定积分
已经有账户了?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/definite-integrals/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">日志在这里。一个>
有关……
一个<年代trong>定积分年代trong>是正式计算面积下的一个函数,使用<年代trong>无限小的条或条纹年代trong>的地区。积分可以表示区域的(带符号的)面积,函数随时间变化的累积值,或给定密度的项的数量。它们最初是由<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">7年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">th年代p一个n>年代p一个n>世纪数学家<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/isaac-newton/" class="wiki_link" title="艾萨克·牛顿gydF4y2Ba" target="_blank">艾萨克·牛顿一个>戈特弗里德·利布尼茨(Gottfried Liebniz)独立开发了自己的集成系统。现代的符号遵循了李布尼茨的注释,并给出了一个实值函数<年代p一个nclass="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>和实数<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">b年代p一个n>年代p一个n>,则定积分为
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
这个值表示函数之间带符号的区域<年代p一个nclass="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>轴和直线<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">;年代p一个n>年代p一个n>上方区域<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>-轴为正面积,而<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>-轴的面积是负的。
gydF4y2Ba定积分有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="不定式gydF4y2Ba" target="_blank">不定式一个>这也是它的偏倒数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/differentiation/" class="wiki_link" title="分化gydF4y2Ba" target="_blank">分化一个>.就像微分测量一个函数的增量变化一样,一个明确的积分试图“取消”它。所以积分关注的是聚合而不是变化。
gydF4y2Ba定积分在经济学中很有用,<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/economics/quantitative-finance/">金融一个>,<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/physics/">物理一个>和工程。例如,边际成本与成本成正比,收益率与总收入成正比,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/instantaneous-velocity/" class="wiki_link" title="速度gydF4y2Ba" target="_blank">速度一个>累积距离,和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/density/" class="wiki_link" title="密度gydF4y2Ba" target="_blank">密度一个>归卷。定积分也被用来对函数进行运算:计算<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arc-length/" class="wiki_link" title="弧长gydF4y2Ba" target="_blank">弧长一个>,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/volume-of-revolution/" class="wiki_link" title="卷gydF4y2Ba" target="_blank">卷一个>,表面积等等。线积分,面积分<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/countour-integration/" class="wiki_link" title="线积分gydF4y2Ba" target="_blank">线积分一个>是广义环境下的定积分的例子。
定义
最初的定义是由Bernhard Riemann给出的,将面积表示为无限多个垂直方向的矩形的组合,这种技术被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-sums/" class="wiki_link" title="黎曼和gydF4y2Ba" target="_blank">黎曼和一个>.这个定义的一个好处是它在视觉上很直观。
<年代p一个nclass="image-caption center">
一个积分由三项信息组成:极限、被积函数和微分:
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
的限制<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>,被积函数是<年代p一个nclass="katex"> f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>,差别是<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>.的<年代trong>集成的极限年代trong>给出关于集成发生的位置的信息,以及<年代trong>间隔的集成年代trong>是时间间隔<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>由这些限制决定的。的<年代trong>被积函数年代trong>给出了关于区域形状的信息,并表示了黎曼和中每个矩形的高度。的<年代trong>微分年代trong>给出关于被积函数使用的变量的信息,并表示黎曼和中每个矩形的宽度。
gydF4y2Ba由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fundamental-theorem-of-calculus/" class="wiki_link" title="微积分基本定理gydF4y2Ba" target="_blank">微积分基本定理一个>,给定一个函数<年代p一个nclass="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>在区间上定义<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>与<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="不定积分gydF4y2Ba" target="_blank">不定积分一个><年代p一个nclass="katex"> F年代p一个n>年代p一个n>,
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">F年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">F年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
这将积分语言从纯粹的几何转换为可以用各种方式操作的结构化代数结构。
属性
积分是微积分的基本工具之一,它的许多性质来自于坐标平面的几何性质、泛函的定义以及积分与导数的关系。积分也有一个代数解释,它允许非常有用的技术,比如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/u-substitution/" class="wiki_link" title="替换gydF4y2Ba" target="_blank"> u年代p一个n>年代p一个n>替换一个>这对于许多类型的积分求值(以及下面许多性质的证明!)是必需的。
<年代p一个nclass="image-caption center">
一些性质给出了关于极限的信息。
gydF4y2Ba的时间间隔<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>按照惯例是写成<年代p一个nclass="katex"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>.当颠倒的顺序<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>,积分将极限解释为一个“负”区间:
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">b年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
正如沿着实线的区间可以分割一样,积分区间也可以根据几何直观进行分割。对于任何价值<年代p一个nclass="katex"> c年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>,
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>c年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">c年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
事实上,前面的属性允许<年代p一个nclass="katex"> c年代p一个n>年代p一个n>不冒模棱两可的风险去获取任何价值。
gydF4y2Ba当这个函数<年代p一个nclass="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>分段定义在<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>时,可将积分区间分割成若干子区间,使函数在每个子区间内都是连续的,且易于定义。
评估<年代p一个nclass="katex"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">]年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">[年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>]年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">[年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">]年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>7年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
一些性质给出了关于被积函数的信息。
gydF4y2Ba作为算子,积分是线性的。也就是说,对于任何实数<年代p一个nclass="katex"> c年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n>年代p一个n>和功能<年代p一个nclass="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n>年代p一个n>,
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>c年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
积分可以用黎曼和从左边求和来计算,就像用黎曼和从右边求和来计算一样简单。从代数上讲,这等价于说
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
让<年代p一个nclass="katex"> 我年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>同时,让<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⟹年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>然后
<年代p一个nclass="katex-display"> 我年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">b年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">属性2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>
评估<年代p一个nclass="katex"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
使用
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> 我年代p一个n>年代p一个n>⇒年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.07847em;">我年代p一个n>年代p一个n>⇒年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">我年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">床年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">床年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">6年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
类似地,积分可以通过同时从左边和右边计算面积(并在中间停止)来计算:
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose mtight">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
为一个整数<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>、评估<年代p一个nclass="katex"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n>年代p一个n>e年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> 我年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n>年代p一个n>e年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n>年代p一个n>e年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">e年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose mtight">)年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>]年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>e年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">因为年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>]年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
因此,对所有人来说<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/even-and-odd-functions/" class="wiki_link" title="奇怪的函数gydF4y2Ba" target="_blank">奇怪的函数一个><年代p一个nclass="katex"> f年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>我们有<年代p一个nclass="katex"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">一个年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>.
gydF4y2Ba其他性质给出了如何改变被积函数的信息。改变积分变量对积分值没有影响:
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
事实上,一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/u-substitution/" class="wiki_link" title="替换gydF4y2Ba" target="_blank"> u年代p一个n>年代p一个n>替换一个><年代p一个nclass="katex"> u年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>可以变换积分吗<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n>年代p一个n>是可微的,<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>是在区间内定义的<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个nclass="katex"> t年代p一个n><年代p一个nclass="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">u年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">′年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose mtight">)年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mord sizing reset-size3 size6 mtight">(年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mopen mtight">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose mtight">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord sizing reset-size3 size6 mtight">)年代p一个n>年代p一个n>对于所有存在<年代p一个nclass="katex"> u年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:年代p一个n>年代p一个n>
∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen mtight">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mclose mtight">)年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen mtight">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose mtight">)年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">′年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">u年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mord">(年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">u年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">u年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
注意,例如,前一小节中的一个属性遵循<年代p一个nclass="katex"> u年代p一个n>年代p一个n>替换<年代p一个nclass="katex"> u年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n>年代p一个n>.
<年代p一个nclass="katex-display"> 最后,比较了不同积分值的性质。其中许多扩展了把积分看作是一种求和的直觉。
gydF4y2Ba如果<年代p一个nclass="katex"> f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>在<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>,然后
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
这个性质与积分作为面积度量的概念是一致的。
gydF4y2Ba这两个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cauchy-schwarz-inequality/" class="wiki_link" title="cauchy - schwarz不平等gydF4y2Ba" target="_blank">cauchy - schwarz不平等一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/holders-inequality/" class="wiki_link" title="持有人不平等gydF4y2Ba" target="_blank">持有人不平等一个>对积分和求和都适用。例如,积分的Cauchy-Schwarz不等式表示
<年代p一个nclass="katex-display"> (年代p一个n>年代p一个n>∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n>年代p一个n>∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n>年代p一个n>∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
闵可夫斯基不等式,是发展实数分析和积分理论的关键,说明了对任何实数<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>
(年代p一个n>年代p一个n>∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>p年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">p年代p一个n>年代p一个n>≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n>年代p一个n>∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>p年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">p年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n>年代p一个n>∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>p年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">p年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
不同类型的积分
正如一个定积分可以在一个有有限极限的区间上,它也可以在实线的任何区间上定义——包括那些有无限极限的区间。对于任何实数<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>和功能<年代p一个nclass="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>,
<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
形式的间隔<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n><年代p一个nclass="mord">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∞年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>可以同样定义。这些被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/improper-integrals/" class="wiki_link" title="反常积分gydF4y2Ba" target="_blank">反常积分一个>.
gydF4y2Ba对于多变量函数,除了单变量积分外,还有线积分和轮廓积分。一个<年代trong>线积分年代trong>是一个函数<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>它可以在曲线上积分<年代p一个nclass="katex"> γ年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>从<年代p一个nclass="katex"> t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n>年代p一个n>来<年代p一个nclass="katex"> t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">b年代p一个n>年代p一个n>.它等于
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曲面积分类似于线积分-但对于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分gydF4y2Ba" target="_blank">二重积分一个>.为了在多个维度上进行积分(比如一个曲面),积分可以彼此嵌套。
gydF4y2Ba也有对复数和更奇异的数域进行积分的方法。测度理论将积分区间的概念扩展到满足参数集合的任何集合。它还提供了一种定义不同积分方法的方法,而不是黎曼提出的方法,允许在更广义的集合上积分(例如,函数的向量空间)。
集成的方法
大量的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/" class="wiki_link" title="集成技巧gydF4y2Ba" target="_blank">集成技巧一个>精确求定积分的存在,但仍然存在许多用初等数学函数表示的不封闭形式的积分。例如,积分
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没有数值方法可能无法计算。
gydF4y2Ba有许多数值方法可以精确地逼近积分,但它们的效率完全取决于所讨论的函数和区间。在可能的情况下,最好进行精确的计算。
gydF4y2Ba部分<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-sums/" class="wiki_link" title="黎曼和gydF4y2Ba" target="_blank">黎曼和一个>,
gydF4y2Ba确定定积分的良好逼近是数值分析的主要目的之一。
另请参阅
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