将循环小数转换为分数

有理数，当写成小数时，是终止小数或非终止小数，重复小数。将终止小数转换成分数很简单:用适当的10的幂乘和除就可以了。例如, $2.556753 = \压裂{2556753}{1000000}。$然而，当小数是重复的时候，事情就有点困难了。在做简单的算术和解决竞赛问题时，重复小数经常出现，所以能够将它们转换成分数是一项有价值的技能。

下面是一些非终止循环小数的例子 $0.12121212121212 \ ldots$和 $1.2354354354354 \ ldots$．我们可以把这些小数简写为 $0。\眉题{12}$和 $1.2 \眉题{354},$分别。

要将这些类型的小数转换为分数，我们可以将小数看作a中(无限)项的和几何级数．通过一些例子就可以很容易地理解这一点。

写 $0。\眉题{34}$作为一个分数。

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证据1:我们可以写 $0。\眉题{34}$作为 $0.3434343434 \ ldots$．现在我们 $x = 0。\眉题{34},$然后 $\{对齐}开始x & = 0.34 + 0.0034 + 0.000034 + \ cdots \ \ & = \压裂{34}{100}+ \压裂{34}{10000}+ \压裂{34}{1000000}+ \ cdots \ \ & = 34 \ \离开(\压裂{1}{100 ^{1}}+ \压裂{1}{100 ^{2}}+ \压裂{1}{100 ^ {3}}+ \ cdots \右)。结束\{对齐}$认识到这是具有初始项的GP的无限项之和 $= \压裂{1}{100}$和常见的比 $r = \压裂{1}{100}。$因为无限的条款是 $\压裂{一}{第一轮},$代入 $一个$和 $r$给了 $x = 34 \ * \ dfrac{\压裂{1}{100}}{1 - \压裂{1}{100}}= 34 \ * \压裂{1}{99}= \ dfrac{34}{99}。\ _ \广场$

证据2:这里有一个解决这个问题的替代方法:让 $X = 0.34343434 \ldots，$然后 $100x = 34.343434 \ldots。$用第二个方程减去第一个方程，我们得到 $99 x = 34意味着x = \dfrac{34}{99}。\ _ \广场$

写 $0。\眉题{1}$作为一个分数。

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我们可以写 $0。\眉题{1}$作为 $0.1111111111 \ ldots$．让 $x = 0。\眉题{1},$然后

$\{对齐}开始x & = 0.1 + 0.01 + 0.001 + \ cdots \ \ & = \压裂{1}{10}+ \压裂{1}{100}+ \压裂{1}{1000}+ \ cdots \ \ & = \压裂{\压裂{1}{10}}{1 - \压裂{1}{10 }}\\\\ &=\ 压裂{1}{9}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

写 $0.0 \眉题{23}$作为一个分数。

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我们可以写 $0.0 \眉题{23}$作为 $0.02323232323 \ ldots$．让 $x = 0.0 \眉题{23},$然后

$\{对齐}开始x & = 0.023 + 0.00023 + 0.0000023 + \ cdots \ \ & = \压裂{23}{1000}+ \压裂{23}{100000}+ \压裂{23}{10000000}+ \ cdots \ \ & = \压裂{23}{1000}\ * \离开(1 + \压裂{1}{100}+ \压裂{1}{100 ^ 2}+ \ cdots \) \ \ & = \压裂{23}{1000}\ \压裂{1}{1 - \压裂{1}{100 }} \\ &= \ 压裂{23}{1000}\ * \压裂{100}{99}\ \ \ \ & = \压裂{23}{990}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

写 $4.1 \眉题{454}$作为一个分数。

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我们可以写 $4.1 \眉题{454}$作为 $4.1454454454454 \ ldots$．让 $x = 4.1 \眉题{454},$然后

$\{对齐}开始x & = 4.1 + 0.0454 + 0.0000454 + 0.0000000454 + \ cdots \ \ & = \压裂{41}{10}+ \压裂{454}{10000}+ \压裂{454}{10000000}+ \压裂{454}{10000000000}+ \ cdots \ \ & = \压裂{41}{10}+ \压裂{454}{10000}\ * \离开(1 + \压裂{1}{1000}+ \压裂{1}{1000 ^ 2}+ \ cdots \) \ \ & = \压裂{41}{10}+ \压裂{454}{10000}\ * \压裂{1}{1 - \压裂{1}{1000}}\ \ & =\ \压裂{41}{10}+压裂{454}{10000}\ * \压裂{1000}{999}\ \ & = \压裂{41}{10}+ \压裂{454}{9990}\ \ \ \ & = \压裂{41413}{9990}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

下面哪个选项等于 $0。\眉题{5}+ 0。\眉题{7}?$

$c \开始{数组}{}& (a) ~ 1。\眉题{2}&&& (b) ~ 1。\眉题{3}&&& (c) ~ 1.2 \眉题{3}&&& (d) ~ 1.3 \眉题{2}\{数组}结束$

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我们可以写 $0。\眉题{5}$作为 $0.55555555 \ ldots$．让 $x = 0。\眉题{5},$然后

$\{对齐}开始x & = 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 + \ cdots \ \ & = \压裂{5}{10}+ \压裂{5}{10 ^ 2}+ \压裂{5}{10 ^ 3}+ \压裂{5}{10 ^ 4}+ \ cdots \ \ & = \压裂{5}{10}\ * \离开(1 + \压裂{1}{10}+ \压裂{1}{10 ^ 2}+ \压裂{1}{10 ^ 3}+ \ cdots \) \ \ & = \压裂{5}{10}\ \压裂{1}{1 - \压裂{1}{10 }} \\ &= \ 压裂{5}{10}\ * \压裂{10}{9}\ \ \ \ & = \压裂{5}{9}。结束\{对齐}$

同样地，如果我们让 $y = 0。\眉题{7},$然后我们就可以 $y = \压裂{7}{9}。$因此,

$0。\眉题{5}+ 0。\眉题{7}= x + y = \压裂{5}{9}+ \压裂{7}{9}= \压裂{12}{9}= 1 + \压裂{3}{9}= 1。\眉题{3}。$

因此，答案是 $1 . \眉题{3}。$ $\ _ \广场$

非终止的循环小数 $3.9 \眉题{1}$可以写成分数吗 ${\压裂{176}{一}}。$是什么 $一个吗?$

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观察到

$\begin{align} 100x &= 391.1111111 &\qquad (1)\\ 10x &= 39.1111111。& \ qquad结束(2)\{对齐}$

采取 $(1) - (2)$给了

$90 x = 352 x = \ \意味着压裂{176}{45},$

这意味着 $一个= 45。$ $_ \广场$