二倍角的身份

三角倍角公式给出了两倍角的基本三角函数与角本身三角函数的关系。

记住下列公式的建议:

我们可以代入这些值 $(2倍)$求和公式 $罪\$而且 $\ cos。$使用45-45-90度和30-60-90度三角形，我们可以很容易地看到它们之间的关系 $\ sin (x)$而且 $\ cos x$通过它们所代表的长度。几个 $\因为2 x$定义可以用勾股定理和 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}。$

二倍角公式

$\开始{对齐}\罪2 x & = 2 \ sin (x) \ cos x \ \ \ \ \因为2 x & = \ cos ^ 2 x - \罪^ 2 x \ \ & = 2 \因为^ 2 x - 1 \ \ & = 1 - 2罪\ ^ 2 x \ \ \ \ \ tan 2 x & = \压裂{2 \ tanx} {1 - \ tan ^ 2 x} \{对齐}结束$

由这些公式，我们还得到以下等式:

$罪\开始{对齐}\ ^ 2 x = \压裂{1}{2}(1 - \ cos 2 x) \ \ \ \ \因为^ 2 x = \压裂{1}{2}(1 + \因为2 x) \ \ \ \ \ sin (x) \ cos (x = \压裂{1}{2}\罪2 x \ \ \ \ \ tan ^ 2 x = \压裂{1 - \因为2 x}}{1 + \因为2 x。结束\{对齐}$

我们有以下公式:

$\开始{对齐}\ sinh 2 x & = 2 \ sinh x \ cosh \ \ \ \ \ cosh 2 x & = \ cosh ^ 2 x + \ sinh ^ 2 x \ \ & = 2 \ cosh ^ 2 x - 1 \ \ & = 2 \ sinh x ^ 2 + 1 \ \ \ \ \双曲正切2 x & = \压裂{2 \双曲正切x}}{1 + \双曲正切^ 2 x。结束\{对齐}$

如果 $罪\ \α= \压裂{1}{2}$而且 $0 < \α< \压裂{\π}{2},$的价值是什么 $\ cos2 \α?$

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鉴于 $罪\ \α= \压裂{1}{2}$而且 $0 < \α< \压裂{\π}{2},$我们有 $\ cosα= \ \√6{α1 - \罪^ 2 \}= \√6{1 - \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2}= \压裂{\ sqrt{3}}{2}。$这意味着 $\ cos2 \α= \ cos ^ 2 \α-罪\ ^ 2 \α= \离开(\压裂{\ sqrt{3}}{2} \右)^ 2 - \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2 = \压裂{3}{4}\压裂{1},{4}= \压裂{1}{2}。\ _ \广场$

利用双重角恒等式可以解决以下问题:

如果 $罪\ \θ= \压裂{5}{13}$而且 $0 < \θ< \压裂{\π}{2},$的价值是什么 $\ sin2 \θ?$

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鉴于 $罪\ \θ= \压裂{5}{13}$而且 $0 < \θ< \压裂{\π}{2},$我们有 $\ cosθ= \ \√6{1 -θ\罪^ 2 \}= \√6{1 - \离开(\压裂{5}{13}\右)^ 2}= \压裂{12}{13}。$这意味着 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta =2\cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13}=\frac{120}{169}。\ _ \广场$

如果 $罪\ \α= \压裂{3}{5}$而且 $\压裂{\π}{2}< \α< \π,$的价值是什么 $\ tan2 \α?$

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鉴于 $罪\ \α= \压裂{3}{5}$而且 $\压裂{\π}{2}< \α< \π,$我们有 $\因为\α= - \√6{α1 - \罪^ 2 \}= - \√6{1 - \离开(\压裂{3}{5}\右)^ 2}= - \压裂{4}{5}。$这意味着 $\ displaystyle {\ tanα= \ \压裂{\罪\α}{\因为\α}= - \压裂{3}{4}}。$因此，它是这样的 $\ tan2 \α= \压裂{2 \ tan \α}{α1 - \ tan ^ 2 \} = \压裂{2 \ cdot \离开(- \压裂{3}{4}\右)}{1 - \离开(- \压裂{3}{4}\右)^ 2}= - \压裂{24}{7}。\ _ \广场$

是什么 $\θ$ $(0 < \θ< \π)$满足以下条件:

$θ+ \压裂{\ tan2 \ \ sec2 \θ1}{\ tan2 \θ+ \ sec2 \θ+ 1}= 1 ?$

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可以看到，给出的方程可以改写为:

$\开始{对齐}\压裂{\ tan2 \θ+ \ sec2 \θ1}{\ tan2 \θ+ \ sec2 \θ+ 1}& = \压裂{\压裂{\ sin2 \θ}{\ cos2 \θ}+ \压裂{1}{}\ cos2 \θ1}{\压裂{\ sin2 \θ}{\ cos2 \θ}+ \压裂{1}{\ cos2 \θ}+ 1}\ \ \ \ & = \压裂{\ sin2 \θ+ 1 -θ\ cos2 \} {\ sin2 \θ+ 1 + \ cos2 \θ}\ \ \ \ & = \压裂{2θ\罪\ \ cosθ+ 2 \ \罪^ 2 \θ}{2θ\罪\ \ cosθ+ 2 \ \ cosθ2 ^ \}\ \ \ \ & = \压裂{\罪\θ(罪\ cosθ+ \ \ \θ)}{\ cosθ(\ \ \ \ cosθ+ \θ的罪 )}\\\\ &=\ tan \θ= 1。结束\{对齐}$

然后,自 $0 < \θ< \π,$ $3 \ \θ= \压裂{π}{4}。$ $_ \广场$

如果 $csc \α= \ \压裂{2 \√{3}}{3}$为 $0 < \α< \压裂{\π}{2},$是什么 $\ sin2 \α+ \ cos2 \α?$

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自 $罪\ \α= \压裂{1}{\ csc \α}= \压裂{3}{2 \√{3}}= \压裂{\ sqrt {3}} {2}$而且 $0 < \α< \压裂{\π}{2},$ $α= \ \压裂{\π}{3}$而且 $\ cosα= \ \压裂{1}{2}。$因此,

$\开始{对齐}\ sin2 \α+ \ cos2 \α&α= 2 \罪\ \ cosα+ \ \大罪(\ cos ^ 2 \α- \ ^α2 \ \大)\ \ & = 2 \ cdot \压裂{\ sqrt {3}} {2} \ cdot \压裂{1}{2}+ \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2 - \离开(\压裂{\ sqrt{3}}{2} \右)^ 2 \ \ & = \压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{1}{4}- \压裂{3}{4}\ \ & = \压裂{\ sqrt{3} 1}{2}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

是什么 $X$在下列恒等式中: $\ displaystyle{1 + \床^ 2 \θ= \压裂{X}{\罪^ 2θ2 \}}?$

$c \开始{数组}{}(a) \ cos ^ 2 \θ&&& (b) \四\ cos ^ 2 \θ&&&罪(c) \ \ ^ 2θ&&& (d)罪\四\ ^ 2θ\ \{数组}结束$

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自 $1 + \床^ 2 \ csc ^ 2θ= \ \θ$,我们有

${对齐}\ csc ^ 2 \ \开始θ= \压裂{X}{\罪^ 22 \θ}\ \ \离开(\压裂{\ sin2 \θ}{θ罪\ \}\右)^ 2 & = X。结束\{对齐}$

使用身份 $\ sin2 \θ=θ2 \罪\ \因为\θ$给了

$左(X = \ \压裂{\ sin2 \θ}{θ罪\ \}\右)^ 2 = \离开(\压裂{2θ\罪\ \因为\θ}{θ罪\ \}\右)^ 2 = 4 \ cos ^ 2 \θ。$

因此，答案是 $(b)。$ $_ \广场$

用倍角公式证明恒等式

$\csc 2\theta - \cot 2\theta = \tan \theta。$

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我们有

$\begin{aligned} \csc 2\theta -\ cot 2\theta &= \dfrac{1}{\sin 2\theta} -\ dfrac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} \\ \\ &= \dfrac{1-\cos 2\theta}{\sin 2\theta}{\sin 2\theta}。结束\{对齐}$

使用身份 $1-\ cos2 \theta = 2\ sin^2 \theta$而且 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$给了

$\csc 2\theta -\ cot 2\theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \dfrac{2 \sin^2 \theta}{2 \sin \theta \theta} = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta。\ _ \广场$