连续随机变量-概率密度函数(PDF)

的概率密度函数或PDF格式的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-random-variables-definition/" class="wiki_link" title="连续随机变量" target="_blank">连续随机变量给出连续体中任何结果发生的相对可能性。不同于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/discrete-random-variables-definition/" class="wiki_link" title="离散随机变量" target="_blank">离散随机变量，对于连续随机变量，任何单一结果发生的概率为0。概率密度函数给出了a中任意值的概率连续集的值可能发生。因此，它的大小编码了在某一点附近找到连续随机变量的可能性。

启发式地说，概率密度函数就是一个连续随机变量的分布，就像<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/normal-distribution/" class="wiki_link" title="正态分布" target="_blank">正态分布，为正态分布连续随机变量的PDF。

随机变量的概率 $X$接受(打开或关闭)区间中的值 $[a, b]$由一个函数的积分给出概率密度函数 $f_X (x)$：

$P(a\leq X \leq b) = \int_a^b f_X(X) \，dx。$

如果随机变量可以是任意实数，则将概率密度函数归一化使:

$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \，dx = 1。$

这是因为概率 $X$取一个介于 $- - - - - - \ infty$而且 $\ infty$是1:X确实有一个值!

与离散情况相比，这些公式可能更有意义，在离散情况下，给出事件发生概率的函数称为概率质量函数 $p (x)$．在离散情况下，是结果的概率 $x$发生的是 $p (x)$本身。的概率 $P(a\leq X \leq b)$在离散情况下由:

$P(a\leq X \leq b) = \sum_{a\leq X \leq b} P(X)，$

将概率质量函数归一化为1，从而:

$\sum_x p(x) = 1，$

把所有可能的值相加 $x$．可以看出，连续随机变量的类似公式与将和提升为积分是相同的。

某连续随机变量的非归一化概率密度函数 $X$是:

$f (x) = \压裂{1}{1 + x ^ 2}。$

求出 $X$大于1， $P (X > 1)$．

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解决方案:

首先，必须对概率密度函数进行归一化处理。这是通过乘以一个常数，使总积分为1。计算的积分:

$\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \压裂{1}{1 + x ^ 2} \, dx = \ bigl。\arctan (x)\bigr|_{-\infty}^{\infty} = \pi。$

规范化的PDF是:

$f \波浪号{}= \压裂{1}{\π(1 + x ^ 2)}。$

计算概率 $X$大于1，

$P (X > 1) = \ int_1 ^ {\ infty} \压裂{1}{\π(1 + X ^ 2)} = \压裂{1}{\π}\ bigl。\反正切(x) \ bigr | _1 ^ {\ infty} = \压裂{1}{\π}\离开(\压裂{\π}{2}- \压裂{\π}{4}\右)= \压裂{1}{4}。$

需要注意的是，连续随机变量的概率密度函数本身不一定是连续的。

与离散随机变量的情况相比，概率密度函数 $f_X (x)$连续随机变量的值不需要满足条件 $f_X (x) \ leq 1$．区间上均匀分布的连续随机变量 $[0, \压裂{1}{2}]$概率密度函数是否恒定 $f_X (x) = 2$在 $[0, \压裂{1}{2}]$．另一个例子是无界概率密度函数 $f_X(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}， 0< x <1$一个连续随机变量的 $(0,1)$．

回想一下离散情况下的均值或期望值 $E (X)$离散随机变量的值是可能值的加权平均值 $x$的随机变量:

$E(X) = \sum_x X p(X)。$

这个公式很直观。假设有 $n$结果，概率等 $\压裂{1}{n}$每一个。期望值就是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-mean/" class="wiki_link" title="算术平均值" target="_blank">算术平均值， $E(X) = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$．在某些结果比其他结果更有可能出现的情况下，这些结果对期望值的贡献应该更大。

在连续的情况下，泛化再次通过用和的积分替换和得到 $p (x)$PDF格式:

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} X f(X) \，dx，$

假设可能的值 $X$是整条真正的线。如果 $X$而是被限制为 $[0, \ infty]$或者其他的连续区间，积分极限应该相应地改变。

方差的定义与离散情况相同:

$\text{Var} (X) = E(X^2) - E(X)^2。$

计算 $E (X ^ 2)$只需要插入 $x ^ 2$而不是一个 $x$在上述公式中:

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} X^2 f(X) \，dx，$

一个连续随机变量的均值和方差不一定是有限的或存在的。<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cauchy-distribution/" class="wiki_link" title="柯西分布" target="_blank">柯西分布连续随机变量是均值和方差都未定义的连续随机变量的一个例子。

表明,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/exponential-distribution/" class="wiki_link" title="指数分布随机变量" target="_blank">指数分布随机变量由归一化PDF给出:

$F (x) = \ λ e^{-\ λ x}$

也意味着 $E (X) = \压裂{1}{\λ}$和方差 ${Var} (X) = \ \文本压裂{1}{\λ^ 2}$．

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解决方案:

注意指数随机变量定义为 $x$范围内 $[0, \ infty)$(如果原因不明显，可以考虑PDF只针对这个范围进行了规范化)。用分部积分法计算分别定义均值和方差的期望值:

$E (X) = \ int_0 ^ {\ infty} \λE X ^{- \λX} \, dx = \ int_0 ^ ^ {\ infty} E{- \λX} \, dx = \压裂{1}{\λ}。$

所以均值是 $\压裂{1}{\λ}$．

$E (X ^ 2) = \ int_0 ^ {\ infty} \λX ^ 2 E ^{- \λX} \, dx = \ int_0 ^ ^ {\ infty} 2 X E{- \λX} = \压裂{2}{\λ}E (X) = \压裂{2}{\λ^ 2}。$

方差是

${Var} \文本(X) = E (X ^ 2) - E (X) ^ 2 = \压裂{2}{\λ^ 2}- \压裂{1}{\λ^ 2}= \压裂{1}{\λ^ 2}。$