收敛性测试
有关……
- 微积分年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="chevron">>年代p一个n>
序列和级数一个>
回想一下an的和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/summation/" class="wiki_link" title="无穷级数" target="_blank">无穷级数一个><年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>定义为极限<年代p一个ncl作为年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>,在那里<年代p一个ncl作为年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>k年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.如果极限存在,级数<年代trong>是收敛的年代trong>;否则它<年代trong>发散年代trong>.
许多重要的级数都没有一个简单的封闭公式<年代p一个ncl作为年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>.在这种情况下,人们通常可以确定一个给定的级数是收敛还是发散,而无需显式计算<年代p一个ncl作为年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>,通过以下其中一个收敛性测试。
散度测试
第一个也是最简单的测试不是收敛性测试。
散度测试:年代trong>
如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>不存在,或者存在且非零,那么<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>发散的。
证明很简单:如果级数收敛,部分和<年代p一个ncl作为年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>方法的限制<年代p一个ncl作为年代="katex"> l年代p一个n>年代p一个n>.然后
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">l年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">l年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
该系列<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n>年代p一个n>是发散的,因为<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n>年代p一个n>不存在。
散度检验不适用于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/harmonic-series/" class="wiki_link" title="调和级数" target="_blank">调和级数一个><年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,因为<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>.在这种情况下,发散检验没有给出任何信息。
这是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/common-misconceptions/" class="wiki_link" title="常见的误解" target="_blank">常见的误解一个>背离检验的“反向”成立,即,如果条件变为<年代p一个ncl作为年代="katex"> 0年代p一个n>年代p一个n>然后求和收敛。事实上,这是错误的,谐波级数是一个反例——它发散(将在后面的部分中显示)。
比值判别法
接下来两个测试的直觉是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-progressions/" class="wiki_link" title="几何级数" target="_blank">几何级数一个><年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,当且仅当时收敛<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>.要精确地说明这个检验,需要一个在无穷级数的研究中经常用到的概念。
一个系列<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是<年代trong>绝对收敛年代trong>如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>是收敛的。如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的,我们称之为<年代trong>有条件地收敛年代trong>.
率测试:年代trong>
假设<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">r年代p一个n>年代p一个n>.如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>本系列,<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>绝对收敛。如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>,级数是发散的。如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>(或者极限不存在),测试没有给出任何信息。
考虑到系列<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">0年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.的值<年代p一个ncl作为年代="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>这个级数收敛吗?
部分解决方案:
这一比率<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>是
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> (年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>
这方法<年代p一个ncl作为年代="katex"> 4年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>作为<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∞年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
所以,如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> 4年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>,级数是绝对收敛的,如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> 4年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>这个系列是发散的。为<年代p一个ncl作为年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">±年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">4年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>这个问题更加微妙。它的级数收敛于<年代p一个ncl作为年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">4年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>但不是<年代p一个ncl作为年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>因此答案是<年代p一个ncl作为年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">4年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">4年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n> □年代p一个n>年代p一个n>
的收敛区间的确定是非常有用的比率检验<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/generating-functions-solving-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="幂级数" target="_blank">幂级数一个>,按照上面的例子。注意,在时间间隔的端点上,比率测试失败。
根测试
只要比率检验起作用,根检验就会起作用,但从实际角度来看,根检验所涉及的极限往往更为困难。
根测试:年代trong>
假设<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>l年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n> =年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">r年代p一个n>年代p一个n>.如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>本系列,<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>绝对收敛;如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>,它是发散的;如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>在美国,测试结果尚无定论。
在这里,<年代p一个ncl作为年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>表示数列的最大值的极限,<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>米年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">≥年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>吃晚饭年代p一个n>年代p一个n>米年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">米年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n> 在这种情况下。如果我们允许<年代p一个ncl作为年代="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∞年代p一个n>年代p一个n> (年代p一个n>年代p一个n>哪一个被认为是<年代p一个ncl作为年代="katex"> >年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>为测试目的<年代p一个ncl作为年代="katex"> )年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>的<年代p一个ncl作为年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>总是存在(而极限可能不存在);如果极限存在,那么它等于<年代p一个ncl作为年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">我年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">米年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">u年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathrm">p年代p一个n>年代p一个n>.实际上,使用根检验通常涉及到计算极限。
在根测试的应用程序中经常有用的一个事实是<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n>年代p一个n> (年代p一个n>年代p一个n>这是因为自然对数的极限,<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>ln年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace mtight" style="margin-right:0.19516666666666668em;">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl作为年代="katex"> 0年代p一个n>年代p一个n>通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/lhopitals-rule-easy/" class="wiki_link" title="洛必达法则" target="_blank">洛必达法则一个>.<年代p一个ncl作为年代="katex"> )年代p一个n>年代p一个n>
做<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose mtight">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>收敛或发散?
取<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>并获得
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> (年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">e年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n><年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>
所以级数是收敛的。<年代p一个ncl作为年代="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
积分判别法
通常系列<年代p一个ncl作为年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>可以扩展成一个很好的函数吗<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>的积分<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>和“接近”。
积分判别法年代trong>:
如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>一个非负的连续递减函数是开的吗<年代p一个ncl作为年代="katex"> [年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">∞年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>,然后是系列<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>收敛当且仅当<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/improper-integrals/" class="wiki_link" title="反常积分" target="_blank">反常积分一个><年代p一个ncl作为年代="katex"> ∫年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>是收敛的。
请注意,重要的是<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>是递减的和连续的,否则可以想象的<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>At整数可能与它在其他地方的值无关<年代p一个ncl作为年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>例如,想象一个<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>除了非常接近整数的地方,它是0<年代p一个ncl作为年代="katex"> 1年代p一个n>年代p一个n>;这样一个<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n>年代p一个n>积分可能是收敛的,但级数是发散的<年代p一个ncl作为年代="katex"> )年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
的<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>系列<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>对任何实数都有定义<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>.的<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>做相关的<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>系列收敛吗?
为<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>,级数通过散度检验发散。为<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>非负递减函数是开的吗<年代p一个ncl作为年代="katex"> [年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">∞年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>.为<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">p年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">p年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
这是发散的<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>和收敛于<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>为<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>.所以相关的级数也是如此。
这个案子<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/harmonic-series/" class="wiki_link" title="调和级数" target="_blank">调和级数一个>,它发散是因为相关的积分
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ln年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>
发散的。所以答案是<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>-级数收敛当且仅当<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>.<年代p一个ncl作为年代="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
比较测试
这个检验可以通过将一个级数与一个(更简单的)收敛级数进行比较来确定它是否收敛。
比较测试年代trong>:
如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是绝对收敛的<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>足够大的<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>,然后<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>绝对收敛。
注意,它只对比较非负项有意义,所以这个检验对有条件收敛级数没有帮助。
做<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>收敛或发散?
自<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n><年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>通过积分判别收敛<年代p一个ncl作为年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>这是一个<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>系列的<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>通过比较检验,级数是收敛的。<年代p一个ncl作为年代="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
比较检验还可以确定级数是否发散:
做<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>收敛或发散?
自<年代p一个ncl作为年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>≤年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,如果级数收敛,则级数收敛<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.但是调和级数发散,所以原来的级数也一定发散。<年代p一个ncl作为年代="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
比较测试是有用的,但直观上感觉很有限。例如,<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>不是<年代p一个ncl作为年代="katex"> ≤年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,但这个系列<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>应该是收敛的,因为这些项"表现得像"<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>对于大型<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>.下一节将描述对比较测试的改进,它将处理这样的系列。
限制比较测试
与其用不等式与收敛级数进行比较,不如用极限中项的性质与收敛级数进行比较更灵活。
限制比较测试年代trong>:
如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>绝对收敛,<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n>年代p一个n>那么,存在(并且是有限的)<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>绝对收敛。
更对称,如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">y年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>y年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>存在<年代trong>和非零年代trong>,然后<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">y年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>两者都收敛或都发散。
n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>收敛,因为<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>确实,
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
比较,<年代p一个ncl作为年代="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>-系列通常是正确的策略。
做<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n> −年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>收敛或发散?
应用极限比较检验<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>和使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/lhopitals-rule-easy/" class="wiki_link" title="洛必达法则" target="_blank">洛必达法则一个>的导数<年代p一个ncl作为年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">x年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl作为年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">x年代p一个n>年代p一个n>ln年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:年代p一个n>年代p一个n>
n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>ln年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n>年代p一个n>ln年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ln年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
所以级数是通过与简级数的极限比较发散的。<年代p一个ncl作为年代="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
交变系列试验
交替级数在许多常见情况下自然出现,包括对<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series-problem-solving/" class="wiki_link" title="泰勒级数" target="_blank">泰勒级数一个>在消极的观点。他们也提供了条件收敛级数的简单例子。对于交替级数有一个特殊的测试,可以检测条件收敛:
交替系列测试:年代trong>
如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>正整数的递减序列是这样的吗<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>,然后<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是收敛的。
如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,试验立即表明,交变谐波级数<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose mtight">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>(有条件)收敛。
注意,这对于<年代p一个ncl作为年代="katex">
一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是
表明,<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>是收敛的。
如果我们能证明的话,这是由交替级数检验直接得出的<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>最终减少。最简单的方法是考虑函数<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>然后求导:
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">”年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
所以<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">”年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>为<年代p一个ncl作为年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n>年代p一个n>,表示顺序<年代p一个ncl作为年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>是减少<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n>年代p一个n>.<年代p一个ncl作为年代="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
关于交替级数检验的一个有趣的事实是,它也给出了一个有效的误差界:
让<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是一个满足交替级数检验条件的级数,假设<年代p一个ncl作为年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是减少<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>(而不是最终减少)。如果级数的和是<年代p一个ncl作为年代="katex"> l年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个ncl作为年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">th年代p一个n>年代p一个n>表示部分和<年代p一个ncl作为年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>,然后
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">l年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
给出估计误差的上限<年代p一个ncl作为年代="katex"> π年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≈年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">5年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">9年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">9年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>.
假设<年代p一个ncl作为年代="katex"> π年代p一个n>年代p一个n>是级数的和吗<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">0年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>,交替级数检验表明,该误差最大<年代p一个ncl作为年代="katex"> 4年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">0年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>这是大约<年代p一个ncl作为年代="katex"> 0年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n>年代p一个n>.事实上,总和是<年代p一个ncl作为年代="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">9年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">...年代p一个n>年代p一个n>,所以误差几乎正好是它的一半,或者<年代p一个ncl作为年代="katex"> 0年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">5年代p一个n>年代p一个n>.<年代p一个ncl作为年代="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
(年代p一个n>年代p一个n>表明<年代p一个ncl作为年代="katex"> π年代p一个n>年代p一个n>实际上是级数的和,一种可能是推导泰勒级数<年代p一个ncl作为年代="katex"> 反正切年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">5年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n>年代p一个n>这在<年代p一个ncl作为年代="katex"> (年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>,然后利用阿贝尔的一个定理,证明了恒等式可以推广到端点<年代p一个ncl作为年代="katex"> 1年代p一个n>年代p一个n>的时间间隔。<年代p一个ncl作为年代="katex"> )年代p一个n>年代p一个n>
交替级数检验实际上是收敛的狄利克雷检验的一个特例,将在下一节中介绍。
边界条件测试
狄利克雷测试:年代trong>
假设<年代p一个ncl作为年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>序列和<年代p一个ncl作为年代="katex"> 米年代p一个n>年代p一个n>是常数,和
(1)<年代p一个ncl作为年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是一个递减序列,
(2)<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>,
(3)如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl作为年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">th年代p一个n>年代p一个n>的部分和<年代p一个ncl作为年代="katex"> b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,然后<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">年代年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">米年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个ncl作为年代="katex"> k年代p一个n>年代p一个n>.然后<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是收敛的。
交替串联检验是一种特殊情况,其中<年代p一个ncl作为年代="katex"> b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n> (年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl作为年代="katex"> 米年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
让<年代p一个ncl作为年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是一个实数的递减序列<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>.表明,
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>
对所有实数都是收敛的<年代p一个ncl作为年代="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>哪些不是的整数倍<年代p一个ncl作为年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n>年代p一个n>.这在……的理论中是有用的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fourier-series/" class="wiki_link" title="傅里叶级数" target="_blank">傅里叶级数一个>.)
这是根据狄利克雷检验和恒等式得出的
<年代p一个ncl作为年代="katex-display"> 罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>
因为右边这个量的绝对值是<年代p一个ncl作为年代="katex"> ≤年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace mtight" style="margin-right:0.19516666666666668em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord sizing reset-size3 size6 mtight">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>哪个是常数实数只要分母不是<年代p一个ncl作为年代="katex"> 0年代p一个n>年代p一个n>.<年代p一个ncl作为年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>这就是为什么我们要假设<年代p一个ncl作为年代="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>不是的整数倍<年代p一个ncl作为年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n>年代p一个n> □年代p一个n>年代p一个n>
亚伯测试
Abel检验类似于Dirichlet检验,对于有条件收敛的级数是最有用的。
亚伯测试:年代trong>
假设<年代p一个ncl作为年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>序列和<年代p一个ncl作为年代="katex"> 米年代p一个n>年代p一个n>是常数,和
(1)<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>收敛,
(2)<年代p一个ncl作为年代="katex"> b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是一个单调的(递增或递减)序列,
(3)<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">米年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>.然后<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是收敛的。
注意,如果<年代p一个ncl作为年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是正的<年代p一个ncl作为年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>或<年代p一个ncl作为年代="katex"> ∑年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>绝对是收敛的<年代p一个ncl作为年代="katex"> )年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>这与比较测试直接相关<年代p一个ncl作为年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>没有假设(2)<年代p一个ncl作为年代="katex"> )年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这个有趣的级数是有条件收敛的。
该系列<年代p一个ncl作为年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>反正切年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace mtight" style="margin-right:0.19516666666666668em;">n年代p一个n>年代p一个n>根据阿贝尔检验是收敛的<年代p一个ncl作为年代="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>取<年代p一个ncl作为年代="katex"> b年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">反正切年代p一个n><年代p一个ncl作为年代="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n>年代p一个n>,它是递增的,上界为<年代p一个ncl作为年代="katex"> 2年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>