让
D(n)为的失调数
n那么,不同的对象
Dn=n!r=0∑nr!(−1)r.
让它存在吧
n不同的对象
n各自立场鲜明。那么无序数是
n!−N,在哪里
N是数的排列方式吗
n物体以这样的方式使至少一个物体到达它的正确位置。
找到
N,使用<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/principle-of-inclusion-and-exclusion-generalized/">派.
让
一个r是排列的集合,其中
rth物体回到正确的位置。我们的目标是找到
N=∣∣∣∣∣r=1⋃n一个r∣∣∣∣∣.
观察到
∣一个我∣=(n−1)!,
∣一个我∩一个j∣=(n−2)!,等等。
然后
我∑∣一个我∣=(1n)(n−1)!,
我<j∑∣一个我∩一个j∣=(2n)(n−2)!,等等。
现在,使用PIE,
N=∣∣∣∣∣r=1⋃n一个r∣∣∣∣∣=∑∣一个我1∣−我<j∑∣一个我∩一个j∣+⋯+(−1)n+1∣∣一个1∩一个2∩...∩一个n∣∣=r=1∑n(−1)r+1(rn)(n−r)!=r=1∑n(−1)r+1r!n!.
因此,失序数为
Dn=n!−N=n!−r=1∑n(−1)r+1r!n!=n!r=0∑nr!(−1)r.□
上面的公式可以递归重写为
D(n)=nD(n−1)+(−1)n.
你可以用多少种不同的方式重新排列MONKEY这个单词中的字母,使得新的排列中的字母与原来的单词中的字母不相同?(也就是说,NOKEYM将不起作用,因为O将在与MONKEY相同的位置。)
要了解更多的排列测试,请查看我的其他问题。
请注意,
n!Dn是
nth的部分和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数"t一个rget="_blank">泰勒级数为
ex评估在
x=−1,所以
n→∞limn!Dn=e1.
所以,对于大的
n的概率
n对象是一个大致错乱的
e1.
事实上,对于任何正整数
n,
Dn=[en!],方括号是最接近的整数函数。
这是另一个递归公式
D(n):
D(n)=(n−1)(D(n−1)+D(n−2)).
让
一个,b,c,...,n是
n具有各自容器的不同对象
一个,B,C,...,N,假设
一个进入
B.那么就会产生以下两种情况:
案例1:当
b去
一个:
离开了
一个而且
b,有一些错乱
n−2对象:
D(n−2).
案例2:当
b转到任何其他容器:
离开了
一个,这些的数量和的失调的数量是一样的
n−1对象
(包括
b):D(n−1).
(如果
c去
B在混乱中
n−1对象,这对应于的错乱
n对象的地方
c去
一个而且
一个去
B.)
因此,总数为
D(n−1)+D(n−2).
但最初的假设是
一个去
B.有
n−1选择
B,所以
D(n)=(n−1)(D(n−1)+D(n−2)).□