逆函数的分化

差异逆函数非常简单。为此，您只需学习一个简单的公式如下所示：

$\ frac {d} {dx} f ^ { - 1}（x）= \ frac {1} {f'（y）}，y = f ^ { - 1}（x）$

这很简单，不是吗？但是，当问题有点棘手时，可能会令人困惑地确定应该替换哪种变量 $X$哪个进入 $y。$这就是为什么了解证明是必不可少的。谈到逆函数时，我们通常会改变职位 $y$和 $X$在等式中。当然，这是因为如果 $Y = F ^ { - 1}（x）$那是真的，然后 $x = f（y）$也是真的。上面的公式的证明还牢记了这条规则。

证明是衍生的 $Y = F ^ { - 1}（x）$关于 $X$是 $\ frac {1} {f'（y）}。$

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我们知道 $x = f（y）。$偏离双方 $y$给

$\ begin {对齐} \ frac {dx} {dy}＆= \ frac {d} {dy} f（y）\\ \ frac {dx}＆= f'（y）\\ \ frickarrow \ frac{dy} {dx}＆= \ frac {1} {f'（y）}。\ _ \ square \ END {对齐}$

别忘了 $X$和 $y$分别是函数的输入和输出 $Y = F ^ { - 1}（x）$在这个公式中。图形演示将使我们更有洞察力：

从上图来看，我们可以看到该点 $（x，y）$和 $（y，x）$对该线对称 $Y = X.$这些点的切线也是如此。因此，我们可以从图中得出结论 $\ frac {d} {dx} f ^ { - 1}（x）= \ frac {1} {f'（y）}。$

如果 $f（x）= x ^ 2，$什么是衍生物 $f ^ { - 1}（x）$在 $x = 4？$

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自从 $f（2）= 4，$我们知道 $f ^ { - 1}（4）= 2。$因此，我们有

$\ frac {d} {dx} f ^ { - 1}（4）= \ frac {1} {f'（2）} = \左。\ frac {1} {2x} \右|_ {x = 2} = \ frac {1} {4}。\ _ \ square$

如果 $f（x）= \ ln x，$什么是衍生物 $f ^ { - 1}（x）$在 $x = 2？$

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自从 $f（e ^ 2）= 2，$我们知道 $f ^ { - 1}（2）= e ^ 2。$因此，我们有

$\ frac {d} {dx} f ^ { - 1}（2）= \ frac {1} {f'（e ^ 2）} = \ left。\ FRAC {1} {\ FRAC {1} {x}} \右| _ {x = e ^ 2} = e ^ 2。\ _ \ square$

如果 $f（x）= \ sin x \ \ left（ - \ frac {\ pi} {2} \ leq x \ leq \ frac {\ pi} {2} \右），$切线的等式是什么？ $Y = F ^ { - 1}（x）$在 $x = \ frac {1} {2}？$

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自从 $f \ left（\ frac {\ pi} {6} \ revent）= \ frac {1} {2}，$我们知道 $f ^ { - 1} \ left（\ frac {1} {2} \右）= \ frac {\ pi} {6}。$因此，我们有

$\ frac {d} {dx} f ^ { - 1} \ left（\ frac {1} {2} \ revent）= \ frac {1} {f'\ left（\ frac {\ pi} {6}右）} = \左。\ frac {1} {\ cos x} \右| _ {x = \ frac {\ pi} {6}} = \ frac {2} {\ sqrt {3}}。$

这意味着切线的斜率是 $\ frac {2} {\ sqrt {3}}。$我们知道切线通过了这一点 $\ left（\ frac {1} {2}，\ frac {\ pi} {6} \右）。$因此，切线的等式是

$\ begin {对齐} y＆= \ frac {2} {\ sqrt {3}} \ left（x-\ frac {1} {2} \右）+ \ frac {\ pi} {6} \\ y＆= \FRAC {2} {\ sqrt {3}} x-\ frac {\ sqrt {3}} {3} + \ frac {\ pi} {6}。\ _ \ square \ END {对齐}$