特征值和特征向量

对于A.矩阵变换 $T.$，非零矢量图 $v \，（\ neq 0）$被称为它特征向量如果 $t v = \ lambda v$对于一些纯量 $\ lambda.$。这意味着，应用矩阵转换到矢量仅缩放矢量。的相应值 $\ lambda.$为了 $V.$是一个特征值of $T.$。

该矩阵变换 $A.$在特征向量上行事 $X$，将其缩放到特征值 $\ lambda.$。^[1]

要了解矩阵变换如何，几何上行动，重要的是要了解他们对个别载体的影响。

考虑矩阵变换

$\ begin {pmatrix} 2＆0 \\ 0＆3 \ END {PMATRIX}。$

此相对应的地图 $T：\ mathbb {R} ^ 2 \到\ mathbb {R} ^ 2$给予 $（x，y）\ mapsto（2x，3y）$。的作用 $T.$是缩放 $X$由2和一个因子 - 轴 $y$-AXIS略微3.特别是，这相当于要求这一点 $T.$送 $（1,0）\ mapsto（2,0）$和 $（0,1）\ mapsto（0,3）$。假设这是线性的 $T.$暗示

$\ begin {对齐} t（x，y）＆= t \ big（（x，0）+（0，y）\ big）\\＆= t（x，0）+ t（0，y）\\＆= x \ cdot t（1,0）+ y \ cdot t（0,1）\\＆= x \ cdot（2,0）+ y \ cdot（0,3）\\＆=（2x，3y）。\ {端对齐}$

因此，可以识别基础 $\ {（1,0），（0,1）\}$为了 $\ mathbb {r} ^ 2$在哪 $T.$动作很简单，通过缩放。从这个知识，可以推导出如何 $T.$适用于每一个向量 $\ mathbb {r} ^ 2$。

是豆芽讨论出来的自然的问题是它是否能对所有的矩阵来确定特征向量的这样的基础。最起码，当它是可以这样做，手头的矩阵可被视为特别乖巧。例如，光谱定理线性代数说明 $A.$是一个对称矩阵，即 $A = A ^ {T】$，有一个由特征向量组成的基础 $A.$。

当手头的矩阵变换有明确的几何解释是不是太难以计算的特征值和它们对应的特征向量。对于实施例，考虑上面所讨论的对角矩阵和下方的反射矩阵：

考虑反射矩阵变换 $T = \ BEGIN {pmatrix} -1 0 \\ 0＆1 \ {端} pmatrix$这反映了跨越的矢量 $y$-轴。求特征值和相应特征值 $T.$。

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是那些获得跨越一个反射后缩放矢量 $y$轴或者是平行于 $y$轴，即，在跨度 $（0,1）$，或平行于 $X$轴，即，在跨度 $（1,0）$。

在第一种情况下，载体都没变：

$T（0,1）=（0,1）= 1 \ CDOT（0,1），$

因此，特征值为 $（0,1）$是 $1$。

在第二种情况下，在施加变换之后，向量的长度保持不变，但方向逆转：

$T（1,0）=（ - 1,0）= - 1 \ CDOT（1,0），$

因此，特征值为 $（1,0）$是 $-1$。 $_\正方形$

然而，对于任意矩阵，需要更一般的过程。

让我们 $A.$豆角，扁豆 $N$-经过- $N$矩阵，使其对应于变换 $\ mathbb {R} ^ N \到\ mathbb {R} ^ N$。如果 $\ lambda.$是一个特征值 $A.$，再有一个向量 $v \在\ mathbb {R} ^ N$这样 $AV = \拉姆达v$。重新排列该等式表明 $（A - \拉姆达\ CDOT I）V = 0$，在哪里 $一世$表示这一点 $N$-经过- $N$身份矩阵。这意味着矩阵的空空格 $A- \拉姆达\我CDOT$不为零，所以 $A- \拉姆达\我CDOT$具有决定因素零。

注意每个矩阵 $A.$有0作为特征值，具有特征向量 $（0,0，\ cdots，0）\在\ mathbb {R} ^ N$。一般情况下，一个只关注与关联特征值非零向量，所以约定规定 $0.$被认为是一个特征值 $A.$只有当零空间 $A.$非零 $\大（$同等，什么时候 $X$分歧 $p_ {a}（x）\ big）。$

因此，任何特征值 $A.$必须是多项式的根源 $P_ {A}（X）= \ DET（A - X \ CDOT I）$。这被称为特征多项式of $A.$。观察到，这意味着 $A.$只有有限个特征值（实际上最多 $N$特征值）。

在计算中，特征多项式非常有用。确定矩阵的特征值 $A.$，一个解决了根的根源 $P_ {A}（x）的$，然后检查每个根是否是特征值。

考虑矩阵

$a = \ begin {pmatrix} 1＆-3和3 \\ 3＆-5和3 \\ 6＆-6＆4 \ neg {pmatrix}。$

计算其特征值非零和它们对应的特征向量。

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特征多项式 $A.$可以被计算为

$\ det（a - x \ cdot i）= \ det \ begin {pmatrix} 1-x＆-3＆3 \\ 3＆-5-x＆3 \\ 6＆-6和4-x \ neg {pmatrix} = 16 + 12x - x ^ 3。$

这个因素为 $p_ {a}（x）= - （x-4）（x + 2）^ 2$，所以为特征值提供 $A.$是 $\ lambda_1 = 4$和 $\ lambda_2 = -2$。

证明 $\ lambda_1$是一个特征值 $A.$，它足以表现出矢量 $v \在\ mathbb {R} ^ 3$和 $AV = 4V.$。这意味着存在满足的载体 $（A - 4I）V = 0$。

$（a - 4i）v = \ begin {pmatrix} -3＆-3＆3 \\ 3＆-9和3 \\ 6＆-6＆3 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2\ x_3 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \结束{pmatrix}$

注意 $V_1 = \左（\ frac12，\ frac12，1个\右）$是卓有成效的。同样，我们发现对应的特征向量 $\ lambda_2 = -2$通过寻找零空间 $（a + 2i）：$

$（a + 2i）v = \ begin {pmatrix} 3＆-3＆3 \\ 3＆-3＆3 \\ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2x_3 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ neg {pmatrix}$

这让只有一个方程： $X_1 - X_2 + X_3 = 0$。两个向量线性无关的工作是 $v_2 =（1,1,0）$和 $V_3 =（0，1,1）$。

求解对应于线性方程系统 $AV = 4V.$表明，满足该等式的任何特征向量是倍数 $\ lambda_1$。同样，解决对应于系统 $av = -2v.$表明满足该方程的每个特征向量是的线性组合 $V_1$和 $V_2$。因此，我们已经找到了所有特征向量 $A.$。 $_\正方形$

认为 $A.$是一个方形矩阵。然后

• 其特征值的总和等于痕迹 $一种;$
• 它的特征值的乘积等于的行列式 $一种。$

这些属性证明需要调查特征多项式of $A.$，通过采取决定因素来发现 $（a - \ lambda {i} _ {n}）$。我们有

$\ BEGIN {对齐} A＆= \ BEGIN {bmatrix} {A} _ {11}＆\ cdots＆{A} _ {1N} \\ \ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ {A} _ {N1}＆\ cdots＆{A} _ {NN} \\ \ {端} bmatrix \\\\ A - {I} _ {N} \拉姆达＆= \ BEGIN {bmatrix} {A} _ {11} - \拉姆达＆\ cdots＆{A} _ {1N} \\ \ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ {A} _ {N1}＆\ cdots＆{A} _ {NN} - \拉姆达\\？\ {端bmatrix}。\ {端对齐}$

观察 $\ det（a - \ lambda {i} _ {n}）= \ det（a）+ cdots + \ text {tr}（a）{（ - \ lambda）} ^ {n-1} + {（ - \lambda）} ^ {n}$。

让我们 ${R} _ {1}，{R} _ {2}，...，{R} _ {N}$是一个根 $N$阶多项式。

$\开始{对齐} P（\拉姆达）=（{R} _ {1} - \拉姆达）（{R} _ {2} - \拉姆达）...（{R} _ {N} - \拉姆达）\\＆= \ PROD _ {i = 1} ^ {N} {{R} _ {I}} + \ cdots + \总和_ {i = 1} ^ {N} {{R} _ {I} {（ - \拉姆达）} ^ {N - 1} + {（ - \拉姆达）} ^ {N}}。\ {端对齐}$

由于特征值是矩阵多项式的根源，因此我们可以匹配 $P（x）的$到 $\ DET（A - \拉姆达{I} _ {N}）$。因此，很明显

$\ PROD _ {i = 1} ^ {N} {{\拉姆达} _ {I} = \ DET（A）}$

和

$\总和_ {i = 1} ^ {N} {{\拉姆达} _ {I} = \ {文本TR}（A）}。\ _ \方$

除了理论意义外，特征值和特征向量还具有应用数学的各种分支的重要应用，包括信号处理，机器学习和社交网络分析。

在网络分析中的简单应用程序中，考虑由有限连接的图表建模的网络 $g =（v，e）$。一种计算机将存储该曲线图中的信息的形式邻接矩阵。这是一个 $N$-经过- $N$矩阵 $a = \ {a_ {ij} \} _ {1 \ le i \ le j \ le n}$，在哪里 $n = | v |$和 $A_ {IJ} = 1$如果顶点 $我$和 $j$他们之间有一个边缘， $A_ {IJ} = 0$除此以外。

特征值 $A.$检测绕的结构的信息 $G$。例如，让 $\ lambda _ {\ text {min}}$和 $\拉姆达_ {\ {文本最大}}$表示的最小和最大特征值 $A.$分别。然后， $G$是二分钟如果并且只有 $\拉姆达_ {\文本{分钟}} = - \拉姆达_ {\文本{分钟}}$。因此，计算机能够确定是否 $G$通过计算特征值是二分的 $A.$;这比试图检查更多的计算方式更加可行 $G$是蛮力二分。

1. Lantonov，L.特征值方程式。检索2016年8月24日，从https://en.wikipedia.org/wiki/eigenvalues_and_eigenvectors#/media/file:eigenvalue_equation.svg.