给定联合概率分布的随机变量的期望值、方差和协方差是精确地类比于更简单的情况来计算的。任何函数的期望值gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba,gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba两个随机变量gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba是由gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba,gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba∫gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2BafgydF4y2BaXgydF4y2BaYgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
例如,的期望值gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba是gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba∫gydF4y2BaxgydF4y2BafgydF4y2BaXgydF4y2BaYgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
分别定义各变量的独立方差:gydF4y2Ba
VargydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
请注意,期望值可以使用联合概率分布来计算gydF4y2Ba或gydF4y2Ba边际分布,因为这两种情况在数学上是等价的(在一种情况下,两种积分是一起执行的;而在另一种情况下,它们是一次只执行一个)。gydF4y2Ba
一个与联合概率分布有关的新量是gydF4y2Ba协方差gydF4y2Ba两个随机变量,定义为gydF4y2Ba
浸gydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba,gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
关于这个表达有一些重要的观察。首先要注意这一点gydF4y2Ba
浸gydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba,gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaVargydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2Ba和类似的gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba.其次,注意独立性gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba等价于协方差消失。这是因为如果gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba然后是独立的gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba由于联合概率密度函数的因素。协方差因此封装了一个随机变量的变化对另一个随机变量的影响。gydF4y2Ba
联合概率分布由联合概率分布给出gydF4y2Ba
fgydF4y2BaXgydF4y2BaYgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba4gydF4y2BaxgydF4y2BaygydF4y2Ba,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba从区间中抽样gydF4y2Ba
[gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba]gydF4y2Ba.计算gydF4y2Ba
浸gydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba,gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
为了计算协方差,必须根据上面的定义计算一些期望值。计算每一个给gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba4gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2BaygydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
在最后一行,对称在哪里gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba在联合概率密度函数中,我们可以说gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba不需要做更多的计算。现在gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2Ba4gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2BaygydF4y2Ba2gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba4gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BaEgydF4y2Ba(gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
浸gydF4y2Ba(gydF4y2BaXgydF4y2Ba,gydF4y2BaYgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这本来是预料之中的;由于联合PDF分解成边际分布,gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba是独立的。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
没有gydF4y2Ba
是的gydF4y2Ba
也许gydF4y2Ba
两个随机变量的协方差gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba等于4。是gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba独立?gydF4y2Ba