离散随机变量-定义
一个随机变量是一个变量,它有多个不同的值,每个值都有一定的概率发生。当有一个有限的(或<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cardinality/" class="wiki_link" title="可数名词" target="_blank">可数名词),则随机变量为离散.随机变量与常规变量的对比<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/variables/" class="wiki_link" title="变量" target="_blank">变量,它们的值是固定的(尽管通常是未知的)。
例如,标准骰子的一次滚动可以用随机变量来建模
每种情况都有概率发生 .
随机变量在一些领域很重要<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/statistics/" class="wiki_link" title="统计数据" target="_blank">统计数据;事实上,标准<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/probability-distribution/?wiki_title=probability distributions" class="wiki_link new" title="概率分布" target="_blank" rel="nofollow">概率分布可以看作是随机变量。他们还模拟了涉及的情况<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/bayes-theorem/" class="wiki_link" title="条件概率" target="_blank">条件概率以及涉及到的问题<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="线性的期望" target="_blank">线性的期望.
正式的定义
一个概率空间由
- 一个样本空间 ,所有可能结果的集合,
- 一组事件 ,其中每个事件都是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-subsets/" class="wiki_link" title="子集" target="_blank">子集的 和
- 一个函数 ,它为每个事件分配一个概率。
例如,考虑抛一枚均匀的硬币。样本空间就是集合 ,可能发生的事件是 .这里的空集合指的是既没有正面也没有反面出现,而集合 指出现正面或反面中的一个。这个函数 因此被定义为
一组 的选定子集 代表实验的相关事件。例如,如果实验是滚动一个六面骰子 一个可以 集合的所有子集的集合 .然后 是可以描述为“一个奇数滚动”的事件。如果实验产生了结果 ,然后每个事件 与 据说已经发生了。例如,如果掷出一个六面骰子 结果是,有些事情已经发生了吗 (" 滚”), 一个小于的数字 滚”), (“偶数滚动”)。
一般来说, 的所有可能的子集 .的限制 是
- 如果 ,然后
- 如果 的子集是可数族吗 与 为每一个 ,然后 .
这个函数 必须满足 而且是必须的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/measure/" class="wiki_link" title="可数的添加剂" target="_blank">可数的添加剂,即对任意成对不相交集的可数集合
这样,概率空间 变成了一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/measure-theory/" class="wiki_link" title="测度空间" target="_blank">测度空间与测量 以及所有可测量集的集合 .
概率空间的要求反映了概率的基本规律。例如,如果 然后 和 不相交集与 .自 是可数的添加剂, 这是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/probability-by-complement/" class="wiki_link" title="补充规则" target="_blank">补充规则的概率。
一个随机变量 被正式定义为a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/measure-theory/" class="wiki_link" title="可测函数" target="_blank">可测函数从样本空间 到另一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/measure-theory/" class="wiki_link" title="可测量的空间" target="_blank">可测量的空间 .的要求 可测是指每个可测集的逆像吗 在 是一个事件。
通常, 函数是否接受值 它描述了概率空间结果的一些性质。例如,一个随机变量 这表示在一次抛硬币中正面出现的次数
注意随机变量 本身不会返回一个概率;相反,是概率空间本身赋予了概率。当考虑多次抛硬币时,这一点可能更明显;例如,描述连续3次抛硬币的概率空间有8种可能的结果,恰好抛两个正面的概率就是事件的概率 发生了:
如果 是表示正面被抛的次数的变量,
一个离散随机变量是一个随机变量,它只取有限多个或可数无穷多个不同的值。
然而,这并不意味着样本空间必须有最多可数的无穷多个结果。例如,如果一个点 是在区间内均匀随机选择的 ,考虑随机变量 取这个值 如果 和 否则。尽管样本空间是区间 哪个变量是无限的,不可数的 是离散的,因为它只取有限多(即2)个值。