优惠券收集器问题

在里面优惠券收集器问题，目标是购买不同的对象，以便制作一整套对象。每次购买都提供了一个随机对象，内容独立于所有其他购买。“优惠券”只是一个占位符;收集的对象可以是任何物体。

在数学上，问题的目标是量化完成收集所需的努力。这是通过计算来完成的期望值购买物体的购买是为了获得全套这些对象。

优惠券收集器问题最有趣的观察之一是收集成为更加困难完成一个接近完整收藏品的完成。集合中的最终项目通常需要最多努力获得。

这一问题背后的数学原则对于涉及任何数量不同类型的事物的问题非常有用：来自收藏纸牌游戏（CCG），运动卡，以及上面示例中所见的卡片，可收藏玩具。

优惠券收集器问题有许多可能的变化。以下是优惠券收集器问题最基本的情况：

优惠券收集器问题

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有一个包含的垃圾箱 $N$独特的物体。每个“购买”包括随机选择一个物体，然后替换它。 $X$是分立的随机变量，代表购买的数量 $N$对象至少选择一次。

优惠券收集器问题的目标是找到 $\ text {e} [x]$。

通常，“垃圾箱”被解释为是其中内容随机化的一些包装。这个问题的一个关键方面是选择是相互独立（用替换选择）。实际上，这意味着可以多次选择对象。但是，在这个问题中，多个相同对象的选择无关紧要;只有不同物体的选择。

这期望页面的线性包含与优惠券收集器问题有关的几个问题。在下面搬到优惠券收集器问题的概括之前，应尝试这些问题。

优惠券收集器问题的一般解决方案

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对于如上所述的优惠券收集器问题，所需的购买数量的预期值是为了选择每个 $N$至少一次的物体是：

$\ text {e} [x] = nh_n$

在哪里 $H_N.$是个 $n ^ \ text {th}$谐波数量。

显示证明

让 $X$是表示每一个的购买次数的离散随机变量 $N$对象至少选择一次。

让 $X_K.$是分立随机变量，代表在购买之后的购买次数 $（k-1）^ \ text {th}$独特的对象选择 $k ^ \ text {th}$独特的物体。作为一个基本情况， $X_1 = 1$，因为所选的第一个对象始终是不同的。

通过期望的线性，

$\ text {e} [x] = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \ text {e} [x_k]$。

之后 $（k-1）^ \ text {th}$选择了不同的对象，有 $n-k + 1$剩余的对象被选中。让 $A_K.$是在下一次购买中选择了其中一个对象的事件。然后是结果概率那

$p（a_k）= \ frac {n-k + 1} {n}$。

$X_K.$跟随A.几何分布（试验）。这是预期的价值是互惠 $p（a_k）$：

$\ text {e} [x_k] = \ frac {1} {p（a_k）} = \ frac {n} {n-k + 1}$

从以前， $\ text {e} [x]$等于所有这些期望的总和：

$\ text {e} [x] = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \ frac {n} {n-k + 1} = n \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \FRAC {1} {K}$

因此， $\ text {e} [x] = nh_n$， 在哪里 $H_N.$是个 $n ^ \ text {th}$谐波数。

没有闭合形式表达式为了 $n ^ \ text {th}$谐波数。但是，确实存在非常好的估计 $H_N.$。

相对较大 $N$， 这 $n ^ \ text {th}$谐波数可以近似为：

$h_n \ attum \ ln {n} + \ gamma + \ frac {1} {2n}$

在哪里 $\ Gamma.$是个欧拉 - Mascheroni常数那 $\ Gamma \约0.577216$。

这为优惠券收集器问题提供了一个近似解决方案：

优惠券收集器问题的近似解决方案

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对于如上所述的优惠券收集器问题，所需的购买数量的预期值是为了选择每个 $N$至少一次对象近似为：

$\文本{e} [x] \约n（\ ln {n} + \ gamma）+ \ frac {1} {2}$

在哪里 $\ Gamma.$是euler-mascheroni常数， $\ Gamma \约0.577216$。

这种近似趋于非常准确，更准确 $N$。为了 $n \ ge 5$，近似是一个小数位的准确性。

收藏纸牌游戏奥术：会众刚刚用一套新的卡片出来了。卡在密封包装中销售，每包都包含一个随机稀有卡。每个包装的内容物独立于每个其他包，每个稀有可能同样可能。

如果最新组中有55张不同的罕见卡，则需要至少一张罕见卡的副本所需的包装数量是多少？将答案舍入到最近的整数。

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如上所述，此问题适合优惠券收集器问题的格式。包装是独立的，内容是随机的，并且每个稀有量同样可能。

如果 $X$是表示打开的包数的随机变量，直到至少一次收集55个RARE中的​​每一个，那么 $\ text {e} [x]$可以用：

$\ text {e} [x] = 55h_ {55}$

但是，计算的是非常繁琐的 $55 ^ \案文{th}$谐波数。幸运的是，所说的问题只需要答案到最近的整数。因此，可以使用近似值：

$\ text {e} [x] \大约55（\ ln {55} +0.577216）+ \ frac {1} {2} \约252.650$

获得至少一张每种稀有卡副本所需的包装数量，舍入到最近的整数。 $\盒装{253}$。

顺便提及，使用计算机软件计算确切的答案，它是 $\ text {e} [x] \约252.6486716559$。

应该指出的是，优惠券收集器问题的解决方案不是保证。购买的预期价值需要进行，以便完成收集与实际情况实际发生的情况不同。事实上，在完成集合所需的购买数量中存在显着的变化。这种可变性可以通过统计量量化方差和标准偏差。

优惠券收集器问题的方差

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对于所说的优惠券收集器问题一般案例部分以上，要选择每个所需的购买次数的方差 $N$至少一次的物体是：

$\ text {var} [x] = n ^ 2 \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ 2}} - nh_n$

在哪里 $H_N.$是个 $n ^ \ text {th}$谐波数。

显示证明

让 $X$是表示每一个的购买次数的离散随机变量 $N$对象至少选择一次。

让 $X_K.$是分立随机变量，代表在购买之后的购买次数 $（k-1）^ \ text {th}$独特的对象选择 $k ^ \ text {th}$独特的物体。

鉴于每个人 $X_K.$是独立的，

$\ text {var} [x] = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \ text {var} [x_k]$。

之后 $（k-1）^ \ text {th}$选择了不同的对象，有 $n-k + 1$剩余的对象被选中。让 $A_K.$是在下一次购买中选择了其中一个对象的事件。然后是结果概率那

$p（a_k）= \ frac {n-k + 1} {n}$。

$X_K.$跟随A.几何分布。它的差异是：

$\ text {var} [x_k] = \ frac {1-p（a_k）} {\ left [p（a_k）\ led] ^ 2} = \ frac {1- \ frac {n-k + 1} {n}} {\ left（\ frac {n-k + 1} {n} \右）^ 2} = \ frac {n（k-1）} {（n-k + 1）^ 2}$

从以前， $\ text {var} [x]$等于所有这些差异的总和：

$\ begin {对齐} \ text {var} [x]＆= \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \ frac {n（k-1）} {（n-k + 1）^ 2} \\ \\ &=n\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{n-k}{k^2} \\ \\ &=n^2\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}-n\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}} \\ \\ &=n^2\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}-nH_n \\ \\ \end{aligned}$

因此， $\ displaystyle \ text {var} [x] = n ^ 2 \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ 2}} - nh_n$， 在哪里 $H_N.$是个 $n ^ \ text {th}$谐波数。

您可能会注意到方差计算包含一个非常不方便的有限总和 $\ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ 2}}$。幸运的是，有一种方法可以使用方法来近似这一和巴塞尔问题。

这巴塞尔问题给予收敛系列的以下值：

$\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ 2}} = \ frac {\ pi ^ 2} {6}$

因此，相对较大 $N$那

$\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ 2}} \ intain \ frac {\ pi ^ 2} {6}$

有了这个近似，并且先前的近似 $NH_N.$，可以给出近似 $\ text {var} [x]$：

优惠券收集器问题的近似方差

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对于所说的优惠券收集器问题一般案例部分以上，要选择每个所需的购买次数的方差 $N$至少一次对象近似为：

$\ text {var} [x] \ intave \ frac {\ pi ^ 2} {6} n ^ 2-n（\ ln {n} + \ gamma） - \ frac {1} {2}$

在哪里 $\ Gamma.$是euler-mascheroni常数， $\ Gamma \约0.577216$。