密码

一个密码是一个数学难题，用不同的符号来表示数字，一个给定的系统必须是正确的。最常见的形式是一个数学方程(如下所示)，但有时可以有多个方程或陈述。手工破解密码通常包括逻辑推理和对剩余可能性的详尽测试。此外，请记住，一个密码可能没有解，可能只有一个唯一解，甚至可能有多个解。

我们将探索各种处理密码的技术，为您提供一个完整的武器库来解决密码，如:

$大型{\ \{数组}{ccccccc}开始& & & & & & n和d \\ +&& & & 猴O &研发\ \ \线& & & M & O N &安永结束\{数组}}$

为了简单和一致性，我们将假设如下:

1. 每个符号代表一个独立的、非负的单个数字。
2. 除非另有说明，否则所有前导数字都是非零。
3. 我们从最右边读取列，所以单位列是第一个。

1)将密码转换为公式

我们将应用密码简单方程的一些性质。如果你不熟悉这个概念，请先看主要文章:简单的方程式．

$\begin{array}{ccccc} & &1 &1\\ + & &1 &\ bigtriangleup &\square \\ line & & 2 &\square &4 \end{array}$

解上述密码为 $\ bigtriangleup$和 $\广场,$我们可以把它解释为两个整数的和。也就是说,

$111 + (1) {1 \bigtriangleup \square} = (1) {2\square4} \qquad \text{or}\qquad 111 + 100 + (10 \bigtriangleup) +\square = 200 + 10 \square+ 4。$

这给了 $7 + 10 \大三角= 9 \平方$．我们可以单独检查一下 $\平方= 3$和 $\ bigtriangleup = 2$给出了一个解决方案。

$\begin{array}{ccccc} & & &1 & & lozenge &1\\ + & & & lozenge & 0 \\ \ line & & &8 & & lozenge &8 \end{array}$

找到表示符号的值 $\菱形$．

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将密码转换为一个方程 ${1 \lozenge 1} + {1 \lozenge 0 \lozenge} = {8 \lozenge 8}$．

然后我们将这些3位整数转换为一个代数表达式:

$\begin{aligned} \overline{1 \lozenge 1} &=& 100 + 10\lozenge + 1 \\ \overline{10\lozenge 0\lozenge} &=& 800 + 10\lozenge + 8。结束\{对齐}$

因此,我们有

$\开始{对齐}(100 + 10 \菱形+ 1)+(100 \菱形+ 10(0)+ \菱形)& = &(800 + 10 \菱形+ 8)\ \ (100 + \ xcancel{10 \菱形}+ 1)+(100 \菱形+ \取消{10(0)}+ \菱形)& = & (800 + \ xcancel{10 \菱形}+ 8)\ \ 100 \菱形+ 100 + \菱形+ 1 & = & 800 + 100 \ \ \菱形+ 1)+(\菱形+ 1)& = & 808 \ \ 101(\菱形+ 1)& = & 808 \ \ \菱形+ 1&=& 8 \\ \lozenge &=& 7. \ _\square \end{aligned}$

2)列的重排

$\开始{数组}{ccccc} & & & 1 & 1和\ \ & & & 1 & 1 \\ + & & & & 1 & 1 \ \ \ 5线& & & & 5和5 \{数组}\ qquad \ qquad \结束开始{数组}{ccccc} & & & &授权\ \ & & & 1 & 1 & 1 \\ +& & & 1 & 1 & 1 \ \ \ 5线& & & & 5和5 \{数组}结束$

上面展示了两种加密方法。对于左边的，如果我们重新排列数字/字母在它们各自的列中，我们将得到右边的密码。请注意，只有当它是一个简单的加法时，我们才能这样做。这是可行的，因为我们已经把密码转换成一个方程，然后又转换回一个修改过的密码。因此，解左边的未知量等价于解右边的未知量。在这种情况下，一个简单的代数可以解决它:

$(1) {AAA} + 111 + 111 = 555 \implies \overline{AAA} + 222 = 555 \implies \overline{AAA} = 100A + 10A + A = 111A = 333 \implies A = 3。\ _ \广场$

$\开始{数组}{ccccc} & & & & B&C \ \ & & & b C&A \\ + & & & C a和b \ \ \ 6线& & & & 6 6 \{数组}结束$

对于上面的密码，找到的值 $A、B$和 $C$这样 $< < C。$

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重新排列各自列中的数字，可以得到以下密码:

$开始\{数组}{ccccc} & & & &授权\ \ & & & b B&B \\ + & & & C C和C \ \ \ 6线& & & & 6 6 \{数组}结束$

对这个密码的解释表明，任何列中的数字的和都是6。自 $< < C$它们都是个位数的正整数 $A + B + C = 6$,我们有 $A = 1, B = 2, C = 3$只有。 $_ \广场$

奖金:试着用777代替666来解决上面的例子。

3)继续

一个携带是从一列数字转移到另一列更有效的数字的数字。

$大型{\ \{数组}{ccccccc}开始& & & & & & n和d \\ +&& & & 猴O &研发\ \ \线& & & M & O N &安永结束\{数组}}$

对于上面的密码，我们可以立即证明这一点 $M = 1$而不知道其他未知字母的值!方法如下:

我们可以证明两个4位整数的和不超过 $9999 + 9999 = 19998$．既然我们知道了 $米$是零, $米$被迫 $1.$

这种技术的好处是限制未知变量的可能值，从而使谜题更容易解决。更一般地，我们有以下定理:

如果我们有 $n$正整数，它们都有相同的位数，这些数的和的结转的最大值是 $n - 1。$

$\开始{数组}{ccccc} & & 8 & 7 & 6和4 \ \ + & & 9 & b 3 2 \ \ \线& & 8 & C & 9魅\{数组}结束$

在上面的密码中有一些未知数 $A、B$和 $C,$找出…的价值 $一个。$

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利用我们在上面学到的概念，我们可以看到 $一个= 1$只有。 $_ \广场$

注意:显然我们可以先解出其他未知量。例如，从第一列 $B = 4 + 2,$从第三列开始 $7 + 6 = 13$,这意味着 $C = 3$因为我们只取最后一位 $13$为 $C。$进位是 $c_3 = 1$．然后 $8 + 9 + 1 = 18$与携带 $c_4 = 1$．因此 $一个= 1$．但这种方法要长得多。

当四个不同的四位数整数的和等于一个五位数时 $W,$的前导数字的可能值 $W。$

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利用结转的概念，我们得出。的最大可能值 $W$是

$9999 + 9998 + 9997 + 9996 = 39990。$

所有可能的前位数 $W$是 $1、2、$和 $3.\ _ \广场$

$大型{\ \{数组}{ccccccc}开始& & & & & & n和d \\ +&& & & 猴O &研发\ \ \线& & & M & O N &安永结束\{数组}}$

从以上的解释，我们知道 $M = 1$．用结转的概念，说明一下

$\begin{array}{r r l} \\ & \text{i)} & s \text{必须等于}9;\\ & \text{ii)} & N=E+1。结束\{数组}$

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因为有一个carry在 $4 ^{\文本{th}}$列, $4 ^{\文本{th}}$列 $O$必须小于或等于 $M = 1$．但是所有这些不同的字母都有不同的值，所以通过阅读 $4 ^{\文本{th}}$,我们有 $S+ M + c_3 = 10M + O$,在那里 $c_3$是结转的吗 $3 ^ \文本{rd}$与 $c_3 = 0$或 $c_3 = 1$．记住，唯一可能的值 $年代$和 $O$是 $0, 2、3、4 \ ldots 9$．

如果 $c_3 = 0$,我们有 $S+1 + 0 = 10 + o$,或者只是 $S =9 + o$,这迫使 $年代$只取9和的值 $O$的价值 $0$．
如果 $c_3 = 1$,我们有 $S+1 +1 = 10 + o$,或者只是 $S =8 + o$,这迫使 $年代$取8的值 $O$的价值 $0$．

无论哪种方式, $O = 0$是唯一可能的解决办法。

这是 $2$具有相同数字数的正整数，所以进位只能是0或1。所以 $S = 8$或 $S = 9$只有。如果 $S = 8$，那么第三列将进位，这意味着 $N$是小于还是等于 $O = 0,$这是不可能的。所以第三列没有结转。因此 $S = 9$只有。

最后，我们提到第三栏。自 $O = 0$，则有一个非零的结转值，这意味着 $c = 1。$因此, $N = E + 1。\ _ \广场$

4)可分性规则

像模运算一样，我们将应用密码的可整除规则的一些性质。如果你不熟悉这个概念，请先看主要文章，可分性规则．

$大型{\ \{数组}{ccccccc}开始& & & 1 & 2 & 3 & 4和\ \ \ * && & & & & & 9 \ \ \线& & 1 & B & 1 & 1 & 0和5结束\{数组}}$

通过整除法则 $5，$从最后一个数字开始 $6$数字号码是 $5，$另外两个数字的最后两位中至少有一位必须以 $5.$因此 $一个= 5$．现在,因为 $6$-数字能被整除 $9，$它的数字和必须能被整除 $9$也所以 $1 + b + 1 + 1 + 0 + 5 = b + 8$是整除 $9$与 $B$一个单位数的整数，这意味着 $B = 1$只有。

$大型{\ \{数组}{ccccccc开始 } && & & & 1 & 2 \ \ \时代 && & & & 4和5 6 \ \ \ 6线& & & & & 0 & 8,8条结束\{数组}}$

上面显示了一个不完整的密码。的可能值 $一个$仅利用可整除法则的性质。

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因为 $123$是整除 $3.$和 $456$是整除 $3.$ $123年\ times456$是整除 $9.$这意味着 $\眉题{A6088}$是整除 $9，$意味着数字的和必须能被整除 $9$: $A + 6 + 0 + 8 + 8 \equiv 0 \pmod 9 \表示A = 5。\ _ \广场$

$大型{\ \{数组}{ccccccc}开始& & & 1 & 2 & 3 & 4和5 \ \ \ * && & & & & 3 6 \ \ \线& & 4 & 4 & & &方式结束\{数组}}$

上面显示了一个不完整的密码。求 $一个$和 $B$仅利用可整除法则的性质。

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因为 $12345$结尾 $5，$的 $6$-数字能被整除 $5，$所以这个数的最后一位是 $0$或 $5$只有。因为它是一个偶数的乘法，所以最后一位必须是 $0，$所以 $B = 0$只有。

自 $36 = 4\乘以9$, $6$-数字能被整除 $9.$因此，数字的和可以被整除 $9$也也就是说, $4 + 4 + 4 + 4 + A +B \equiv 0 \pmod 9\表示A = 2$只有。 $_ \广场$

5)保理条款

在本节中，我们将利用整数的因数分解来解决密码问题。

$\{数组}{ccccccc开始 } && & & & & B&B \ \ \ && & & & & C研发\ \ \线& & & 1 & 8 & 3 & 5 & 7 \{数组}结束$

对于上面的例子，我们有一个 $2$-digit number和1 $3.$-数字，使它们的乘积等于 $18357.$通过质因数分解，我们得到 $18357 = 3 \次29\次211$(数字211很容易被证实是质数)。转换到上面的形式，我们要么 $18357 = 87 \times211$或 $18357 = 633 \乘以29$．所以存在两个解 $(a, b, c, d) = (2,1,8,7)， (6,3,2,9)$．

6)模运算

我们将在密码中应用模运算的一些性质。如果你不熟悉这个概念，请先看主要文章，模运算．

$\large{\begin{array}{ccccccc} && && 3& 1 & 2&5\\ \times && && & 2& 0 &8\\ \hline && 6 &5 &\ diamondsuit& \clubsuit &\ heartsuit&\ spadessuit \end{array}}$

上面显示了两个数之间的不完全乘法，其中我们不一定有不同的单位数整数 $钻石装，俱乐部装，心形装$和 $\ spadesuit$．因为 $3125$是整除 $5 ^ 4$和 $208$是整除 $2 ^ 4$，它们的乘积被整除 $(5 \ times2) ^ 4 = 10 ^ 4$．所以 $\overline{65 \diamondsuit \clubsuit \heartsuit\ spadsuit}$必须被整除 $10 ^ 4$．因此通过模运算， $\diamond = clubsuit = heartsuit= spadsuit = 0$．

$大型{\ \{数组}{ccccccc}开始& & & & & & n和d \\ +&& & & 猴O &研发\ \ \线& & & M & O N &安永结束\{数组}}$

在前面的例子中，我们得到 $M = 1, o = 0, s = 9$和 $N = E + 1$．使用这些附加信息，显示 $R = 8$．

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假设里面没有进位 $2 ^{\文本{和}}$列,然后 $N +R +R +R +R +R +R +R +R +R +R +R$与 $N = E + 1。$然后我们可以化简成 $R+1 \equiv 0 \pmod {10}$,这意味着 $R = 9$．但这是自相矛盾的 $S = 9$已经写好了，所有的字母都必须是清楚的。所以没有进位 $2 ^{\文本{和}}$列,这意味着 $R = 8$只有。 $_ \广场$

现在，你能完成上面的第一个密码吗?

7)中国剩余定理

对于一些涉及乘法的密码算法，中国余数定理(CRT)将会派上用场。它使用了模运算的一些性质。如果你不熟悉这个概念，请先看主要文章，中国剩余定理．

$大型{\ \{数组}{ccccccc开始 } && & & & & B&C \ \ \ && & & & & B&C \ \ \线& & & & d &上来就结束\{数组}}$

用同样的规则，你能解决这个密码吗?

注意，这三个数字的后两位都是一样的。把它写成线性一致的形式 $X ^2 \equiv X \pmod {100}$,或 $X (X -1) \equiv 0 \pmod {100}$．因为 $x$和 $x - 1$是连续的，它们一定是互质数。与 $100 = 4 \ times25$,我们有

$\begin{array}{c}& text{either} &x \equiv 0 \pmod 4， &x - 1 \equiv 0 \pmod {25}， &&&\text{or} &&&x \equiv 0 \pmod {25}， &x - 1 \equiv 0 \pmod 4。结束\{数组}$

通过CRT解决 $X \equiv 25 \text{或}76$只是,这意味着 $\overline{ABC} = A25 \text{or} A76$．你能自己完成这个解决方案吗?

8)反复试验

有时，可能没有简单的方法来处理密码，我们能做的最多的是应用蛮力方法，并检查每个情况，以确定他们是否产生一个解决方案。

$\large{\begin{array}{ccccccc} && && 1& 2 & \bigstar &4\\ \times && && && 2 &7\\ \hline && & \bigstar & \bigstar &1 &8 \end{array}}$

以上面的例子为例 $\ bigstar$可以是任意整数 $1$和 $9$包容: $\ bigstar = 1, 2 \ ldots 9$．通过试验和淘汰， $\ bigstar = 3$只有。这是解决这个问题的最简单的方法，因为只需要考虑一个未知，而这个未知的设置方式使得其他解决方法需要更长的时间。

9)编程方法

有时，检查所有可能的情况会更加乏味，比如试错法。所以这不是解决这个问题的理想方法因此我们需要应用其他技术。一个可行的方法是使用编程代码来解决它。

$大型{\ \{数组}{ccccccc}开始E U R & & O&P&A \ \ + &J&U &赔& T E设计\ \ \线n & E & p T & U & n E \{数组}}结束$

找出上面密码中表示的未知字母的值。

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解决方案：

1 2 3 4 5 6 7

从itertools进口排列为我在排列（“0123456789”）：str＝＇＇．加入（我）［E，U，R，O，P，一个，J，我，T，N］＝列表（str）如果int（E+U+R+O+P+一个）+int（J+U+P+我+T+E+R）＝＝int（N+E+P+T+U+N+E）：打印（int（E+U+R+O+P+一个））

输出是 $794853 + 1956074 = 1956074。\ _ \广场$

10)分支与绑定

有一个方法被调用分支界限法它运用了运筹学的一种技术。至于主要文章，请参阅分支界限法．

上面这个wiki页面中的示例显示了只需要一种技术的加密。然而，解决使用混合技术的密码将会更加棘手，这将在后面的页面中展开:密码-解决问题．

本文中提到的技术足以解决所有的密码问题。然而，知道在解决密码时使用哪种技术肯定是有益的。以下是一些很好的指标，可以告诉你在处理密码时如何识别哪些技术是有用的: