电通量

库仑定律提供获取电场由电荷集合产生的。然而，在各种连续的电荷分布上总结库仑定律是令人畏惧和复杂的。我们不需要一次处理一个电荷点，而是可以处理确定电荷分布的等价问题在一个地区根据这个区域的电场。自然地，在以盒子为界的区域内，电荷越多，穿过盒子的电场线就越多。因此，人们期望在区域电荷分布和电场。

在描述场的一个区域时，它指定了一个大小和方向——换句话说，是一个向量-空间中的每一点，都可以用水流来类比。在空间中通过一个表面的电场矢量可以比作水通过网的流动。这些线的大小越大，或这些线越朝向(垂直于)表面，流量就越大通量．这个类比构成了概念的基础电通量．

通过一个给定表面的通量可以是“向内”或“向外”，这取决于“向内”或“向外”——也就是说，通量是有确定的取向．

对于一个封闭的表面(一个没有孔的表面)，通常定义表面的方向，使从内到外流动的通量算作积极的，向外的通量，而从外到内的通量算负内在的通量。为了记住这种方向的选择，我们将封闭曲面分成许多小的表面斑块，并分配一个向量 $\ mathbf{一}_i$每一小块表面，表示与表面的法线(垂线)。此外，每个的大小 $\ mathbf{一}_i$定义为对应补丁的面积。

如果表面被分割成足够小的小块，那么电场 $\ mathbf {E} _i$每个补丁上的所有点基本上都是恒定的。在这种情况下电通量 $文本\ Phi_ \{补丁}$通过补丁是由点积，计算的分量 $\ mathbf {E} _i$平行于 $\ mathbf{一}_i$：

$\ ph_ \text{patch} = \mathbf{E}_i \cdot \mathbf{a}_i$

同时，通过整个表面的总电通量是所有补丁的总和:

$\Phi = \sum_i \mathbf{E}_i \cdot \mathbf{a}_i \$

随着 $\ mathbf{一}_i$变得小得无影无踪，就像在一个连续曲面的情况下，和被替换成a曲面积分：

$\Phi = \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}。$

“ $年代$"在积分的极限内表示对所有无穷小的表面元素在整个表面上进行积分 $d \ mathbf{一}$．幸运的是，电通量通常不需要显式计算积分就可以计算出来。

计算通过半径为球面的电通量 $R$它包含一个电荷 $问$在它的中心。

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在这种情况下，表面上所有点的电场都是相同的。此外，电场总是垂直于表面。因此，电场的垂直分量在整个表面的总和就是在一段距离上的电场 $R$从电荷乘以表面的面积。因此

$\ \φ= E cdot 4 \πR ^ 2 = \压裂{1}{4 \π\ epsilon_0} \压裂{q} {R ^ 2} \ cdot 4 \πR ^ 2 = \压裂{q} {\ epsilon_0}。$

计算穿过一个边长的立方体的电通量 $年代$(a)垂直于(b) $45 ^ \保监会$对于大小相等的电场 $E$如图所示。

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如果立方体与磁场平行放置，那么与磁场平行的四个面通量为零。在通量非零的两个面中，一个面含有通量 $- e s ^ 2$(“向内”的通量)，而另一个则包含通量 $E s ^ 2$(“向外”通量)。因此，总通量为零。

如果立方体被放置 $45 ^ \保监会$相对于场，两个面各有通量 $-E s^2 \cos{45^\circ} = -E s^2 / \√{2}$．同样地，另外两个非零通量面包含 $E s^2 \cos{45^\circ} = E s^2 / \√{2}$．因此，总通量又是零。

在通过球面的通量的例子中，通量与球面的半径无关。在这种情况下，总通量只取决于球体内所含的电荷。这在直觉上是有道理的;随着球体变大，球体捕获的电场“更多”，但这总是伴随着电场强度的下降。的因素 $R ^ 2$增长和 $1 / R ^ 2$衰变完全抵消了。

事实证明，同样的道理也适用于其他表面。如果装有电荷的盒子的壁膨胀，通过盒子的总通量保持不变，因为被膨胀的壁吸收的电场线的增加恰好被离墙更远的电场强度的下降所抵消。

但如果盒子里没有电荷呢?在立方体的情况下，无论立方体的方向如何，总电通量总是为零。尽管通过立方体的某些边的通量是正的(例如，“向外”的通量)，它总是被通过立方体的其他边的负通量恰好平衡(例如，“向内”的通量)。

基于这两个观察，人们可能会猜测通量是总是与容器表面的尺寸无关只有取决于所附总电荷的大小。这构成了……的基础高斯定律，它认为通过表面的总电通量与封闭电荷成正比．进一步，以球面为例，得到总电通量为 $q / \ epsilon_0$，比例常数必须为 $1 / \ epsilon_0$．

关于高斯定律的更详细的讨论可以在附件中找到页面．

一个电荷 $问$被立方体的一面一分为二。穿过立方体的总电通量是多少?

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用这个定义直接计算电通量是不容易的。然而，根据高斯定律，我们知道包含全部电荷的表面一定有总通量 $q / \ epsilon_0$．因此，包含了电荷总通量一半的立方体必然包含电通量 $q / (2 \ epsilon_0)$．

[1]年轻,收听距离大学物理．13版。皮尔森,2012年。

[2]格里菲斯,D.J.介绍了电动力学．第四版。皮尔森,2014年。

[3]珀塞尔,。电和磁．第三版。剑桥大学出版社，2013。