盘的方法
总结
给定曲线下的区域 的时间间隔 ,围绕这个区域 轴给出一个三维图形,称为a旋转体.
为了求这个旋转体的体积,考虑一个薄的垂直带的厚度 和高度 然后考虑把这条细带子绕着 设在。这条带子产生一个有半径的薄圆盘 和厚度 ,它有体积
的磁盘的方法通过从左端点计算这些薄圆盘的体积来计算整个旋转体的体积 到右端点 的厚度 去 的极限。这给出了旋转体的体积:
基本的例子
圆柱体体积:
有高度的圆柱体 半径和基础 可以认为是固体的旋转所获得的直线吗 在 设在。用圆盘法,求出圆柱体的体积的高度 半径和基础 .
我们用圆盘法使这条线旋转 在 设在从 来 .然后 右边圆柱的体积是
球的体积:
一个球体可以被认为是通过绕球体旋转半圆而得到的旋转体 设在。用圆盘法求出半径球的体积 .
我们可以认为半圆的圆心在有半径的原点上 ,它有一个方程 .然后 这个球的体积是
右圆锥体积:
一个正圆圆锥可以被认为是一个旋转的实体通过一个直角三角形围绕 设在。用圆盘法,求出右圆锥高度的体积 半径和基础 .
这个直角三角形的斜边 -axis是 .然后 右边圆锥的体积是
如上面的例子所示,我们有如下的关系,圆锥和球体的体积作为它们各自外切圆柱体体积的小数部分:
中间的例子
当曲线 是围绕着 -轴,形成漏斗形表面。这个公转的体积是多少?
用圆盘法给出
旋转的体积是
有趣的是,体积是有限的。