对于任意随机变量
X,的累积分布函数
FX定义为
FX(x)=P(X≤x),
这个概率是多少
X
小于或等于
x.
使用这个定义,我们可以写出
X在一定的时间间隔内获取一个值
[一个,b]不用积分。回想一下,之前这个概率是用PDF定义的:
P(一个≤X≤b)=∫一个bfX(x)dx.
现在,概率被改写为CDF值的差值:
P(一个≤X≤b)=FX(b)−FX(一个).
所以CDF给出了PDF下面两点之间的面积。它从零开始增加(对于非常低的值
x
)到1(对于非常高的值
x).这是因为
x→−∞,没有概率
X如果将PDF归一化,则会发现远远超出。如果
x→∞,这对应于
P(X≤∞)哪个会是1,因为这是确定的
X取一个有限的值。
在这种情况下离散随机变量,的值
FX在的所有可能值处进行离散跳跃
x;跳跃的大小与概率相对应
P(X=x)这个价值。在a的情况下连续随机变量,函数连续递增;谈论这种可能性是没有意义的
X=x因为这个概率总是0。相反,我们考虑的是
X存在于一个给定的时间间隔:
P(X∈[一个,b])=P(一个≤X≤b)=FX(b)−FX(一个).
注意,如果不等式是严格的(如果间隔是
[一个,b]或
(一个,b)例如):由于任何给定值的概率为零,端点可以包含也可以不包含,而不改变任何概率。
尽管如此,人们还是经常想要利用概率密度函数
fX(x)而不是CDF。由于CDF对应于PDF的积分,PDF对应于CDF的导数:
fX(x)=FX”(x)=dxdFX.
一只苍蝇落在一个
3.0厘米
沿着尺子均匀地选择任意位置的长尺子。让
X是苍蝇的位置,单位是厘米,让
fX(x)为的概率密度函数
X.是什么
fX(5)?
解决方案:
这个概率分布是统一的,表示概率密度在整个区间上是恒定的
[0,3.0].这意味着
FX为线性函数:
FX(x)=⎩⎨⎧03.0x1x≤00≤x≤3.03.0≤x.概率密度函数为导数:
fX(x)=⎩⎨⎧03.010x≤00≤x≤3.03.0≤x.
因此概率密度函数
x=5等于
3.01.
飞镖选手总是以
20厘米),但它的瞄准能力很差,以至于飞镖在整个棋盘上的分布是均匀的。让
R省道与中心之间的距离,单位为厘米。求的概率密度函数
R在
0,
10,而且
20.
解决方案:
的概率
P(R<r)与半径圆的面积成正比吗
r:
FR(r)=P(R<r)=飞镖靶面积有半径的圆的面积r=π×202πr2=(20r)2.
概率密度函数为导数:
fR(r)=200r.
因此,我们得到:
fR(0)=0,fR(10)=201,fR(20)=101.
1−e−100λ
λe−100λ
e100λ
−e−100λ
某个随机变量的概率密度函数
X是:
fX(x)=λe−λx,
在哪里
x在
[0,∞).
求出
x<100.