。

在本文中，我们将使用epsilondelta极限证明所有极限。

函数极限 $(\ varepsilon$- $\三角洲$定义 $）$

让 $f（x）$是定义在开区间上的函数 $x_0$ $\大(f(从)$不需要定义 $\大）。$我们说 $f（x）$作为 $x$方法 $x_0$是 $l$，即。

$l_ {x_{0}}{f(x)} = L，$

如果对于每一个 $\ varepsilon > 0$存在 $\δ> 0$这样，对于所有人 $x$

$0<\left | x-x{0}\right{124;<\ delta\textrm{}\implements\textrm{}\left | f（x）-L\right{124;<\ varepsilon。$

换句话说，定义声明我们可以让函数返回值 $f（x）$就像我们想要的那样 $l$仅使用周围足够小的间隔内的点 $x_0$. 对这一定义的一个有用的解释是将双方（Alice和Bob）之间的交流可视化。首先，Alice向Bob提出挑战，“我想确保 $f（x）$将不会比 $\ varepsilon > 0$从 $l$"如果极限存在并且确实存在 $l$，那么Bob就可以给她一个值作为回应 $\三角洲$“如果为所有的分 $x$是在一个 $\三角洲$半径的间隔 $x_0$,然后 $f（x）$总是在一个 $\ varepsilon$的时间间隔 $l$“如果限制存在，那么Bob将能够响应Alice的挑战，无论她选择多小 $\瓦雷西隆。$

例如，在函数图中 $f（x）$下面，如果Alice给了Bob一个值 $\ varepsilon$，然后鲍勃给了她电话号码 $\三角洲$这样对于任何 $x$在开放区间 $（x_{0}-\delta，x_0+\delta）$的价值 $f（x）$位于中间 $(L - varepsilon, L + varepsilon)$．在这个例子中，爱丽丝 $\ varepsilon$越来越小，鲍勃总能找到一个更小的 $\三角洲$满足这个性质，证明了极限的存在。

正如Alice和Bob之间的交换所证明的那样，Alice首先给出一个值 $\ varepsilon$在知道这个值之后，Bob可以为 $\三角洲$．由于事件的顺序，价值 $\三角洲$通常作为函数给出 $\ varepsilon$．注意，可以有多个值 $\三角洲$鲍勃能给的。

如果有任何价值的话 $\ varepsilon$Bob找不到对应的 $\三角洲$，那么极限就不存在了!

让 $f$是在包含数字的某个开放区间上定义的函数 $x_0$ $\大(f(从)$不需要定义 $\大）。$我们说 $f（x）$作为 $x$方法 $x_0$发散到无穷，也就是。 $\lim{x\to x_0}f（x）=\infty$对于每个正数 $米$存在 $\δ> 0$这样，对于所有人 $x$ $0<| x-x|u 0<\delta\textrm{}\implements\textrm{}f（x）>M$

这意味着 $f（x）$可以任意大的采取 $x$足够接近 $x_0$．

例如，在函数的图中 $f（x）$. 对于任何水平线 $y=M>0$，我们可以找到一个数字 $\δ> 0$对于任意区间 $x$在这一期间 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$但是 $x\ne x_0$，然后是曲线 $y=f（x）$在底线之上 $y = M$．我们可以看到任何更大的 $米$的较小值 $\三角洲$是必要的。

在前几节中，我们使用了这些术语任意大非正式地定义界限。尽管它们对无穷远处极限的描述给出了很好的直觉，但它们在数学上并不严谨。让我们试着正式地定义它们。

$f$据说有一个无限极限，如果存在实数 $l$这样，对于所有人 $\ε>0$存在 $N > 0$以致 $|f（x）-L |<\epsilon$总的来说 $x> N$．换句话说, $if (x) = L . (x)$

例如，在函数的图中 $f（x）$．对于足够大的值 $N$，我们可以求出 $y$成为 $(L-， L +)$但是 $y=L$，然后是曲线 $y=f（x）$在两条线之间 $y = L - \$和 $y = L + \$．我们可以看到任何更大的 $N$的较小值 $\ε$是必要的。

显示 $\lim \limits_{x \rightarrow \ inty} \left(7 - \frac1x\right) = 7。$

---

让 $\ε>0$,然后 $N = \ frac1 \ε$. 那么，无论如何 $x> N$， $\左|7 - \frac1x - 7\右| = \frac1x \右| = \frac1x < \frac1N =$因此,我们的索赔要求。 $_\方格$

$f$据说有一个无限极限，如果可以的话 $M>0$，存在 $N> 0$以致 $f (x) > M$总的来说 $x > N$．也就是说, $\lim\limits_{x\to\infty}f（x）=\infty$．

类似地, $f$据说有一个无穷远处的负无穷极限，如果可以的话 $M<0$，存在 $N> 0$以致 $f (x) < M$总的来说 $x > N$．也就是说, $\lim\limits_{x\to\infty}f（x）=-\infty$．

例如，在函数的图中 $f（x）$．对于足够大的值 $N$，我们可以找到一个值 $M > 0$以致 $f (x) > M$总的来说 $x > N$．

用无穷极限的形式定义，证明 $\lim\limits_{x\to\infty}x^9=\infty$．

---

让 $M>0$,让 $N = \ sqrt [9] {M}$．然后对所有 $x > N$， $左x ^ 9 > N ^ 9 = \ \√[9]{M} \右)^ 9 = M \四_ \广场$

从上面的例子中，我们知道 $\lim\limits_{x\to\infty}x^9=\infty$．不提标量倍数，证明 $if (x^9 = 0) = 0, if (x^9 = 0) = 0, if (x^9 = 0) = 0$同时也使用了无穷极限的形式定义。

---

让 $M>0$,让 $N=\sqrt[9]{\frac M9}$．然后对所有 $x > N$， $9 x ^ 9 > 9 n ^ 9 = 9 \左\√[9]{M} \右)^ 9 = M \四_ \广场$

通常，使用 $\ varepsilon$- $\三角洲$技术，我们必须找到一个表达式 $\三角洲$然后证明期望的不等式成立。的表达式 $\三角洲$最常见的是 $\瓦雷西隆，$虽然有时它也是一个常数或更复杂的表达式。下面是演示此属性的几个示例。

显示 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi}$

---

让 $f (x) = x。$首先，我们需要确定我们的价值 $\三角洲$会有很多人。什么时候 $(x) - (v) < ($我们想要 $\垂直f（x）-\pi\vert<\varepsilon。$我们知道 $(f(x)) - (v) = (v x) - (v) < ()$所以采取 $δ= \ \ varepsilon$将具有所需的属性。

还有其他价值观 $\三角洲$我们可以选择，比如 $δ= \ \压裂{\ varepsilon}{7}。$为什么这个值是 $\三角洲$也可以接受吗?如果 $\vert x - \pi\vert < \delta = \frac{\varepsilon}{7}，$然后 $\f (x) - \pi \vert < \frac{\varepsilon}{7} < \varepsilon，$根据需要。 $_\方格$

为了证明极限的存在，我们不必证明结果对所有人都成立 $\瓦雷西隆，$但只要表明结果适用于所有人就足够了 $\ varepsilon < k$对于任何正值 $k。$这是因为 $\三角洲$某一特定项目的价值 $\变ε=e$也是有效的 $\三角洲$无论如何 $\varepsilon>e。$

显示

$lim _{x \to 1} {(5x-3)} = 2。$

---

在这个例子中，我们有 $间的{0}= 1$， $F (x) = 5x -3$，及 $L = 2$根据上面给出的极限定义。对于任何 $\ varepsilon > 0$被Alice选中，Bob想要找到 $\δ> 0$这样,如果 $x$在距离 $\三角洲$属于 $间的{0}= 1$，即。

$\左| x-1 \右|<\delta，$

然后 $f（x）$在距离 $\ varepsilon$属于 $L = 2$，即。

$\左|f(x) - 2\右| < varepsilon。$

找到 $\三角洲$，鲍勃从后面工作 $\ varepsilon$不平等：

$\begin{align} \left| (5x-3) - 2 \right| &= left|5x-5\right| <\varepsilon \\ &= 5\left|x-1\right|<\varepsilon \\ &= left|x-1\right|<\ frac{\varepsilon}{5}。结束\{对齐}$

鲍勃给爱丽丝的值 $δ= \ \压裂{\ varepsilon} {5}$．然后爱丽丝可以验证如果 $\左|x-1\右| <\delta = frac{\varepsilon}{5}$然后

$\左|（5x-3）-2\right |=\left | 5x-5\right |=5\left | x-1\right |<5\left（\frac{\varepsilon}{5}\right）=\varepsilon_\广场$

证明 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 7} (x^2 + 1) =50。$

---

让 $F (x) = x^2 + 1。$我们首先要确定我们的价值 $\三角洲$应该是。什么时候 $\垂直x - 7 \垂直< \delta$我们有

$\开始{array}{rl}\vert x^2+1-50\vert&=\vert x^2-49\vert\\\&=\vert x-7\vert\vert x+7\vert\\\&<\delta\vert x+7\vert\结束{array}$

假设 $\垂直x - 7\垂直< 1，$我们有 $\垂直x\垂直<8，$这意味着 $\垂直x+7\vert<\vert x\vert+\vert 7\vert=15$由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangle-inequality/" class="wiki_link" title="三角不等式" target="_blank">三角不等式．

所以，当我们让 $\delta = min\left(1， \frac{\varepsilon}{15}\right)，$我们将会有

$\开始{array}{rl}\vert x^2+1-50\vert&<\delta\vert x+7\vert\\&<15\delta\\&<\varepsilon.\_\方形\结束{array}$

使用 $\ varepsilon$- $\三角洲$定义，证明下列极限:

${m_{m_{m_}}{m_{m_}}{m_{m_}}{m_{m_}}$

---

的时间间隔 $\left(- frac{\pi}{2}， \frac{\pi}{2} \right)$，我们有 $0 < cos x < frac{sin x}{x} < 1$，这意味着

${对齐}\左| \ \开始压裂{\ sin (x)} {x} 1 \ | & < 1 - \ cos x左| \ \ \ \压裂{\ sin (x)} {x} 1 \ | & < 2 \罪^ 2 \压裂{x}{2} \ \ & < \压裂{x ^ 2}{2}。结束\{对齐}$

现在,鉴于 $\varepsilon>0$，让 $δ= \ \ sqrt {\ varepsilon}$. 那么上面的计算表明, $\lvert x-0\rvert<\delta=\sqrt{\varepsilon}$暗示

$\左{\frac{\sinx}{x}-1\right{\frac{x^2}{2}<\frac{\sqrt{\varepsilon}^2}{2}<\varepsilon，$

这就完成了证明。因此,

${m_{m_{m_}}{m_{m_}}{m_{m_}}{m_{m_}}\ _ \广场$

在某些情况下 $f（x）$作为 $x$方法 $x_0$无约束地增加或减少。在这种情况下，常说极限存在，值为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/infinity/" class="wiki_link" title="∞" target="_blank">∞(或负无穷)。然而，一些资源说这个极限在这个例子中不存在，只是因为这个限制使得微积分中的其他定理更容易表述和记忆。

证明极限趋近于无穷 $x$方法 $x_0$, $\ varepsilon$- $\三角洲$不需要定义。相反，我们只需要证明函数在接近的值处变得任意大 $从。$

证明

$\lim{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^2}=0。$

---

鉴于 $\瓦雷西隆，$我们需要选择 $\三角洲$所以如果 $x > \三角洲,$然后 $\左| \dfrac{1}{x^2} - 0\右| < \varepsilon。$

假设 $\左| \frac{1}{x^2}-0\right |<\varepsilon。$解决 $x,，$我们发现 $x > \压裂{1}{\ sqrt {\ varepsilon}}。$因此，对于任何挑战 $\ varepsilon$我们被给予，它被确保 $\左|\frac{1}{x^2} - 0\右| < varepsilon$只要我们选择 $δ> \ \压裂{1}{\ sqrt {\ varepsilon}}。$因此 $\lim{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^2}=0_\广场$

证明

$\lim{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=\infty。$

---

我们证明了对于任何正数 $l$,设置 $δ= \ \压裂{1}{\ sqrt {L}}$．然后,当 $|x-0 |<\delta$，我们有

$f（x）=\frac{1}{x^2}>\frac{1}{\left（\frac{1}{\sqrt{L}}\right）^2}=L。$

这表明函数的值随着时间的推移而变得并保持任意大 $x$趋于0,或者 ${x^2} = 0 . {x^2} = 0 . {x^2} = 0。\ _ \广场$

的 $\ varepsilon$- $\三角洲$定义可以用来证明在某一点上的极限不存在。对于极限的存在，我们的定义是，对于每一个 $\ varepsilon > 0$存在一个 $\δ> 0$这样,如果 $\垂直x - x_0 \垂直< \，$然后 $\垂直f（x）-L\vert<\varepsilon。$这意味着 $l$是不如果存在 $\ varepsilon > 0$以致于没有选择 $\δ> 0$确保 $* * * * * * * * * * * * *$当 $\垂直x - x_0 \垂直< \。$

考虑给出的函数

$f（x）=\begin{cases}1&&x>0\\-1&&x<0。\end{cases}$

显示0处的限制不存在。

---

这几乎是显而易见的。我们看到“右侧限制”是 $1.$左边的极限是 $-1．$因此，极限不存在是有道理的。让我们用 $\ varepsilon$- $\三角洲$我们在上面发展的语言。

假设0点的极限存在并且等于 $l$. 让 $\ varepsilon = \压裂{1}{2}$，并有相应的 $\delta=\delta\u\varepsilon>0$．

既然极限存在，我们就知道这一点 $Y in (- \ δ， \ δ)$，我们有 $|f（y）-L |<\varepsilon=\frac{1}{2}$．然而，我们也有

${对齐}2 & = \ \开始左| f \左(\压裂{\三角洲}{2}\右)- f \离开(- \压裂{\三角洲}{2}\)\右左| | \ \ & = \ f \离开(\压裂{\三角洲}{2}\右)- L + L f \离开(- \压裂{\三角洲}{2}\)\右左| | \ \ & \ leq \ f \离开(\压裂{\三角洲}{2}\右)——L \ \左| | + L - f \离开(- \压裂{\三角洲}{2}\)\ | \ \ & \ leq\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ & = 1。\ \ \{对齐}结束$

这是一个矛盾，所以我们最初的假设是不正确的。 $_\方格$

上述证明很容易进行调整，以显示以下内容：

函数定义域内点的极限存在的当且仅当左极限和右极限存在且彼此相等。

让 $f（x）$就是这个函数 $0$当 $x$是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-numbers/" class="wiki_link" title="理性的" target="_blank">理性的和 $1$否则。显示 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f（x）$不存在任何 $一个。$

---

让 $一个$是一个有理数。我们知道 $f（a）=0。$让 $\ varepsilon = 0.5$和 $\增量>0。$自从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="无理数" target="_blank">无理数实数密集吗，我们能找到无理数吗 $B在(a -， a +)$ $(f(a)) = 1 > \varepsilon，$但是 $a - b / v / v < δ。$因此, $f$不是连续的 $一个。$如果我们考虑的结果是相似的。 $一个$是一个不合理的点。 $_\方格$

• 性能的限制
• 连续函数
• 夹挤定理