可分性规则（2,3,5,7,11,13,17,19，…）

A.可分性规则是启发式来确定是否为正的整数可以是均分由另一个（即没有余数）。例如，确定一个数字是否为即使简单到检查它的最后一个数字是2、4、6、8还是0。以这种方式应用于同一个数字的多重可分性规则可以帮助快速确定它的大小素因子分解不必猜测其主要因素。

一个正整数 $N$可除以

• $\颜色{20A900}{\boxed{\mathbf{2}}$如果 $N$是2、4、6、8或0；
• $\颜色{20A900}{\boxed{\mathbf{3}}$的数字的和 $N$是3的倍数；
• $颜色\ {# 20 a900}{\盒装{\ mathbf {4}}}$如果 $N$是4的倍数;
• $\颜色{20A900}{\boxed{\mathbf{5}}$如果 $N$是0或5;
• $\颜色{20A900}{\boxed{\mathbf{6}}$如果 $N$可被2和3整除；
• $\颜色{20A900}{\boxed{\mathbf{7}}$如果减去 $N$从剩余数字中得出7的倍数（例如，658可被7整除，因为65-2x8=49，是7的倍数）；
• $颜色\ {# 20 a900}{\盒装{\ mathbf {8}}}$如果 $N$是8的倍数；
• $颜色\ {# 20 a900}{\盒装{\ mathbf {9}}}$的数字的和 $N$是9的倍数;
• $\颜色{20A900}{\boxed{\mathbf{10}}$如果 $N$为0；
• $\颜色{20A900}{\boxed{\mathbf{11}}$如果 $N$是11的倍数（例如，2343可被11整除，因为2-3+4-3=0，是11的倍数）；
• $颜色\ {# 20 a900}{\盒装{\ mathbf {12}}}$如果 $N$可以被3和4整除。

下面是一些可以用上面的可除性规则来解决的示例问题。

在不做除法的情况下，表示下面的数字是整数:

$\dfrac{1481481468}{12}。$

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根据可除性规则，我们知道一个数可以被12除，如果它可以被3和4除。因此，我们只需要检查1481468是否可以被3和4整除。

应用3的整除性检验，我们得到 $1+4+8+1+4+8+1+4+6+8=45,$它能被3整除。因此1481481468能被3整除。

应用4的整除性检验，我们得到最后两位数字68可以被4整除。因此1481468也可以被4整除。

现在，因为我们知道1481468可以被3和4整除，所以它可以被12整除。因此 $\分形{1481481468}{12}$将是一个整数。 $_\方格$

找到所有可能的值 $A.$这样的数字 $\上划线{98a6}$是 $3.$

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根据可整除性的规则，这个数 $\上划线{98a6}$是 $3.$当且仅当它的数字之和 $9 + 8 +a + 6 = 23+a$是 $3.$自 $0\leq a\leq 9$，这意味着 $a=1,4,7$是所有可能的值。 $_\方格$

不做除法，解释数字的原因 $987654321$是 $9$．

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根据可整除性法则 $9,$自 $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$是 $9,$ $987654321$是 $9. \ _\广场$

不用实际除法，展示一下 $87456399$是不整除 $11$．

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应用可分规则 $11，$奇数位数字和之间的差 $(8+4+6+9 = 27 )$和偶数处的数字之和 $(7 + 5 + 3 + 9 = 24)$是 $27-24=3,$它不能被 $11$因此 $87456399$不可除以 $11$． $_\方格$

什么价值观 $A.$和 $B$是 $ab \眉题{12}$的倍数 $99?$

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自 $99 = 9 \乘以11$，该数字必须是的倍数 $9$和 $11.$

可分规则 $9$告诉我们 $1+2+a+b$是 $9$因为它是一个数字 $3.$来 $21，$必须是两者之一 $9$或 $18$

现在，我们来看看 $11$告诉我们 $1 - 2 + a - b$是 $11.$因为它是一个数字 $-10$来 $8.$一定是 $0.$

解决 $\开始{cases}1+2+a+b=9\\1-2+a-b=0，\结束{cases}$没有整数解。

解决 $\开始{cases}1+2+a+b=18\\1-2+a-b=0，\结束{cases}$我们得到 $a=8，b=7$．

因此，唯一的解决办法是 $1287$具有 $一个= 8$和 $b=7。$ $_\方格$

是 $65973390$整除 $210?$

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我们不知道210的可分性规则。然而，我们很容易看到这一点 $210 = 2 \ * 3 \ * 5 \ times7$如果65973390能被2,3,5,7整除，那么它能被210整除。

• 因为65973390的最后一个数字是0，所以可以被2整除。
• 自 $6+5+9+7+3+3+9+0=42$，可以被3整除，因此65973390可以被3整除。
• 因为65973390的最后一位是0，所以它能被5整除。
• 为了检查7的整除性，作为初始步骤，我们计算 $6597339 - 2 (0) = 6597339$. 然而，这个数字仍然有点太大，我们无法判断它是否可以被7整除。在这种情况下，我们一次又一次地应用可分性规则，直到我们有足够小的数字来处理： $\{对齐}开始659733 - 2(9)& = 659715 \ \ 65971 - 2(5)& = 65961 \ \ 6596 - 2(1)& = 6594 \ \ 659 - 2(4)& = 651 \ \ 65 - 2(1)& = 63。\{对齐}结束$现在我们可以看到剩下的是 $63,$我们可以很容易地识别为7的倍数。因此65973390也是7的倍数。

因为65973390可以被2，3，5，7整除，所以它可以被 $2 \ times3 \ times5 \ times7 = 210。\ _ \广场$

自己尝试一些问题，看看是否理解此主题：

一个正整数 $N$可除以

• $\颜色{EC7300}{\boxed{\mathbf{13}}$如果4乘以 $N$加上去掉的个位数得到的数 $N$是13的倍数;
• $颜色\ {# EC7300}{\盒装{\ mathbf {17}}}$如果这个个位数减去剩下的数字5倍(不包括这个个位数)，得到的数字能被17整除;
• $颜色\ {# EC7300}{\盒装{\ mathbf {19}}}$如果把个位数乘以两倍，再加上去掉原数的个位数，就能被19整除。

您可以重复使用这些规则，直到您可以判断一个数字是否可以被另一个数字整除。

还需要注意的是，符号 $x | y$是用来说 $x$分开 $Y$，即分数 $\分形{y}{x}$给一个整数。例如, $\颜色{20A900}{3}6}$是事实,但 $\颜色{D61F06}{2}7}$是假的。

是 $45238$整除 $13吗?$

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根据可整除性的规则，这个数 $45238$是 $13$当且仅当 $13 |（4乘以8+4523）表示13 | 4555$．重复整除法则，我们得到 $13| (4 × 5+455) \意味着13| 475$. 再重复一次规则，我们就会 $13 |（4乘以5+47）意味着13 | 67$，这显然是 $颜色\ {# D61F06}{\文本{假}}$因此 $45238$不可除以 $13$． $_\方格$

是 $2853598728$整除 $24 ?$

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$24$是一个复合数，所以我们必须用稍微不同的方式来处理它。我们可以写作 $24$像 $3 \ * 8$．如果一个数能被两者整除 $3.$和 $8.$，则该数也能被整除 $24$. 我们选择 $3.$和 $8.$因为它们是互质数，也因为我们知道它的可除性法则 $3.$和 $8.$．

让我们测试一下 $2853598728$可除以 $8.$.数字的最后三位数字为 $728$它可以被 $8.$所以 $2853598728$也能被 $8.$.现在让我们看看 $2853598728$可除以 $3.$. 数字的位数之和 $2853598728$是 $57$. 自从 $57$可除以 $3.$, $2853598728$也能被 $3.$. 自从 $2853598728$可被二者整除 $3.$和 $8.$，我们可以得出这样的结论 $2853598728$是可分割的通过 $24$． $_\方格$

是 $365226929$整除 $2976?$

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我们不知道的整除规则 $2976$．然而，我们知道 $2976$是偶数吗 $2976$甚至会。然而, $365226929$不均匀，所以 $365226929$是没有可分通过 $2976$． $_\方格$

是 $25729875$整除 $759284521?$

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自 $0 < 25729875 < 759284521$的两个连续倍数之间 $759284521$因此 $25729875$不是的倍数 $759284521$, $25729875$是没有可分通过 $759284521$． $_\方格$

自己尝试一些问题，看看是否理解此主题：

$颜色\ {# D61F06}{\盒装{\ mathbf {23}}}$将最后一位数字的7倍添加到剩余的截断数字上。如有必要，重复此步骤。如果结果可被23整除，则原始数字也可被23整除。

• 检查53935： $5393+7 * 5 = 5428，等于542+7 * 8= 598，等于59+ 7 * 8=115，$也就是5乘以23。因此53935能被23整除。

$\颜色{D61F06}{\boxed{\mathbf{29}}$将最后一位数字的3倍添加到剩余的截断数字上。如有必要，重复此步骤。如果结果可被29整除，则原始数字也可被29整除。

• 检查12528： $1252+3\乘以8= 1276，表示127+3\乘以6= 145，表示14+ 3\乘以5=29，$它能被29整除。12528能被29整除。

$\颜色{D61F06}{\boxed{\mathbf{31}}$从剩余被截断的数字中减去最后一位数字的3倍。如有必要，重复该步骤。如果结果可被31整除，则原始数字也可被31整除。

• 49507年检查: $4950-3\ * 7=4929 \ * 9= 465\ = 46-3\ * 5=31$因此，49507可以被31整除。

$\颜色{D61F06}{\boxed{\mathbf{37}}$从剩余被截断的数字中减去最后一位数字的11倍。如有必要，重复该步骤。如果结果可被37整除，则原始数字也可被37整除。

• 检查11026：我们有 $1102-11乘以6=1036。$自 $103-11乘以6=37$能被37整除，11026能被37整除。

$\颜色{D61F06}{\boxed{\mathbf{41}}$从剩下的被截断的数减去最后一位的4倍。如有必要，重复上述步骤。如果结果能被41整除，原数也能被41整除。

• 检查14145：我们有 $1414-4乘以5=1394。$自 $139-4乘以4=123$能被41整除14145能被41整除。

$\颜色{D61F06}{\boxed{\mathbf{43}}$将最后一个数字的13倍加到剩余的截断数字上。必要时重复该步骤。如果结果可被43整除，则原始数字也可被43整除。（由于与13相乘，这一过程对大多数人来说变得困难。）

• 检查11739：我们有 $1173 + 13 \ * 9 = 1290。$因为129能被43整除，所以0可以忽略。11739能被43整除。

$\颜色{D61F06}{\boxed{\mathbf{47}}$从剩下的被截断的数减去最后一位的14倍。如有必要，重复上述步骤。如果结果能被47整除，原数也能被47整除。(对于不习惯14号桌的人来说，操作起来也很困难。)

• 检查45026：我们有 $4502-14乘以6=4418。$自 $441-14乘以8=329，$也就是7乘以47，45026可以被47整除。

证明当一个数可以被 $7.$从剩余数字形成的数字中减去最后一个数字两倍的结果是 $7.$

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让数字是多少 $N=10a+b$哪里 $B$最后一位是 $N$和 $A.$是由剩余数字组成的数字。

现在我们必须证明如果 $a-2b$可除以 $7.$然后 $N = 10 + b$还必须被 $7.$

让 $a-2b=7k，$在哪里 $K$是一个整数，将这个方程乘以 $10$并添加 $B$两边，然后你就可以

$10 a-20b + b = 70 k + b。$

现在移动 $-20 b$往右边走，你会看到

$10 a + b = N = 70 k + 21 b,$

哪个是的倍数 $7.$ $_\方格$

证明当一个数可以被 $8.$最后 $3.$数字是…的倍数 $8.$

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让数字是多少 $N=1000M+100a+10b+c$哪里 $a、 b，c$是数字和数字 $M$是一个非负整数。

清晰地 $1000米$是 $8.$自 $8 \中2^3 \cdot 5^3$. 因此 $N$是 $8.$当且仅当 $100a+10b+c$是 $8.$ $_\方格$

证明当一个数可以被 $11，$数字的交替和是的倍数 $11.$

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通过因子分解，我们知道

$10 ^ n - (1) ^ n = \大(10 -(1)\大)\离开(10 ^ {n} + 10 ^ {2} (1) + \ cdots + (1) ^ {n} \右)$

始终是的倍数 $11.$

因此，如果 $N=10^k a_k+10^{k-1}a_{k-1}+\cdots+10 a_1+a_0$然后

$\{对齐}开始N = & \离开\[左(10 ^ k - k(1) ^ \右)a_k + \离开(10 ^ {k - 1} - (1) ^ {k - 1} \右)现代{k - 1} + \ cdots + (10 + 1) a_1 + (1 - 1), a_0 \] \ \ \ \ & \水平间距{4厘米}+ (1)^ k a_k + (1) ^ {k - 1}现代{k - 1} + \ cdots + (1) ^ 1 a_1 + (1) ^ 0 a_0。结束\{对齐}$

因为方括号中的术语由 $11，$因此 $N$是 $11$当且仅当交替和是 $11.$ $_\square$

虽然找到巧妙的可除性技巧需要一些技巧，但找到一般的可除性测试并不难。在本节中，我们只将重点放在寻找素数的可除性测试上，因为一旦我们知道了素数的测试，我们就可以将任何合成数分解为素数并测试其可除性。

让我们从一个例子开始。

求13的可整除性检验。

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让我们先找到一个小的3位数的测试，然后找到一个一般的测试。我们会找到一些测试，涉及到最后一位的分离。这些测试将与19、23、29等测试相似。

让 $\上划线{abc}$有多少个这样的数字 $\上划线{abc}=100a+10b+c$. 现在假设 $\上划线{abc}$能被13整除。然后

$\begin{aligned} \overline {ABC} &\equiv 0\ pmod{13}\\ 100a+10b+c &\equiv 0\ pmod{13}\\ 10\left(10a+b \right) +c &\equiv 0\ pmod{13}\\ 10\overline {ab} +c &\equiv 0\ pmod{13}结束\{对齐}$

现在我们已经把最后一位和数字分开了，我们必须找到一种使用它的方法:使的系数 $\上划线{ab}$1.换句话说，我们要找一个整数 $N$以致 $10n\equiv 1\bmod{13}$. 可以观察到，最小的 $N$满足这个性质的是4。现在我们可以将原始方程乘以4，并将其简化：

${begin{aligned} 10\overline {ab} +c &\equiv 0\ pmod{13}\\ 40\overline {ab} +4c &\equiv 0\ pmod{13}\\ \结束\{对齐}$

啊哈!我们已经发现如果 ${ABC} \equiv 0 \bmod{13}，$然后 ${ab} +4c\equiv 0 \bmod{13}$．换句话说，要检查一个3位数是否能被13整除，我们只需去掉最后一位，乘以4，然后加上剩下的两位数字。

现在我们已经找到了三位数的测试，让我们找到一个一般的整除性测试 $\上划线{x}{n}{x}{n-1}{x}{n-2}\点{x}{2}{x}{1}$有 $N$数字，然后

$\{{{{对齐的}}}}}{{{{{}}}}}}}}{{{{{}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}{{{{}}}}{{{{}}}}}}}{{{{}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{1}&\equiv 0\pmod{13}\\40\overline{x}{n}{x}{n-1}{x}{n-2}\dots{x}{2}+4{x}{1}&\equiv 0\pmod{13}\\\\\{x}_{n}{x}{n-1}{x}{n-2}\dots{x}{2}+4{x}{1}&\equiv 0\pmod{13}.\end{aligned}$

因此，如果我们将最后一个数字的4倍加到数字的其余部分，那么一个数字是13的倍数，并且得到的数字仍然可以被13整除。 $_\方格$

这个过程可以被任意素数重复，以找到它的整除性检验。现在你能自己找到17、19、23和29的整除性测试吗？

自己尝试一些问题，看看是否理解此主题：

• 可分性规则的证明
• 素数
• 质因数分解
• 剩余部分