距离公式

的距离公式是一个用来求两点之间距离的公式。这些点可以在任何维度中。例如，您可能想要找出直线上两点(1d)、平面上两点(2d)或空间上两点(3d)之间的距离。

假设 $一个= x_1$而且 $B = x_2$是实数轴上的两个点。然后距离之间的 $一个$而且 $B$是

$d(A,B) = \lvert x_1 - x_2 \rvert。$

在平面上，我们可以考虑 $x$坐标轴作为一维数轴，这样我们就可以计算坐标轴上任意两点之间的距离 $x$-轴为它们之差的绝对值 $x$坐标。类似地，任意两点之间的距离 $y$-axis是它们之差的绝对值 $y$坐标。

现在,考虑一下 $xy$飞机,假设 $P_1 = (x_1, y_1)$而且 $P_2 = (x_2, y_2)$有两个点在里面。那么两者之间的距离 $P_1$而且 $P_2$是

$d(P_1, P_2) = \√{(x_1-x_2)²+(y_1-y_2)²}。$

自 $\lvert x_1 - x_2 \rvert$是之间的距离 $x$-坐标的两个点和 $y_1 - y_2\rvert$是之间的距离 $y$两点的-坐标，距离公式在 $xy$-plane可以被认为是有顶点的直角三角形的斜边长度 $y_1 P_1 = (x_1)$， $y_2 P_2 = (x_2),$而且 $y_1 P = (x_2)$．那么距离公式就是勾股定理的简单表述。

在一维和二维中，距离函数都满足以下性质:

1. $d (P, Q) \组0$对所有点 $P, Q$平等当且仅当 $P =$
2. $d(P, Q) = d(Q, P)$对所有点 $P, Q$
3. $d(P,Q) \leq d(P, R) + d(R, Q)$对所有点 $P, Q, R$．

两点之间的距离是多少 $(0, 5)$而且 $(0, 13)$?

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注意，这两个点都位于 $y$-轴，因此点之间的距离是 $y$坐标, $\lvert 5 - 13 \rvert = \lvert -8 \rvert =8 .\ _\方$

归纳以上问题，若分两点 $P_1 = (x_1, y_1)$而且 $P_2 = (x_2, y_2)$有相同的 $x$协调,即。 $x_1 = x_2$，则两点之间的距离为 $d(P_1, P_2) = |y_1-y_2|$这是线段 $\眉题{P_1P_2}$是一条垂直线。

类似地,如果 $P_1$而且 $P_2$有相同的 $y$坐标( $y_1 = y_2$),然后 $d(P_1, P_2) = | x1 -x_2|$这是线段 $\眉题{P_1P_2}$是一条水平线段。

求矩形的面积 $xy$飞机与顶点

$= (6,3), B =(6、7),C =(2、7),文本\ D{和}=(2、3)。$

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点 $一个$而且 $B$有相同的 $x$协调,这意味着 $d(A,B) = \lvert 7 - (-3) \rvert = 10$．点 $B$而且 $C$有相同的 $y$协调,这意味着 $d(B,C) = \lvert 6 - 2 \rvert = 4$．我们检查这些点 $C$而且 $D$有相同的 $x$协调和 $D$而且 $一个$有相同的 $y$-coordinate表示这些点确实是矩形的顶点。

矩形的面积是 $[ABCD]=AB \cdot BC = 4 \cdot 10 = 40。\ _ \广场$

两点之间的距离 $P = (x_1 y_1)$而且 $y_2 Q = (x_2)$可以用以下公式求得:

$PQ = \√{(x_1 - x_2)²+ (y_1 - y_2)²}。\ _ \广场$

构造一个三角形 $\三角形PQR,$在哪里 $R$有坐标 $(x_2 y_1)$．

然后 $\三角形PQR$是一个直角三角形，我们可以应用勾股定理得到

$Pq²= pr²+ qr²。$

自 $魁人党$是被发现的，和 $PR = |x_1 - x_2|$而且 $QR = |y_1 - y_2|，$我们有

$\{对齐}开始PQ ^ 2 & = (x_1 - x_2) ^ 2 + (y_1 - y_2) ^ 2 \ \ PQ & = \√{(x_1 - x_2) ^ 2 + (y_1 - y_2) ^ 2}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

由这个证明我们可以得到以下推论:

点的距离 $P = (x, y)$从原点 $O = (0, 0)$是由

$OP = \√6 {{(x)} ^ 2 + {(y₀)}^ 2}= \√6 {x ^ 2 + y ^ 2}。$

两点之间的距离是多少 $(7)$而且 $(2)吗?$

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的距离是 $\√6 {(1 - 3)^ 2 + (7 - 2)^ 2}$ $= \ sqrt {25} 4 +$ $= \ sqrt{29}。$ $_ \广场$

求所有的和 $一个$这样两点之间的距离 $(3、4)$而且 $(6)$是 $5$．

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用上面的公式，我们得到

$5 = \√{(3-6)^2 + (4-a)^2}。$

两边平方化简，我们得到

$\{对齐}开始25 & = 9 +(4)^ 2 \ \(4)^ 2 & = 16 \ \ 4 & = 4 ~ \文本{或}~ - 4 = 4 \ \ & = 8 ~ \文本{或}~ = 0。结束\{对齐}$

的可能值的和 $一个$是 $8 + 0 = 8。\ _ \广场$

求两点之间的距离 $=(2、3)$而且 $B =(5、7)$．

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我们有

$\{对齐}开始AB & = \√6 {{(x_2 - x_1)} ^ 2 + {(y_2 - y_1)} ^ 2} \ \ & = \√6 {{(5 - 2)}^ 2 + {(7)}^ 2}\ \ & = \ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} \ \ & = \ sqrt {9 + 16} \ \ & = \ sqrt{25} \ \ & = 5。\ \ _ \广场结束{对齐}$

求出点的距离 $P = (7, 1)$从原点。

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我们有

$\{对齐}开始OP & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ \ & = \ sqrt {7 ^ 2 + 1 ^ 2} \ \ & = \ sqrt {49 + 1} \ \ & = \ sqrt{50} \ \ & = 5 \√{2}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

有时给我们四个点，并要求我们评论由它们连接而成的四边形的性质。为此，我们必须回顾以下几点:

四边形是A

• 矩形，如果它的对边相等，对角线相等;
• 正方形，如果它所有的边都相等，对角线也相等;
• 平行四边形，如果它的对边相等;
• 菱形，如果两边相等。

展示这些点 $A=(-3,0) b =(1，-3) c =(4,1)$是等腰直角三角形的顶点。同时求出三角形的面积。

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我们有

$\{对齐}开始AB & = \√6{{(1 -(3))}^ 2 +{(3 - 0)}^ 2}\ \ & = \√6 {4 ^ 2 + {(3)}^ 2}\ \ & = \ sqrt {16 + 9} \ \ & = \ sqrt {25} = 5 \ \ \ \ BC & = \√{{(4 - 1)}^ 2 +{(1 -(3)/)}^ 2}\ \ & = \√6 {3 ^ 2 + {4}^ 2}\ \ & = \ sqrt {9 + 16} \ \ & = \ sqrt {25} = 5 \ \ \ \ CA & = \√{{(4 -(3))}^ 2 +{(1 - 0)}^ 2}\ \ & = \√6 {7 ^ 2 + {1}^ 2}\ \ & = \ sqrt {49 + 1} \ \ & = \ sqrt{50} = 5 \√{2}。结束\{对齐}$

自 $公元前AB =,$这个三角形是等腰三角形。
此外,由于 ${ab}²+ {bc}²= 5²+ 5²= 50 = {ca}²，$这是直角。

现在，三角形的面积是 $文本\开始{对齐}\ {(ABC)} & = \ dfrac {1} {2} AB××BC \ \ & = \ dfrac{1}{2}×5×5 \ \ & = 12.5。\ \ _ \广场结束{对齐}$

展示这些点 $A=(2，-2)， b =(8,4)， c =(5,7)， d =(-1,1)$是矩形的顶点。同时求出矩形的面积。

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我们有 $\{对齐}开始AB = \√6 {{(8 - 2)}^ 2 + {(4 + 2)}^ 2}& = \ sqrt{72} \ \ & = 6大概公元前{2}\ \ \ = \√6 {{(5 - 8)}^ 2 + {(7 - 4)}^ 2}& = \ sqrt {18} \ \ & = 3 \ sqrt CD ={2} \ \ \√6 {{(1 - 5)}^ 2 + {(1 - 7)}^ 2}& = \ sqrt {72} \ \ & = 6 \ sqrt DA ={2} \ \ \√6 {{(2 + 1)}^ 2 + {(2 - 1)}^ 2}& = \ sqrt {18} \ \ & = 3 \ sqrt{2} \{对齐}结束$这意味着 $AB = CD$而且 $公元前=哒。$即。 $ABCD$是一个对边相等的四边形。

现在，既然我们有 $AC = \ \{对齐}开始√6 {{(5 - 2)}^ 2 + {(7 + 2)}^ 2}& = \ sqrt {90} \ \ & = 3 \ sqrt BD ={10} \ \ \√6 {{(1 - 8)}^ 2 + {(1 - 4)}^ 2}& = \ sqrt {90} \ \ & = 3 \ sqrt{10} \{对齐}结束$ $AC = BD,$这意味着 $ABCD$是一个对角线相等的四边形。

因此, $ABCD$是一个矩形，它的面积是

${对齐}\ \开始文本{(ABCD的区域)}& = AB×BC \ \ & = 6 \ sqrt{2}×3 \ sqrt{2} \ \ & = 36。\ \ _ \广场结束{对齐}$

画出平面上的四个点 $A=(-3,2)， b =(-5，-5)， c =(2，-3)， d =(4,4)$形成一个菱形 $ABCD$这不是正方形。求出菱形的面积。

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我们有 $\{对齐}开始AB = \√6{{(5 -(3))}^ 2 +{(5 - 2)}^ 2}& =大概公元前{53}\ \ \ = \ sqrt {{(2 - (5))} ^ 2 + {(3 - (5)} ^ 2} & = \ sqrt CD ={53} \ \ \√6 {{(4 - 2)}^ 2 + {(4 - (3))}^ 2}& = \ sqrt {53} \ \ DA = \√6 {{(3 - 4)}^ 2 + {(2 - 4)}^ 2}& = \ sqrt{53} \{对齐}结束$这意味着 $Ab = BC = CD = da，$即。 $ABCD$不是菱形就是正方形。

现在，既然我们有 $AC = \ \{对齐}开始√6 {{(2 - (3))}^ 2 + {(3 - 2)}^ 2}& = \ sqrt{25 + 25} \ \ & = 5 \√{2}\ \ BD = \√6 {{(4 - (5))}^ 2 + {(4 - (5))}^ 2}& = \ sqrt {81 + 81} \ \ & = 9 \ sqrt{2} \{对齐}结束$ $交流\ neq BD,$这意味着 $ABCD$是菱形而不是正方形。

菱形的面积 $ABCD$是 ${对齐}\ \开始文本{(菱形ABCD的区域)}& = \ dfrac {1} {2} AC××BD \ \ & = \ dfrac{1}{2}×5 \√{2}×9 \ sqrt{2} \ \ & = 45。\ \ _ \广场结束{对齐}$

用距离公式来表示 $A=(-1，-1)， b =(2,3)， c =(8,11)$共线。

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我们有 $\{对齐}开始AB = \√6{{\大(2 -(1)\大)}^ 2 +{\大(3 -(1)\大)}^ 2}= \ sqrt {9 + 16} & = 5 \ \ BC = \√{{(8 - 2)}^ 2 +{(取得)}^ 2}= \ sqrt {36 + 64} AC = & = 10 \ \ \√6{{\大(8 -(1)\大)}^ 2 +{\大(11 -(1)\大)}^ 2}= \ sqrt{81 + 144} & = 15日结束\{对齐}$所以 $Ab + BC = ac，$这意味着给定的点共线。 $_ \广场$

找一个点 $y$-轴，与各点等距 $=(3、4)$而且 $B = (7,6)$．

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既然点在于 $y$设在, $x$协调是 $0$．让 $P = (0, y)$的要求点 $y$-轴，它与给定点等距。然后,

$\{对齐}开始PA & = PB \ \ {PA} ^ 2 & = {PB} ^ 2 \ \ {(3 - 0)} ^ 2 + {(4 y)} ^ 2 & = {(7 - 0)} ^ 2 + {(6 y)} ^ 2 \ \ {(3)} ^ 2 + {(4 y)} ^ 2 & = 7 ^ 2 + {(6 y)} ^ 2 \ \ 9 + 16 + y ^ 2 - 8 y & = 49 + 36 + y ^ 2 - 12 y \ \ 4 y & y = 60 \ \ & = \ dfrac {60} {4} \ \ y & = 15。结束\{对齐}$

因此，所需点为 $(0, 15)。$ $_ \广场$