推导开普勒定律

开普勒定律描述的是物体在中心的平方反力作用下的运动。为了简单起见，我们考虑太阳系中行星围绕太阳的运动，地心引力是中心力。除此之外，开普勒定律允许人们预测任何给定时间内行星的位置和速度，卫星坍塌到行星表面的时间，以及行星轨道的周期作为其轨道几何形状的函数。虽然这些定律最初是由开普勒在仔细分析了经验数据后得出的，但直到牛顿将每个定律作为他的轨道力学的一部分推导出来，才有了完整的理解。在他的足迹中，我们将依次获得每一个定律，当我们考虑行星在大质量恒星引力作用下的轨道时。

开普勒行星运动定律表明

• 行星以太阳为焦点的椭圆轨道绕太阳运行。
• 连接行星和太阳的线段在相同的时间间隔内扫过相同的区域，即 $int r^2 d\theta \sim Lt$,在那里 $L$是一个常数。
• 行星运行周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比，即: $T ^ 2 \ propto r ^ 3。$

在这里，我们列出了轨道力学的基本假设:

• 就像太阳，有质量 $默多特$它的运动基本上不受行星引力的影响。
• 太阳的引力作用于太阳和给定行星之间的直线( $F$配合 $r \帽子{}$)因此，行星的运动被限制在二维平面内。
• 我们假设与空间尘埃的碰撞和其他能量耗散方法可以忽略不计，因此机械能 $E$是一个守恒量。

描述行星运动的中心微分方程可以写成

$m \ ddot vec {r}} {\ = - G \压裂{M_ \ textrm{太阳}m} {r ^ 2} {r} \的帽子。$

这是二维向量方程。左边描述了物体的运动学，物体相对太阳的位置是 $\向量{r}$，右手边描述重力，它依赖于分离 $\向量{r}$只是通过它的大小的平方。

虽然这个问题可以在极坐标中用单位半径向量直接解决 $r \帽子{}$，以及绕太阳的角度， $\hat{\theta}$，它要求我们跟踪一些棘手的无穷小量。为了避免这种不必要的复杂性，我们转换到笛卡尔坐标系来计算导数。

首先，将问题部分地重新表达在 $\左（x，y\右）$坐标系统。请注意, $\因为$和 $罪\$角度 $\西塔$是由 $\分形{x}{r}$和 $r \压裂{y} {},$分别。我们在形式中重铸了中心方程

$\{对齐}开始m \ ddot {x} & = - g \压裂{M_ \ textrm{太阳}m} {r ^ 2} \ cosθ\ \ \ m \ ddot {y} & = - g \压裂{M_ \ textrm{太阳}m} {r ^ 2} \罪\θ。结束\{对齐}$

我们需要求它的二阶导数 $x$和 $Y$用极坐标表示。

对于 $x$，我们有

${begin{aligned} dot{x} &= dot{r} cos - r} dot{θ} sin - r} dot{θ} sin - r} dot{θ}^2 cos - r} dot{θ} sin。结束\{对齐}$

对于 $Y$，我们有

$\开始{aligned}\dot{y}&=\dot{r}\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\theta\\\ddot{y}&=\ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin theta+r\ddot{\theta}\cos\theta.\end{aligned}$

我们现在用两种不同的方法得到极坐标系下的轨道方程。

首先，我们乘 $\ ddot {x}$通过 $\ \因为θ$, $\ ddot {y}$通过 $罪\ \θ$，并添加它们。

从中心方程，我们得到

$\ ddot {x} \ cosθ+ \ \ ddot {y} \罪\θ= -GM_ \ textrm{太阳}\离开(罪\ cos ^ 2 \θ+ \ ^ 2θ\ \)\压裂{1}{r ^ 2} = -GM_ \ textrm{太阳}\压裂{1}{r ^ 2}。$

根据笛卡尔坐标系和极坐标系之间的导数恒等式，我们得到

${对齐}\ \开始ddot {x} \ cosθ+ \ \ ddot {y} \罪\θ= & \ ddot {r} \ cos ^ 2 \θ2 \点{r} \点{\θ}\ cosθ\ \罪\θ- r \点{\θ}^ 2 \ cos ^ 2 \θ- r \ ddot{\θ}\ cosθ\ \罪\θ\ \ & + \ ddot {r} \罪^ 2θ+ 2 \ \点{r} \点{\θ}\ sinθ\ \因为\θ- r \点{\θ}^ 2 \罪^ 2 \θ+ r \ ddot{\θ}\ sinθ\ \因为\θ。结束\{对齐}$

我们看到每个学期都有 $\sin\theta\cos\theta$消去，剩下

$\ ddot {x} \ cosθ+ \ \ ddot {y} \罪\θ= \ ddot {r} - r \点{\θ}^ 2。$

利用中心方程的结果，我们得到

$左(\ \盒装{\ ddot {r} - r \点{\θ}^ 2 \右)= -GM_ \ textrm{太阳}\压裂{1}{r ^ 2}}。$

我们注意到，如果我们坚持 $R$是恒定不变的 $\ddot{r}$等于零，这就是圆轨道的方程，考虑到 $R$变换将我们的问题扩展到更一般的轨道，如椭圆和双曲线。

如果我们能成倍增长 $\ ddot {x}$通过 $罪\ \θ$, $\ ddot {y}$通过 $\ \因为θ$，把方程相减，就得到

$r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=0。$

如果我们把这个方程乘以 $R$,我们发现 $r^2\ddot{\theta}+2r\dot{r}\dot{\theta}=0$.然而，这只是时间的导数 $r ^ 2 \点{\θ}$，我们已经展示了

$\frac{d}{dt}r^2\dot{\theta}=0。$

但是 $mr^2\dot{\theta}$是行星的角动量。因此，行星的角动量是守恒的。

这个结果有些平淡无奇。首先，引力沿着太阳和行星之间的位移矢量作用，因此系统上没有力矩，角动量必须守恒。在更深层次上，如果我们写下系统的哈密顿量，我们会发现它与 $\西塔$，以及与之相关的动量 $\西塔$必须是运动的常数。

如果我们对这个方程对时间积分，我们会发现 $mr^2\dot{\theta}=L，$哪里 $L$是一个常数，再积分一次，我们会发现

${begin{aligned} \int ldt &= m\int r^2 \frac{d\theta}{dt} dt\ &= m\int_{theta_i}^{theta_f} r^2 d\theta。结束\{对齐}$

积分 $int r^2 d$是从太阳到行星的径向矢量扫过的面积 $\ theta_i$到 $\ theta_f$.然而，结果是独立的 $\ theta_i$和 $\ theta_f$，但这只取决于 $T$因为角动量是恒定的。

因此，我们导出了开普勒第二定律，即轨道段以相等的时间间隔扫过相等的区域：

$r^2 d\theta = \frac{Lt}{2m}}。$

某颗行星在近日点的速度是 $v_p$在这个位置，太阳到行星的距离是 $r_p$．联系 $\ {r_p, v_p \}$在远日点对应的量 $\{r_a，v_a\}$．

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近日点的角动量的大小是 $L_p = m_pr_pv_p$因为 $r_p$和 $v_p$是相互垂直的。同样的, $L_a = m_pr_av_a$．利用角动量守恒，

$m_pr_pv_p = m_pr_av_a \ Rightarrow r_pv_p = r_av_a \ Rightarrow \ dfrac {v_p} {v_a} = \ dfrac {r_a} {r_p}。$

为了取得进展，我们需要解决我们的中心方程 $R$．我们有

$\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-GM\frac{1}{r^2}。$

如果我们做代换，微分方程就容易解了 $r \ rightarrow u ^ {1}$．我们有

$\开始{对齐}\压裂{博士}{dt} & = - u ^{2} \压裂{du} {dt} \ \ & = - u ^{2} \压裂{du}{θd \} \压裂Lu ^ {2} {m } \\ &= -\ 压裂{L} {m} \压裂{du} {d \θ}。结束\{对齐}$

此外,我们有

$\{{{{对齐}}{{{对齐}{{{{{}}}}{{{{对齐}}}{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{对齐}}{{{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}u}{d\theta^2}.\end{aligned}$

有了这个恒等式，我们的中心方程

$-\左（\frac{L}{m}\右）^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}-\left（\frac{L}{m}\右）^2u^3=-GMu^2，$

这就变成了

$- frac{d^2u}{d\theta^2} + frac{GMm^2}{L^2} = u，$

哪一个有简单的解决方案 $u=A\cos\left（\theta+\delta\right）+\frac{GMm^2}{L^2}$．

我们可以定义坐标，这样 $\增量=0$，因此我们在后面的讨论中将它设为零。

而言, $r(\θ)$，我们有

${对齐}r & = \ \开始压裂{1}{\ cosθ+ \ \压裂{GMm ^ 2} {L ^ 2 }} \\ &= \ 压裂{1}{\压裂{GMm ^ 2} {L ^ 2} \离开(e \ cosθ+ 1 \ \右)}。结束\{对齐}$

请注意，在上面的一行中，我们进行了有用的替换 $e \ Rightarrow \ dfrac AL ^ {2} {GMm ^ 2}$．

从这种形式的 $R$时，很明显，远日点和近日点(离太阳最远和最近的点)分别为

$r_ \文本{马克斯}= \ dfrac {1} {\ dfrac {GMm ^ 2} {L ^ 2} \离开(1 - e \右)},{分钟}\四r_ \文本= \ dfrac {1} {\ dfrac {GMm ^ 2} {L ^ 2} \离开(1 + e \右)}。$

半长轴为

$\盒装{= \ dfrac12 \离开文本(r_ \{分钟}+ r_ \文本{马克斯}\右)= \ dfrac {L ^ 2} {GMm ^ 2} \离开(单电子^ 2 \右)^{1}}。$

我们看到，轨道由开普勒从布拉赫的数据集中发现的椭圆给出 $r_ \文本{分钟}$和 $r\uText{max}$是距离太阳的距离，我们看到太阳在轨道的一个焦点上。这样，我们就推导出了开普勒第一定律。

$r \ sim \离开(1 + e \ cosθ\ \右)^ {1}$是极坐标系中椭圆的一般形式，原点位于焦点处。在椭圆研究中，参数 $E$通常被称为怪癖。当行星轨道的偏心率为零时，轨道是完美的圆形。作为 $E$接近1时，轨道被拉伸成更长的椭圆轨道。为了展示这一特征，我们在下面绘制了几个偏心率值的轨道图， $E$．

$\text{增加偏心率的轨道图}，e$

如果 $e\geq 1$?

如果在表达式中 $r^2d\theta = Lt/m$我们沿着轨道绕太阳一周， $t =$径向向量扫出的面积就是椭圆轨道的面积， $= 2 \πab$在这里 $A.$和 $B$是椭圆轨道的半长轴和半短轴。

从for的表达式中 $A.$由上可知，角动量的平方等于椭圆轨道的半长轴乘以某个常数， $L ^ 2 \ propto$．这是我们获得第三定律所需要的关键信息。

使两边成直角 $\displaystyle\int_\text{path} r^2\theta = LT/m = 2\pi ab$，我们有 $L ^ 2 t ^ 2 \ propto a ^ 2 ^ 2$.现在， $A.$和 $B$因为它们都是固定椭圆轨道的线性维度，所以它们是成比例的，所以我们有 $L ^ 2 t ^ 2 \ propto ^ 4$．

最后，我们展示了 $L ^ 2 \ propto$，所以我们有 $T ^ 2 \ propto ^ 3$，这是开普勒第三定律。

如果我们在上述分析中做更仔细的记录，我们可以得到 $4 \ \ dfrac{π^{2}}{通用}$，以得到第三定律的准确表述:

$\装箱的{\displaystyle T^2=\frac{4\pi^{2}}{GM}a^3}。$

请注意，这个定律适用于所有椭圆轨道，而不管它们的偏心度如何。