双阶乘和多阶乘

在阅读本文之前，读者应该知道是什么阶乘是第一次。

的双!正整数的 $n$是阶乘的泛化吗 $n !;$这种阶乘用表示 $n ! !$．它是一种多因子的这个问题稍后会讨论。就二阶乘而言，它的结尾是 $2$对于偶数，和 $1$对于奇数:

• 对于一个甚至数量 $n > 0$， $n ! !＝n\times (n-2)\times \cdots\times 4\times 2;$
• 对于一个奇怪的数量 $n > 0$， $n ! !＝n\times (n-2)\times \cdots\times 3\times 1;$
• 如果 $n = 0$,然后 $0 ! ! = 1。$

澄清一下, $n ! !$不等于 $(n !) !$．例如, $4 ! != 4 \ times2 = 8,$而 $(4) != 24 != 620448401733239439360000$．继续尝试下面的热身问题:

对于任何非负整数 $n,$我们发现

$\ dfrac {n !} {n ! !} = (n - 1) ! !~~\text{or}~~ n!=(n-1)!!$

我们有以下两种情况:

• 如果 $n$是奇怪的， $\ dfrac {n !} {n ! !｝＝\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 3\times 2\times 1}{n\times (n-2)\times (n-4)\times \cdots 5\times 3\times 1}.$因为所有的数字都是奇数 $N, N -2, N -4, ldots, 5,3$消掉，就剩下方程了 $\ dfrac {n !} {n ! !} = (n - 1) ! !$
• 如果 $n$是甚至， $\ dfrac {n !} {n ! !｝＝\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 3\times 2\times 1}{n\times (n-2)\times (n-4)\times \cdots \times 4\times 2}.$因为所有的数字都是偶数 $N, N -2, N -4, ldots, 4,2$消掉，就剩下方程了 $\ dfrac {n !} {n ! !} = (n - 1) ! !$

结合这两种情况，我们发现任何非负整数 $n$， $\ dfrac {n !} {n ! !} = (n - 1) ! !\ _ \广场$

对于任何非负整数 $n,$我们发现

$\ dfrac {(2 n + 1) !} {(2 n) ! !} = (2 n + 1) ! !$

在这里，没有必要考虑两个不同的情况，因为是否 $n$是奇数还是偶数。

我们可以把LHS扩展为

$drac {(2n+1)\times (2n)\times (2n-1)\times (cdots)\times 3\times 2\times 1}{(2n)\times (2n-2)\times (2n-4)\times (cdots)\times 4\times 2}$

因为所有的数字都是偶数 $2n, 2n- 2,2n -4, ldots, 4,2$消掉，就剩下方程了

$\ dfrac {(2 n + 1) !} {(2 n) ! !} = (2 n + 1) ! !\ _ \广场$

评估 $\压裂{9 !}{9 ! !｝$．

---

自 $\压裂{n !} {n ! !} = (n - 1) ! !$，代入值，得到

${对齐}\ \开始dfrac {9 !} {9 ! !} & = (9) ! !\ \ & = 8 ! !\ \ & = 8×6×4×2 \ \ & = 384。\ \ _ \广场结束{对齐}$

评估 $\压裂{(3)!}{3 ! !｝$．

---

我们有

${对齐}\ \开始dfrac {(3) !} {3 ! !} & = \ dfrac{(3×2×1)!｝｛3.×1｝\\ &=\dfrac {6!}{3}\\ &=\dfrac {6×5×4×3×2×1}{3}\\ &=\dfrac {720}{3}\\ &=240. \ _\square \end{aligned}$

对于任何非负整数 $n$我们发现

$\ dfrac {(2 n - 1) !} {(2 n) ! !} = (2 n - 1) ! !$

同样，这里没有必要考虑两种不同的情况。我们可以把LHS扩展为

$rdf {(2n-1)\times (2n-2)\times (2n-3)\times (cdots)\times 3\times 2\times 1}{(2n-2)\times (2n-4)\times (cdots)\times 4\times 2}$

因为所有的数字都是偶数 $2n- 2,2n - 4,ldots 4,2$消掉，就剩下方程了

$\ dfrac {(2 n - 1) !} {(2 n) ! !} = (2 n - 1) ! !\ _ \广场$

评估 $\压裂{9 !}{8 ! !｝$．

---

我们有

$\begin{aligned} \dfrac {9!} {8 ! !｝&= \dfrac{ (2 \times 5 - 1 ) ! } { (2 \times 5 - 2 ) !! } \\ &= (2 \times 5 - 1 )!! \\ &= 9 !! \\ &= 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 \\ &= 945. \ _\square \end{aligned}$