交叉相乘总是适用于不等式吗?

对还是错?

对于所有实数 $a, b, c, d$ 与 $b$ 而且 $d$ 非零，如果 $\dfrac ab > \dfrac CD$ ,然后 $A \乘以d > c \乘以b$ 一定是真的。

为什么有些人说这是真的:
这看起来很直观:对于这个问题，交叉相乘等同于两边乘以 $b \ * d$ ．然后 $\dfrac a{\cancel b} \times \cancel bd > \dfrac c{\cancel d} \times b \cancel d，$ 这意味着 $A \乘以d > c\乘以b$ ．

为什么有人说它是错误的:
除了正实数，还有其他情况需要考虑。在其他情况下，这个“身份”可能会失败 $b, d$ 是负的。

这个陈述是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$ ．当且仅当分母同时为正或负时，这个断言是正确的。特别地，对于 $a = b = c = 1$ 而且 $d = 1$ 的约束 $\dfrac ab > \dfrac CD$ 真的应验了吗 $A \乘以d > c\乘以b$ 为假是因为 $-1 >$ 这是不对的。

我们最初的断言失败的原因是，一旦不等式两边都乘以负数，不等号就必须翻转。作为一个明确的例子，不等式 $-1 > -2$ 显然是真的。但是如果两边同时乘以 $－1$ ，在保持不等号不变的情况下，得到 $2、$ 这显然是错误的。

反驳:因为 $A = b= c=1$ 而且 $d = 2$ 让两个 $\dfrac ab > \dfrac CD$ 而且 $A \乘以d > b\乘以c$ 真实的。

回答:我们只证明了它是正确的 $a = b = c = 1$ 而且 $d = 2$ ．事实上，我们应该证明(或反驳)它在一般情况下是正确的。也就是说，我们没有证明这个结论成立所有实数 $a, b, c$ 而且 $d$ 与 $b, d \ 0$ ．

反驳:不等式两边平方，就得到 $\dfrac{a²}{b²}> \dfrac{c²}{d²}$ ．然后两边交叉乘以 $b 2 d ^ ^ 2$ ，这是一个正数，所以不需要改变不等号。因此 $A²d²> b²c²$ ．开平方根得到想要的结果， $A \乘以d > b \乘以c$ ．

回答:回想一下, $\√{x^2} = |x|$ ．所以开平方根只能得到 $|ad | > |bc |$ ，而不是 $公元>公元前$ ．

想要确定你已经掌握了这个概念吗?试试这些问题:

0 < \frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b}

\frac{c}{d} < \frac{a+c}{b+d}

不能确定

\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}

你应该知道

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}。$

然而,如果 $A b c d$ 正整数满足吗 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}，$ 我们能说些什么呢 $c \压裂{+}{b + d} ?$

\frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b} < \frac{c}{d}

\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}

\frac{a}{b} < \frac{c}{d} < \frac{a+c}{b+d}

其他的都没有

$\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$

如果 $A b c d$ (实变量)满足上述不等式，我们能说什么

$c \压裂{+}{b + d} ?$

有关……