微分方程-欧拉法-小步长

考虑以下形式的线性微分方程: $Y '= {dy}{dx} =f(x, Y)。$在求解微分方程时，我们通常会遇到一个可以用特殊方法求解的方程，但在大多数情况下，微分方程是无法简化的。为了绕过这个势垒，我们设计了一种数值逼近方法。近似微分方程的最简单和最古老的方法之一被称为欧拉方法欧拉法是一阶方法，即局部误差与步长平方和成正比，全局误差与步长成正比。欧拉法往往是构建更复杂方法的基础。

欧拉方法依赖于这样一个事实:在接近某一点时，一个函数及其正切值几乎相同。让 $h$是增量变化 $x$坐标，也称为步长。

dj

从上图中我们可以知道切线在这一点的斜率 $y_(间的{0},{0})$是 $y '(间的{0})= f(间的{0},y_ {0})$．已知切线的斜率和起始点 $y_(间的{0},{0})$，我们要求的是 $y_ {1}$位于 $间的{1}=间的{0}+ h$．

我们有坐标几何

$y_ {1} = y_{0} +高频(间的{0},y_{0})。$

现在我们递归地继续 $y_(间的{1},{1})$求。的值 $y_(间的{2},{2})$．切线的斜率在 $y_(间的{1},{1})$等于 $y '(间的{1})= f(间的{1},y_ {1})$．然后用和上面一样的步骤

$y_ {2} = y_{1} +高频(间的{1},y_{1})。$

一般情况下，我们有

$y_ {n} = y_ {n} +高频(间{n}, y_ {n})。$

现在，为了理解我们刚才做的目的，让我们看看下面的图，它展示了 $h$变得越来越小:

fj

蓝色的线是最小的 $h$值, $h$tan的值越来越小，越来越接近实数。

考虑一个函数 $f (x)$这样 $f (2) = 10$和 $f (x) = x ^ {2} + 3 x$．采用带步长的欧拉方法 $1，$求得到的近似 $f(5)。$

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采用带步长的欧拉方法 $1，$我们有

$\{对齐}开始(3)& = f(2) + 1 \乘以20 \ \ ' (2)= f (4) & = f (3) + 1 \ * f ' (3) = 20 + 18 = 38 \ \ f (5) & = f (4) + 1 \ * f '(4) = 38 + 40 = 78。结束\{对齐}$

所以我们有 $f (5) = 78$． $_ \广场$

考虑一个函数 $f (x)$这样 $f (1) = 2$和 $f (x) = 6 x ^ {2} + 2 x$．采用带步长的欧拉方法 $\压裂{1}{2},$求得到的近似 $f(8)。$

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采用带步长的欧拉方法 $\压裂{1}{2},$我们有

$\{对齐}开始f (1.5) & = (1) + f(1) \乘以0.5 \ \ & = 2 + [6 (1)^ {2}+ 2 (1)](0.5)\ \ & = 2 + 4 = 6 \ \ \ \ f (2) & = f (1.5) + f ' (1.5) \ * 0.5 \ \ & = 6 + [6 (1.5) ^ {2} + 2 (1.5) (0.5) \ \ & = 14.25 \ \ \ \ (2.5) & = f (2) + f”(2)\乘以0.5 \ \ & = 14.25 + [6 (2)^ {2}+ 2 (2)](0.5)\ \ & = 28.25 \ \ & \ cdot \ \ & \ cdot \ \ f (8) & = f (7.5) + f '(7.5) \乘以0.5 \ \ & = 814.5 +[6(7.5)^{2}+ 2(7.5)(0.5)\ \ & = 990.75。\ \ _ \广场结束{对齐}$