微分方程gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba微分方程gydF4y2Ba方程中是否包含agydF4y2Ba函数gydF4y2Ba和它的gydF4y2Ba衍生品gydF4y2Ba．换句话说，微分方程是将一个量的值与该量的变化率联系起来的。例如，对于一个正在发射的火箭，可以写出一个将它的速度与位置联系起来的方程，因为速度是位置变化的速率，这是一个微分方程。用时间来解这个微分方程就可以在任何时候确定火箭的位置。gydF4y2Ba

函数的导数gydF4y2Ba $x \ sin (x ^ 2) + 1gydF4y2Ba$在不同的点gydF4y2Ba^[1]gydF4y2Ba

微分方程经常出现在各种各样的环境中。gydF4y2Ba

假设有一个有质量的火箭gydF4y2Ba $毫克ydF4y2Ba$下降是为了让它感受到力量吗gydF4y2Ba $毫克gydF4y2Ba$由于重力，假设它受到的阻力与它的速度，强度成正比gydF4y2Ba $bvgydF4y2Ba$，对于一个常数gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$．然后,gydF4y2Ba牛顿第二定律gydF4y2Ba告诉我们如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是加速度,gydF4y2Ba

$F = ma = mg-bv \意味着\压裂{dv} {dt} = g - v \压裂{b} {m},gydF4y2Ba$

哪个是微分方程gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$．这是一个gydF4y2Ba可分离变量的微分方程gydF4y2Ba，它有解gydF4y2Ba

$v = \ dfrac {mg} {b} \离开(单电子^ {bt / m} \右),gydF4y2Ba$

现在我们可以对时间积分来求出位置，gydF4y2Ba $x (t)gydF4y2Ba$,因为gydF4y2Ba

$x (t) = \ dfrac {mg} {b} t + \ dfrac {m ^ 2 g} {b} ^ 2 e ^ {bt / m} + C,gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是一个常数依赖于初始位置吗gydF4y2Ba $(从)gydF4y2Ba$火箭的，即。gydF4y2Ba

$C = x_0 - \ dfrac {m ^ 2 g} {b ^ 2}。gydF4y2Ba$

在生物学中，我们经常有一个群体gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$细菌的生长速度与细菌的数量成正比，因为细菌越多，产生的细菌就越多。这意味着gydF4y2Ba

$\压裂{dP} {dt} = kP,gydF4y2Ba$

这是另一个gydF4y2Ba可分离变量的微分方程gydF4y2Ba与解决方案gydF4y2Ba

$P = P_0e ^ {kt},gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $P_0gydF4y2Ba$为菌落的初始大小。gydF4y2Ba

许多化学反应在进行过程中会减慢，因为反应物被耗尽了。例如，反应物浓度的速率gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$,表示gydF4y2Ba $(一)gydF4y2Ba$，的减少往往与反应物的剩余量成正比，即反应物越少，反应越慢。这给出了方程gydF4y2Ba

$\压裂{d[一]}{dt} = - k(一个),gydF4y2Ba$

负号出现是因为速率在减小。这是另一个可分离变量方程，它有解gydF4y2Ba

$[一]= [A] _0e ^ {kt},gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $(一)_0gydF4y2Ba$是初始浓度。gydF4y2Ba

要解决微分方程，将它们分成可以用类似的技术解决的类别是有帮助的，这是用各种各样的词来描述它们。gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba普通的gydF4y2Ba微分方程是一种只对一个变量求导的微分方程gydF4y2Ba部分gydF4y2Ba微分方程是对多个变量求导的方程。它们通常缩写为ODE和PDE。gydF4y2Ba

微分方程gydF4y2Ba $f (x) + x ^ 2 f (x) = f (x)gydF4y2Ba$是普通的，而微分方程呢gydF4y2Ba $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=xygydF4y2Ba$是偏微分方程。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba订单gydF4y2Ba微分方程的导数是其中出现的最高阶导数。gydF4y2Ba

微分方程gydF4y2Ba $f (x) + x ^ 2 f (x) = f (x)gydF4y2Ba$是不是二级，因为它包含了gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$项，而微分方程gydF4y2Ba $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=xygydF4y2Ba$是一级的，因为它只包含一阶导数。gydF4y2Ba

微分方程是gydF4y2Ba线性gydF4y2Ba如果它只涉及gydF4y2Ba线性组合gydF4y2Ba未知函数的导数(与多项式相反)，否则是非线性的。gydF4y2Ba

微分方程gydF4y2Ba $f (x) + x ^ 2 f (x) = f (x)gydF4y2Ba$是线性的,因为gydF4y2Ba $f (x) - f”(x)gydF4y2Ba$是的线性组合gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$它的导数和微分方程gydF4y2Ba $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=xygydF4y2Ba$也是线性的。然而，像这样的方程gydF4y2Ba $f (x) f (x) + x ^ 2 = f (x)gydF4y2Ba$是非线性的,因为gydF4y2Ba $f (x) f (x)gydF4y2Ba$是一个非线性的术语。gydF4y2Ba

任意的微分方程通常是很难解的。然而，当微分方程采用几种形式之一时，它们可以被精确求解:gydF4y2Ba

• 可分离变量的微分方程gydF4y2Ba $\压裂{dy} {dx} = f (x) g (y)gydF4y2Ba$
• 一阶线性微分方程gydF4y2Ba $y ' + p (x) y = (x)gydF4y2Ba$
• 简谐运动gydF4y2Ba
  $V \frac{dv}{dx} = - \omega^2 xgydF4y2Ba$
• 常系数齐次线性微分方程gydF4y2Ba $a_ny ^ {(n)} + \ cdots + a_1y ' + a_0y = 0gydF4y2Ba$
• 伯努利方程gydF4y2Ba $y ' + p (x) y = y ^ n (x)gydF4y2Ba$
• 逻辑微分方程gydF4y2Ba $f (x) = r \离开(1 - \压裂{f (x)} {K} \右)f (x)gydF4y2Ba$
• 线性微分方程组gydF4y2Ba $f \开始{对齐}' (x) & =现代{11}f (x) + \ cdots +现代{1 n} fn (x) \ \₂”(x) & =现代{21}f (x) + \ cdots +现代{2 n} fn (x) \ \ & \ vdots \ \ fn ' (x) & =现代{n1} f (x) + \ cdots +现代{nn} fn (x) \ \ \{对齐}结束gydF4y2Ba$

除了上面提到的形式，在大多数情况下，微分方程是不能精确求解的。大多数情况下，微分方程都是用数值逼近来求解的，比如gydF4y2Ba欧拉方法gydF4y2Ba和gydF4y2Ba龙格-库塔方法gydF4y2Ba．在这些情况下，解通常通过计算机模拟得到最好的理解，用模拟服从方程的系统行为的计算问题代替求解微分方程的数学问题。gydF4y2Ba

一维的热方程是gydF4y2Ba $u_t = \αu_ {xx}gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $u (x, tgydF4y2Ba$)在一定时间内发出热量gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$和位置gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$是一个常数。这个方程比较难解，所以与其解它，不如试着近似这个函数gydF4y2Ba $u (x, t)gydF4y2Ba$基于微分方程。这使我们能够理解，例如，热通过一端加热的棒子的方式，即使我们不能解相关的微分方程。gydF4y2Ba

不幸的是，有些微分方程是完全不能解的，所以关于微分方程最重要的问题之一就是我们可以找到哪些方程的解，以及什么时候这些解是唯一的。一个非常重要的结果是gydF4y2BaPicard-LindelofgydF4y2Ba定理，也就是微分方程的形式gydF4y2Ba $y ' = F (y)gydF4y2Ba$只要有特定条件，解是唯一的gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$得到满足。一般来说，确定存在性和唯一性是非常困难的，以至于一个gydF4y2Ba年奖金问题gydF4y2Ba的解的存在性和唯一性gydF4y2Ban - s方程gydF4y2Ba，它们是模拟流体流动的微分方程。gydF4y2Ba

1. Dino， . & LfahlberggydF4y2BaFunction_Tangents_AnnimationgydF4y2Ba．检索自2016年9月7日gydF4y2Bahttps://en.wikipedia.org/wiki/File:Tangent_function_animation.gifgydF4y2Ba