向量的不同表示
简介
向量很简单:它们是在空间中有长度和方向的物体。例如,我相对于地球中心的3D位置是一个矢量,因为它有长度(我到中心的距离),以及方向(我相对于中心的方向)。当我骑自行车时,一个向量可以用来描述我行进的速度和方向,它叫做我的速度, .
另一方面,温度不是矢量。虽然温度在每一点上都有大小,但它没有方向,大小不能作为任何东西的长度。它只是在空间的每一点上定义的一个数字(对于热心的读者来说,技术术语是a标量场).
然而,并不是每个长度和方向的组合都是矢量。例如,我们可以说 表示我朝这个方向看的书的数量 ,而 表示我朝这个方向看的书的数量 .然而,如果我阅读 面对书籍 然后阅读 面对书籍 读书,不等于读书 书籍,同时面对一些新的方向。事实上,没有办法以一种有意义的方式组合这些对象。
另一方面,如果我走1米 方向,其次为1米 方向,显然是相同的结果,如果我走 方向是M .有一种直接的方法可以将两个位移组合成一个有意义的整体位移。这个性质对于物理中的向量是很重要的。
笛卡尔坐标系
表示向量的常用方法之一是用笛卡尔坐标系来定义它。我们来测量我的东西位置 坐标,我的南北位置 坐标。例如,如果我向一只熟睡的大象的东边走1米,我们可以用 .如果我向他的北方走1米,这个运动可以用 .
向量加法
如果这个表示是一致的,我们最好能够用向量表示我相对于睡着的大象的整体位置 .
事实上,我们看到,要得到总体位移,我们可以简单地加上 而且 两个向量的分量,即
它实际上等于总体位置。这给了我们一个简单而一致的方法来在笛卡尔表示中添加向量。我们简单地把向量按分量相加。
极坐标
矢量的另一种常用表示是极坐标系统 来确定我们相对于大象的位移。例如,在 ,当我们站在熟睡的大象以北1米时,我们在 ,也就是说,我们站在距离原点1米的角度 到原点。我们看到 而且 是完全等价的。
类似地,我们可以表示 通过 .
极坐标下矢量加法的计算
如果我们按顺序进行这两个动议,我们预计会达到 .显然,要在极坐标系统中组合向量,我们不能简单地相加 得到 或 获得 .
我们回想一下极坐标和笛卡尔坐标之间的变换。如果 是向量的笛卡尔表示,和 是极坐标表示,是这样吗
类似地,我们可以使用反向变换映射回:
添加向量极坐标表示的一种方便方法是映射到笛卡尔坐标系,执行加法,然后映射回极坐标坐标系。
这是成立的 :
这相当于
屈服 如我们所料。
协调独立
笛卡尔坐标系的优点之一是向量可以很容易地加起来,而在极坐标坐标系中就有点不自然了。然而,每一种都有它的位置,在极地系统中工作通常要简单得多。
尽管在一种或另一种表示中工作很方便,但重要的是要意识到它们只是用于操作的工具。向量独立于表示本身而存在。这意味着矢量计算的结果不能依赖于用于计算的坐标系,这一事实在圆周运动、相对论和后来的物理学中非常有用。