阻尼谐振子
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- 经典力学年代pan>>年代pan>
阻尼谐振子年代trong>振动系统的振幅随时间而减小。由于几乎所有的物理系统都涉及诸如空气阻力、摩擦力和分子间作用力等因素,其中系统中的能量会因热量或声音而损失,因此在实际的振荡系统中,阻尼的计算是很重要的。阻尼谐波振荡器的示例包括任何真实的振动系统,如溜溜球、时钟摆或吉他弦:在开始溜溜球、时钟或吉他弦振动后,振动会随着时间的推移而减慢并停止,这与通常的音量或振幅衰减相对应。
在数学上,阻尼系统的典型模型是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/simple-harmonic-motion-problem-solving/" class="wiki_link" title="简单谐振子gydF4y2B一个" target="_blank">简单谐振子一个>与<年代trong>粘性阻尼年代trong>力,它与系统的速度成正比,可以很容易地解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/newtons-second-law/" class="wiki_link" title="牛顿第二定律gydF4y2B一个" target="_blank">牛顿第二定律一个>在封闭的形式。这些都是二阶<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ordinary-differential-equations/" class="wiki_link" title="常微分方程gydF4y2B一个" target="_blank">常微分方程一个>其中包括一个与振幅的一阶导数成比例的项。如下所述,比例的大小描述了阻尼振荡器的振动衰减到零的速度。
阻尼力的指数衰减
阻尼力通常是由于振动系统通过流体(如空气或水)的运动,其中流体分子之间的相互作用(如空气阻力)变得重要。在非湍流流体的低速时,谐振子的阻尼可以很好地用粘性阻尼力来描述<年代pan class="katex">
F年代pan>d年代pan>=年代pan>−年代pan>b年代pan>x年代pan>˙年代pan>.把这一项加到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/simple-harmonic-oscillator/" class="wiki_link" title="简单谐振子gydF4y2B一个" target="_blank">简单谐振子一个>方程给出的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hookes-law/" class="wiki_link" title="胡克定律gydF4y2B一个" target="_blank">胡克定律一个>给出了粘性阻尼简谐振子的运动方程。
米年代pan>x年代pan>¨年代pan>+年代pan>b年代pan>x年代pan>˙年代pan>+年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>x年代pan>=年代pan>0年代pan>,年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
b年代pan>一个常数有时被称为<年代trong>阻尼常数年代trong>.
解应该是在某种形式的阻尼包络内的振荡。Ansatz指数阻尼包络线:
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>−年代pan>g年代pan>t年代pan>e年代pan>我年代pan>一个年代pan>t年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>t年代pan>(年代pan>一个年代pan>我年代pan>−年代pan>g年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>r年代pan>t年代pan>.年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
一个年代pan>是某个常数<年代pan class="katex">
r年代pan>=年代pan>一个年代pan>我年代pan>−年代pan>g年代pan>将会被发现。将这个ansatz代入运动收益方程:
(年代pan>米年代pan>r年代pan>2年代pan>+年代pan>b年代pan>r年代pan>+年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>)年代pan>一个年代pan>e年代pan>r年代pan>t年代pan>=年代pan>0年代pan>⟹年代pan>r年代pan>2年代pan>+年代pan>米年代pan>b年代pan>r年代pan>+年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>=年代pan>0年代pan>,年代pan> 哪一个是二次方程<年代pan class="katex">
r年代pan>解决方案:
r年代pan>=年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>±年代pan>我年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
.年代pan> 注意这里有两个根<年代pan class="katex">
r年代pan>只要虚部非零,就可以得到二次方程的两个通解:
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>e年代pan>我年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
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t年代pan>.年代pan> 这些解通常描述频率处的振荡<年代pan class="katex">
ω年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
在振幅随时间变化的衰减包络内<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>.
取决于<年代pan class="katex">
米年代pan>,<年代pan class="katex">
公斤ydF4y2B一个年代pan>和<年代pan class="katex">
γ年代pan>,解决方案表现出不同类型的行为:
b年代pan>2年代pan><年代pan>4年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>:<年代trong>欠阻尼年代trong> 欠阻尼解随上述频率和衰减包络迅速振荡。对于阻尼常数很小的物体(如制作精良的音叉),振动频率非常接近无阻尼<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/natural-frequency/" class="wiki_link" title="固有频率gydF4y2B一个" target="_blank">固有频率一个><年代pan class="katex">
ω年代pan>0年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>
.
b年代pan>2年代pan>=年代pan>4年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>:<年代trong>临界阻尼年代trong> 这种情况对应于频率的消失<年代pan class="katex">
米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
如前所述。在这种阻尼水平下,解决方案<年代pan class="katex">
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>最快接近零的稳态振幅。当溶液在阻尼流体中缓慢移动时,较大的阻尼(参见过阻尼)会导致溶液更缓慢地接近零,而较小的阻尼会导致溶液在零附近更快地振荡。值得注意的是,临界阻尼下的解不会振荡。
如果频率<年代pan class="katex">
米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
则两个线性无关解为:
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>+年代pan>B年代pan>t年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>.年代pan>
b年代pan>2年代pan>>年代pan>4年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>:<年代trong>过阻尼年代trong> 在过阻尼情况下,频率<年代pan class="katex">
ω年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
变得虚。因此,振荡项<年代pan class="katex">
e年代pan>我年代pan>ω年代pan>t年代pan>和<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>我年代pan>ω年代pan>t年代pan>变成增长和衰减的指数<年代pan class="katex">
e年代pan>∣年代pan>ω年代pan>∣年代pan>t年代pan>和<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>∣年代pan>ω年代pan>∣年代pan>t年代pan>.过阻尼解不会振荡,而是缓慢地向平衡方向衰减。
一个<年代pan class="katex">
2年代pan>公斤年代pan>附在弹簧常数上的质量<年代pan class="katex">
公斤ydF4y2B一个年代pan>=年代pan>1年代pan>0年代pan>N年代pan>/年代pan>米年代pan>在施加阻尼力的流体中振荡<年代pan class="katex">
F年代pan>d年代pan>=年代pan>−年代pan>(年代pan>4年代pan>N年代pan>⋅年代pan>年代年代pan>/年代pan>米年代pan>)年代pan>v年代pan>在弥撒上,在哪里<年代pan class="katex">
v年代pan>是物体的速度。下列哪项正确地描述了系统的振荡行为?
指数衰减的振幅衰减
考虑欠阻尼谐振子的运动方程:
x年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>一个年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>e年代pan>我年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan> t年代pan>+年代pan>B年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>e年代pan>−年代pan>我年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan> t年代pan>.年代pan>
该解描述了指数衰减包络线包络线内的快速振荡。临界阻尼和过阻尼谐振子的振幅类似地呈指数衰减。
在整个物理和工程文献中,有几个参数被用来描述阻尼谐振子的振幅如何随时间衰减。数学上最直接的参数是<年代trong>
1年代pan>/年代pan>e年代pan>衰减时间年代trong>,通常表示为<年代pan class="katex">
τ年代pan>.假设一个阻尼谐振子从振幅开始<年代pan class="katex">
x年代pan>0年代pan>;则阻尼包络的幅值为<年代pan class="katex">
x年代pan>0年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>. 这个<年代pan class="katex">
1年代pan>/年代pan>e年代pan>衰减时间定义为时间<年代pan class="katex">
τ年代pan>其振幅已降至<年代pan class="katex">
x年代pan>0年代pan>/年代pan>e年代pan>≈年代pan>.年代pan>3.年代pan>6年代pan>8年代pan>x年代pan>0年代pan>。这相当于衰减包络线中的指数取值<年代pan class="katex">
−年代pan>1年代pan>,即:
−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>τ年代pan>=年代pan>−年代pan>1年代pan>⟹年代pan>τ年代pan>=年代pan>b年代pan>2年代pan>米年代pan>.年代pan> 一个<年代pan class="katex">
1年代pan>0年代pan>公斤年代pan>质量附在弹簧常数的弹簧上<年代pan class="katex">
1年代pan>0年代pan>N年代pan>/年代pan>米年代pan>. 这个entire system is submerged in water, which exerts a viscous damping force on the mass<年代pan class="katex">
F年代pan>d年代pan>=年代pan>−年代pan>(年代pan>2年代pan>N年代pan>⋅年代pan>年代年代pan>/年代pan>米年代pan>)年代pan>v年代pan>. 这个米一个年代年代我年代pulled so that the spring is displaced from equilibrium by<年代pan class="katex">
.年代pan>1年代pan>米年代pan>和释放。找到<年代pan class="katex">
1年代pan>/年代pan>e年代pan>振荡的衰减时间,以秒为单位。
一个更复杂的参数是<年代trong>品质因数年代trong>
问年代pan>:
问年代pan>=年代pan>每弧度耗散的能量年代pan>储能年代pan>.年代pan> 作为一种帮助理解和记住名字的助记符,达到了很高的境界 解决方案:
阻尼谐振子中储存的能量为“弹簧势能”:<年代pan class="katex-display">
E年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>一个年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>2年代pan>在哪里<年代pan class="katex">
一个年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>是谐振子的振幅。回顾阻尼谐振子有一个<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>衰减包络,这等于:<年代pan class="katex-display">
E年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>一个年代pan>2年代pan>e年代pan>−年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>=年代pan>E年代pan>0年代pan>e年代pan>−年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>.年代pan> 每弧度耗散的能量为:<年代pan class="katex-display">
Δ年代pan>E年代pan>=年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>d年代pan>t年代pan>d年代pan>E年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>Δ年代pan>t年代pan>,年代pan>与<年代pan class="katex">
Δ年代pan>t年代pan>给定振动一个弧度所需的时间,等于<年代pan class="katex">
ω年代pan>1年代pan>.
导数由下式给出<年代pan class="katex">
d年代pan>t年代pan>d年代pan>E年代pan>=年代pan>−年代pan>米年代pan>b年代pan>E年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>,则耗散的能量为:<年代pan class="katex-display">
Δ年代pan>E年代pan>=年代pan>米年代pan>ω年代pan>b年代pan>E年代pan>,年代pan> 最后质量因素是:<年代pan class="katex-display">
问年代pan>=年代pan>b年代pan>/年代pan>(年代pan>米年代pan>ω年代pan>)年代pan>E年代pan>E年代pan>=年代pan>b年代pan>米年代pan>ω年代pan>,年代pan>在哪里<年代pan class="katex">
ω年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan>
是阻尼谐振子的频率。对于高度欠阻尼系统,<年代pan class="katex">
ω年代pan>≈年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>
质量因素是<年代pan class="katex">
问年代pan>≈年代pan>b年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>
.由此可见,临界阻尼在<年代pan class="katex">
问年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>通过两边的平方和与临界阻尼标准的比较。
在工程文献中,描述阻尼振荡器振幅衰减的最后一个指标是<年代trong>对数递减率年代trong>
δ年代pan>,定义为欠阻尼谐振子的两个连续峰值的振幅比的自然对数。
挑战问题:展示<年代pan class="katex">
δ年代pan>=年代pan>问年代pan>π年代pan>.
需要注意的是,粘性阻尼模型仅适用于某些流体中的分子间作用力。它是
阻尼谐振子的质量因数是什么<年代pan class="katex">
公斤ydF4y2B一个年代pan>,<年代pan class="katex">
米年代pan>和<年代pan class="katex">
b年代pan>?
问题和现象
阻尼谐振子的方程可以模拟物体在沉浸于流体时的振动,也可以模拟更抽象的系统,其中的量在振动时损失能量。阻尼谐振子是许多物理系统的一个很好的模型,因为大多数系统都服从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hookes-law/" class="wiki_link" title="胡克定律gydF4y2B一个" target="_blank">胡克定律一个>当它们在一个平衡点周围受到扰动时,它们也会在衰减到平衡状态时失去能量。这两个条件是满足阻尼谐振子运动方程的充分条件。
证明电感、电容和电阻串联的电路符合阻尼谐振子方程。
解决方案:
根据<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/kirchoffs-voltage-law/" class="wiki_link" title="基尔霍夫定律gydF4y2B一个" target="_blank">基尔霍夫定律一个>,闭合回路中的电压之和必须为零。与上图不同,我们假设电容器已经充电,并且没有外部电压源连接到电路。每个电阻器(电阻)上的电压<年代pan class="katex"> R年代pan>)电容器<年代pan class="katex"> C年代pan>)和电感(电感<年代pan class="katex"> l年代pan>)取决于收费<年代pan class="katex"> 问年代pan>关于电容器和电流<年代pan class="katex"> 我年代pan>在电路中,在哪里<年代pan class="katex"> 我年代pan>=年代pan>−年代pan>d年代pan>t年代pan>d年代pan>问年代pan>如果电容器正在放电:
V年代pan>R年代pan>V年代pan>C年代pan>V年代pan>我年代pan>=年代pan>我年代pan>R年代pan>=年代pan>−年代pan>问年代pan>/年代pan>C年代pan>=年代pan>l年代pan>d年代pan>t年代pan>d年代pan>我年代pan>
注意电容器两端的电压与常规电流的流动相反。如果电压之和为零,<年代pan class="katex"> 我年代pan>=年代pan>−年代pan>d年代pan>t年代pan>d年代pan>问年代pan>=年代pan>问年代pan>˙年代pan>要求:
l年代pan>问年代pan>¨年代pan>+年代pan>R年代pan>问年代pan>˙年代pan>+年代pan>C年代pan>1年代pan>问年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>
电容器上电荷的时间依赖性就像一个阻尼谐振子。这应该是预期的:LC电路是振荡的,从电阻的能量耗散与电流成比例,作为一个阻尼源。
在里面<年代trong>惯性约束聚变年代trong>在美国,强大的紫外线激光对准一个包含氢同位素的小胶囊,迅速压缩氢以诱导聚变。氢聚变靶被安装在由高度灵活的合成聚合物Zylon制成的杆上。尽管这种灵活性可以防止目标折断柄,但它也允许激光击中聚变目标时发生阻尼振荡。振荡使目标的质心发生位移,降低了激光的效率,降低了聚变的机会;因此,我们非常希望(1)达到较高的振动基频,因为这些是不容易激发的;(2)接近临界阻尼,以迅速降低振荡振幅[3]。
(a)氢聚变靶的大部分重量都在塑料的质量中(近似密度)<年代pan class="katex"> ρ年代pan>=年代pan>1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>公斤年代pan>/年代pan>米年代pan>3.年代pan>)它含有氢,氢大约形成一个球体<年代pan class="katex"> 1年代pan>0年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>直径。这个<年代pan class="katex"> 1年代pan>/年代pan>e年代pan>激发目标后的衰减时间约为半秒。假设目标的基频约为,估计Zylon杆的弹簧常数和阻尼常数<年代pan class="katex"> 1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>赫兹年代pan>.
(b)给定前面发现的弹簧常数和阻尼常数,达到临界阻尼所需要的目标质量是多少?
解决方案:
(a) 首先,根据球体体积和塑料密度计算融合目标的质量:<年代pan class="katex-display"> 米年代pan>=年代pan>ρ年代pan>V年代pan>=年代pan>(年代pan>1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>公斤年代pan>/年代pan>米年代pan>3.年代pan>)年代pan>(年代pan>3.年代pan>4年代pan>π年代pan>(年代pan>2年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>)年代pan>3.年代pan>)年代pan>=年代pan>5年代pan>.年代pan>2年代pan>4年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>1年代pan>0年代pan>公斤年代pan>
的<年代pan class="katex"> 1年代pan>/年代pan>e年代pan>衰减时间是<年代pan class="katex"> τ年代pan>=年代pan>b年代pan>2年代pan>米年代pan>.由此得到阻尼常数:
b年代pan>=年代pan>τ年代pan>2年代pan>米年代pan>=年代pan>.年代pan>5年代pan>年代年代pan>2年代pan>(年代pan>5年代pan>.年代pan>2年代pan>4年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>1年代pan>0年代pan>公斤年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>.年代pan>1年代pan>0年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>9年代pan>公斤年代pan>/年代pan>年代年代pan>.年代pan>
弹簧常数可由(角频率)公式求出:
ω年代pan>=年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>4年代pan>米年代pan>2年代pan>b年代pan>2年代pan> =年代pan>米年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>−年代pan>τ年代pan>2年代pan>1年代pan> .年代pan>
重新排列时,弹簧常数为:<年代pan class="katex-display"> 公斤ydF4y2B一个年代pan>=年代pan>米年代pan>(年代pan>ω年代pan>2年代pan>+年代pan>τ年代pan>2年代pan>1年代pan>)年代pan>
代入所有的量,记住<年代pan class="katex"> ω年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>(年代pan>1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>赫兹年代pan>)年代pan>时,计算弹簧常数:
公斤ydF4y2B一个年代pan>=年代pan>2年代pan>.年代pan>0年代pan>7年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>2年代pan>公斤年代pan>/年代pan>年代年代pan>2年代pan>.年代pan>
(b) 将频率设置为零,并使用<年代pan class="katex"> b年代pan>和<年代pan class="katex"> 米年代pan>固定产生的质量方程:
公斤ydF4y2B一个年代pan>米年代pan>−年代pan>4年代pan>b年代pan>2年代pan>=年代pan>0年代pan>⟹年代pan>米年代pan>=年代pan>4年代pan>公斤ydF4y2B一个年代pan>b年代pan>2年代pan>
用的<年代pan class="katex"> b年代pan>和<年代pan class="katex"> 公斤ydF4y2B一个年代pan>收益质量:
米年代pan>=年代pan>5年代pan>.年代pan>3.年代pan>3.年代pan>×年代pan>1年代pan>0年代pan>−年代pan>1年代pan>7年代pan>公斤年代pan>.年代pan>
此计算中使用的数字非常粗略,但一个明显的物理特性是,不可能同时获得临界阻尼和高基频。与高基频所需的质量相比,临界阻尼要求基本上无质量的聚变目标。在惯性约束聚变中,用低基频的大激励来平衡欠阻尼效应是一个困难的工程挑战。
汽车悬架系统中的减震器可以降低底盘的振动。理想情况下,为了使乘坐尽可能平稳,底盘的振动将被严格地抑制。假设一辆车撞上了减速带底盘被<年代pan class="katex"> 1年代pan>厘米年代pan>.如果减震器严重阻尼由此产生的振动,则汽车重量<年代pan class="katex"> 1年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>公斤年代pan>,阻尼常数为<年代pan class="katex"> b年代pan>=年代pan>2年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>0年代pan>公斤年代pan>/年代pan>年代年代pan>,查找底盘随时间的位移。
解决方案:
临界阻尼的一般解为:<年代pan class="katex-display"> y年代pan>(年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>一个年代pan>+年代pan>B年代pan>t年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>t年代pan>.年代pan>使用初始条件:<年代pan class="katex"> y年代pan>(年代pan>0年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>1年代pan>厘米年代pan>,<年代pan class="katex"> y年代pan>˙年代pan>(年代pan>0年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>产量:
一个年代pan>B年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>1年代pan>厘米年代pan>=年代pan>2年代pan>米年代pan>b年代pan>一个年代pan>=年代pan>1年代pan>.年代pan>0年代pan>厘米年代pan>/年代pan>年代年代pan>
下面,解的单位是<年代pan class="katex"> 厘米年代pan>随着时间的推移,在<年代pan class="katex"> 年代年代pan>:<年代pan class="image-caption center">
工具书类
D. Kleppner和R. Kolenkow,
[2] By v4711这个矢量图形图像是用Adobe Illustrator创建的。这个文件来自RLC系列circuit.png: -自己的工作,CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=29120181。
[3] 迪克罗斯,M。
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