对数函数的导数gydF4y2Ba

对数函数的导数gydF4y2Ba主要是基于gydF4y2Ba链式法则gydF4y2Ba．但是，我们可以将它推广到任何对数函数的可微函数。对数的微分只在底下gydF4y2Ba $e,gydF4y2Ba$但我们也可以在其他底下求导。gydF4y2Ba

$\frac{d}{dx} \ln {x} = \frac{1}{x}gydF4y2Ba$

现在我们用基本原理来证明gydF4y2Ba

从第一原理,gydF4y2Ba $d \压裂{}{dx} f (x) = \ displaystyle \ lim_ h \ rightarrow {0} {\ dfrac {f (x + h) - f (x)} {h}}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

现在我们gydF4y2Ba $f (x) = \ ln {x},gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba

$文本\开始{对齐}\ dfrac {\ d {}} {x文本\ d {}} f (x) & = \ lim_ h \ rightarrow {0} {\ dfrac {\ ln (x + h) - \ ln {x}} {h }} \\ & = \ h \ rightarrow lim_ {0} {\ dfrac{\压裂{x} {h} \ ln \离开(1 + \压裂{h} {x} \右)}{x } } \\ & = \ h \ rightarrow lim_ {0} {\ dfrac {\ ln{\离开(1 + \压裂{h} {x} \右)^{\压裂{x} {h}}}} {x }} \\ & = \ h \ rightarrow lim_ {0} {\ dfrac {\ ln {e}} {x }} \\ & = \ dfrac {1} {x}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

求导数gydF4y2Ba $\ ln {x}gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $x = 2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba

$文本\ dfrac {\ d{}}{\文字d} {x} \ ln {x} = \ dfrac {1} {x}。gydF4y2Ba$

因此gydF4y2Ba

$文本\ dfrac {\ d{}}{\文字d} {x} \ lnx \境| _ {x = 2} = \ dfrac{1}{2}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

区分gydF4y2Ba $\ ln 5 xgydF4y2Ba$

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解决方案1:gydF4y2Ba用链式法则。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $F (x) = \ln xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $g (x) = 5 xgydF4y2Ba$．然后我们被要求去寻找gydF4y2Ba $(f \circ g) 'gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

用链式法则，我们知道gydF4y2Ba $(f \circ g) '＝（f' \circ g) \times g' .$

自gydF4y2Ba $F ' \circ g = \frac{1}{5x}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $g’(x) = 5,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $(f \circ g) '＝\frac{1}{5x} \times 5 = \frac{1}{x}.\ _\square$

解决方案2:gydF4y2Ba利用对数的性质。gydF4y2Ba

我们知道对数的性质gydF4y2Ba $\log_a b + \log_a c = \log_a BCgydF4y2Ba$．使用这个属性,gydF4y2Ba

$\ln 5x = \ln x + \ln 5。gydF4y2Ba$

如果我们对两边求导，我们会看到gydF4y2Ba

$文本\ dfrac {\ d{}}{\文字d} {x} \ ln 5 x = \ dfrac{文本\ d{}}{\文字d} {x} \ ln xgydF4y2Ba$

由于分化gydF4y2Ba $\ ln 5gydF4y2Ba$哪个是常数gydF4y2Ba $0.gydF4y2Ba$

我们已经看到了gydF4y2Ba $\frac{\text{d}}{\text{d}x} \ln x = \frac{1}{x}gydF4y2Ba$，这就是这个问题的答案。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

概括:gydF4y2Ba对于任何正实数gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$，我们可以得出结论gydF4y2Ba $\frac{\text{d}}{\text{d}x} \ln px = \frac{1}{x}gydF4y2Ba$．注意导数是独立的gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$．这可以用文字来证明gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$而不是gydF4y2Ba $5gydF4y2Ba$在上述解中。gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是正实数和吗gydF4y2Ba $\ neq 1gydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba

$文本\ dfrac {\ d{}}{\文字d} {x} \ log_{一}{x} = \ dfrac {1} {x \ ln{一}}。gydF4y2Ba$

我们将使用gydF4y2Babase-changing公式gydF4y2Ba将对数的底改为gydF4y2Ba $艾凡:gydF4y2Ba$

$\ log_{一}{x} = \ dfrac {\ ln {x}} {\ ln{一}}\ \ \ dfrac{文本\ d{}}{\文字d} {x} \ log_{一}x = \ dfrac{文本\ d{}}{\文字d} {x} \ dfrac {\ ln {x}} {\ ln{一}}。gydF4y2Ba$

自gydF4y2Ba $\压裂{1}{\ ln{一}}gydF4y2Ba$是一个常数,gydF4y2Ba

$文本\ dfrac {\ d{}}{\文字d} {x} \ dfrac {\ lnx} {\ ln} = \ dfrac {1} {\ ln} \ dfrac{文本\ d {}} {x文本\ d {}} \ ln x = \ dfrac {1} {x \ ln{一}}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

对于任何其他类型的对数导数，我们使用变基公式。gydF4y2Ba

因为这是一个复合函数，我们可以用gydF4y2Ba链式法则gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

$文本\ dfrac {\ d{}}{\文字d} {x} \ ln \大(f (x) \大)= \ dfrac {f (x)} {f (x)}gydF4y2Ba$

现在我们开始gydF4y2Ba $G (x) = \ln \大(f(x)\大)。gydF4y2Ba$为了求它的导数，我们要代入gydF4y2Ba $u = f (x)。gydF4y2Ba$现在导数变成gydF4y2Ba $g (x) ={你}\日志。gydF4y2Ba$所以,gydF4y2Ba

$\{对齐}开始g’(x) & = \压裂{d} {dx} \ log{你}\ \ & = \压裂{du} {dx} \ * \压裂{d} {du} \ ln{你}\ \ & = \ dfrac {f (x)} {f (x)}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

求导数gydF4y2Ba $\ ln (x ^ 2 + 4)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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利用定理，求导gydF4y2Ba $\ ln \大(f (x) \大)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\压裂{f (x)} {f (x)}gydF4y2Ba$．在这个问题上,gydF4y2Ba $F (x) = x²+4，gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $f (x) = 2 xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

因此gydF4y2Ba $d \压裂{}{dx} \ log \大(x ^ 2 + 4 \大)= \压裂{2 x} {x ^ 2 + 4}。\ _ \广场gydF4y2Ba$