余弦规则（余弦定律）

这余弦规则，也称为余弦定律，与A的所有3侧联系起来<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/triangles/" class="wiki_link" title="三角形" target="_blank">三角形带着<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/angles/" class="wiki_link" title="角度" target="_blank">角度三角形。

它对于解决三角形中的缺失信息最有用。例如，如果已知三角形的所有三个边，则余弦规则允许一个人找到任何角度测量。类似地，如果已知它们之间的两侧和角度，则余弦规则允许一个找到第三侧长度。

鉴于以下三角形 $ABC.$相应的边长 $一种$那 $B.$， 和 $C：$

这余弦定律说明

$\ begin {对齐} a ^ 2＆= b ^ 2 + c ^ 2-2bc \ cdot \ cos a \\ b ^ 2＆= a ^ 2 + c ^ 2-2ac \ cdot \ cos b \\ c ^ 2＆= a^ 2 + b ^ 2-2-ab \ cdot \ cos c. \ end {对齐}$

它可以被视为概括<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-theorem/">勾股定理。例如，取三方的一个任意一侧， $一种$。然后它的方块等于另外两侧的正方形的总和，即 $a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2$。如果您要插入90度，您将留下毕达哥拉斯定理。从角度 $\α$面对我们的任意一面 $一种$不一定 $90°$，我们将不得不减去某种东西，作为身份 $a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2$尚未持有。这个等式的右侧仍然“太大”。我们必须减去的东西变成了 $2bc \ cdot \ cos a$。

我们将证明一侧 $一种$。让我们面对的角度 $\α$。另外两个等式可以以类似的方式完成。

根据我们的定义 $\ begin {对齐} \ sin \ alpha＆= \ frac {h} {c} \意味着h = c \ cdot \ sin \ alpha \\ \ cos \ alpha＆= \ frac {r} {c} \意味着r =c \ cdot \ cos \ alpha。\结束{对齐}$使用<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-theorem/">勾股定理，我们得到 $a ^ 2 = h ^ 2 +（b-r）^ 2。$替代 $H$和 $R.$，我们得到 $\ begin {对齐} a ^ 2＆=（c \ cdot \ sin \ alpha）^ 2 +（b - c \ cdot \ cos \ alpha）^ 2 \\＆= c ^ 2 \ cdot \ sin ^ 2 \ alpha+ b ^ 2 - 2bc \ cdot \ co t cos \ alpha + c ^ 2 \ cdot \ cos ^ 2 \ alpha \\＆= c ^ 2 \ cdot \ big（\ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha \大）+ b ^ 2 - 2bc \ cdot \ cos \ alpha \\＆= c ^ 2 + b ^ 2 - 2bc \ cdot \ cos \ alpha。\ _ \ square \ end {对齐}$

笔记：

• 身份 $\ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha = 1$也被称为<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-identities/">毕达哥兰身份。
• 这个证明并不完美。我们应该担心角度。这可以通过使用来避免有点角度。

让 $\ vec {a} \ cdot \ vec {b}$表示<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/dot-product-definition/">点产品之间 $\ vec {a}$和 $\ vec {b}$。另外，让我们 $\ vec {a} = \ vec {bc}$那 $\ vec {b} = \ vec {ac}$， 和 $\ vec {c} = \ vec {ab}$。然后 $c ^ 2 = \ vec {c} \ cdot \ vec {c} = \ big（\ vec {b} - \ vec {a} \ big）\ cdot \ big（\ vec {b} - \ vec {a}\ big）= b ^ 2 + a ^ 2 - 2 \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = b ^ 2 + a ^ 2 - 2ab \ cos c. \ _ _ _ \ square$

给定侧角侧：

在三角形 $ABC.$， 我们有 $\角度bac = \ frac {\ pi} {4}，\ ltvert \ overline {bc} \ rvert = \ sqrt {5}$和 $\ ltvert \ overline {ab} \ rfter = 3$。决定 $\ ltvert \ overline {ac} \ rvert$。

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应用余弦规则 $角度bac.$，我们得到

$\ begin {aligned} \ ltvert \ overline {ab} \ rfter ^ 2 + \ ltvert \ overline {ac} \ rvert ^ 2 - 2 \ lvert \ overline {ab} \ rvertlin \ cdot \ ltvert \ overline {ac} \ rvert\ cdot \ cos \ frac {\ pi} {4}＆= \ ltvert \ overline {bc} \ rvert ^ 2 \\ \ ltvert \ overline {ac} \ rvert ^ 2 - 3 \ sqrt {2} \ ltvert \ overline{ac} \ rvert + 4＆= 0 \\ \ left（\ ltvert \ overline {ac} \ rvert- \ sqrt {2} \ other）\ left（\ ltvert \ overline {ac} \ rfter-2 \ sqrt {2} \右）＆= 0。\结束{对齐}$

因此， $\ ltvert \ overline {ac} \ rfter = \ sqrt {2} \ text {或} 2 \ sqrt {2}$。 $_\正方形$

注意：这类似于正弦规则的“暧昧案例”，因为我们有 $3 \ sin \ frac {\ pi} {4} <\ sqrt {5} <3$，这是条件 $c \ sin \ alpha$。

给定侧面侧：

在三角形 $ABC.$那 $\ overline {ab} = \ sqrt {6} - \ sqrt {2}，\ ovline {ac} = 2 \ sqrt {2}，$和 $\ overline {bc} = 2 \ sqrt3。$找到衡量标准 $角度abc。$

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在侧面应用余弦定律 $AC，$我们得到了

$\ begin {aligned} {\ overline {ac}} ^ 2＆= {\ overline {ab}} ^ 2 + {\ overline {bc}} ^ 2 - 2 \ cdot \ overline {ab} \ cdot \ overline {bc} \ cdot \ cos {\ distle abc} \\\\ {\ big（2 \ sqrt {2} \ big）} ^ 2＆= {\ big（\ sqrt {6} - \ sqrt {2} \ big）^ 2 + {\ big（2 \ sqrt3 \ big）} ^ 2 - 2 \ cdot 2 \ sqrt3 \ cdot \ big（\ sqrt {6} - \ sqrt {2} \ big）\ cdot \ cos {\角度abc} \\\\ 8＆= 6 - 4 \ sqrt {3} + 2 + 12 - \ big（12 \ sqrt {2} - 4 \ sqrt {6} \ big）\ cos {\'角abc} \\\\ -12 +4 \ sqrt {3}＆=（-12 \ sqrt {2} +4 \ sqrt {6}）\\\\ \ cos {\ cost abc}＆= \dfrac {-12 +4 \ sqrt {3}} { - 12 \ sqrt {2} +4 \ sqrt {6}} \\\\＆= \ dfrac {1} {\ sqrt2} \ cdot \ dfrac {-12+4 \ sqrt {3}} { - 12 + 4 \ sqrt {3}}} = \ dfrac {\ sqrt2} {2} \\\\\ \ lightRarrow \'角度abc＆= \ dfrac {\ pi} {4}。\ _ \ square \结束{对齐}$

尝试以下问题：

在涉及到余弦定律方面，它有自己的应用朝向矢量数量（而不是质量）。

看：<一种HR.ef="//www.parkandroid.com/wiki/bearing-word-problems-easy/" class="wiki_link" title="轴承" target="_blank">轴承

我们有

$\ begin {对齐} \ vec {c} ^ {2}＆= \ vec {a} ^ {2} + \ vec {b} ^ {2} - 2 \ cdot \ vec {a} \ cdot \ vec {b} \\＆= \ vec {a} ^ {2} - 2 \ cdot \ vec {a} \ cdot \ vec {b} + \ vec {b} ^ {2} \\＆= \ big（\ vec {a} - \ vec {b} \ big）^ 2。\结束{对齐}$

• 三角不等式
• 勾股定理

从余弦统治中，我们有

$C ^ 2 \ leq a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab =（a + b）^ 2，$

并通过双方的平方根，我们有 $C \ LEQ A + B.$，这也被称为三角不等式。三角形不等式的一个有用的应用是测试三个给定长度是否可以定义三角形。

Pythagorean定理适用于右三角形，所以让 $\ Gamma.$是直角，即， $\ gamma = \ frac {\ pi} {2}$。然后由余弦规则，

$C ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos \ gamma = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos \ frac {\ pi} {2} = a ^ 2 + b ^ 2 - 0 = a^ 2 + b ^ 2。$

认为 $A，B，$和 $C$是积极的真实，这样 $a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - bc，b ^ 2 = c ^ 2 + a ^ 2 - ac，$和 $C ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - ab$。显示 $a = b = c$。

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自从 $C ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - ab$， 它遵循 $C$我们对其他变量具有类似的不等式。因此，数字 $A，B$和 $C$满足三角形不等式，存在三角形 $ABC.$这样 $\ ltvert \ overline {ab} \ rfter = c，\ ltvert \ overline {bc} \ rfter = a，\ ltvert \ overline {ca} \ rfter = b$。像这样

$\ cos \角度abc = \ frac {a ^ 2 + c ^ 2 - b ^ 2} {2ac} = \ frac {a ^ 2 + c ^ 2 - （a ^ 2 + c ^ 2-ac）} {2ac} = \ frac {1} {2}，$

这给了我们 $\角度abc = 60 ^ \ circ$。同样，我们有 $\角bca = 60 ^ \循环$和 $\角度驾驶室= 60 ^ \电路$，这表明三角形 $ABC.$是赤裸的，意味着这一点 $a = b = c$。 $_\正方形$

笔记：这也可以通过总结3方程来直接完成 $（A-B）^ 2 +（B-C）^ 2 +（C-A）^ 2 = 0$。

• 轴承 - 词问题

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