连续性方程(液体)

连续性使用物质守恒定律描述流体在系统不同部分的速度之间的关系。简单的观察体积流率， $Av$，在整个系统中必须是相同的，提供了流体通过管道的速度和横截面积之间的关系。

$a_1v_1 = A_2 v_2$

连续性与伯努利定律在灌溉、给排水等系统的设计和施工中。

连续性解释了为什么交通在瓶颈前的速度要比瓶颈期间慢。维基

运动中流体的第一个利息变化率是质量流率:单位时间内通过检查点的质量。或者,在数学上,

$\text{mass flow rate} = \frac{\Delta m}{\Delta t}。$

然而，流体的质量是难以计算的，因为不一定有一个可测量的量，比如，水流经管道。因此，关系密度， $ρ= \ \压裂{m} {V}$是首选。将该方程与上面的质量流量方程相结合，得到

$\frac{m}{t} = \frac{V}{t}。$

假设管道是棱镜，其体积可以表示 $V =艾尔$在哪里 $一个$是横截面面积和 $l$是垂直于这个面积的长度。

${Delta V}{Delta t} = Delta A {Delta L}{Delta t} = Delta A {Delta L}}$

因此,

$\text{mass flow rate} =\dot{m} =\ frac{\Delta m}{\Delta t} =\ rho A v。$

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有趣的是体积流率．

$\text{volume flow rate} = \frac{\Delta V}{\Delta t} = A \Delta L}{\Delta t} = A \frac{\Delta L}{\Delta t} = Av。$

$\text{volume flow rate} =\dot{V} =\ frac{\Delta V}{\Delta t} = Av$

主动脉瓣的平均血流量是 $9.0 \times 10^{-5} \text{m}^3/\text{s}$．如果健康主动脉瓣的横截面积是 $10^{-4} \text{m}^2$，血液的平均速度是多少?

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体积流量方程为 $\text{volume flow rate} = \frac{\Delta V}{\Delta t} = Av$．因为问题提供了速率和 $一个$和要求 $v$，使用第二个定义。

$\文本{体积流量}= Av$

$v = \压裂{\文本{体积流率}}{}= \压裂\ {9.0 * 10 ^ {5}\ {m} ^ 3 /文本\文本{年代}}{\ 3.0 * 10 ^{4}\文本{m} ^ 2} = 3.0 \ * 10 ^ {m / s}{1} \文本$．

想象两根直径不同的管子连接在一起，所有通过第一段的物质必须通过第二段。这意味着每一段的质量流量必须为平等的，否则在这两部分之间会有一些质量消失。数学上，这可以表示为

$\压裂{\δ1}{\δt} _{出}= \压裂{\三角洲m_2}{\δt} _{}。$

根据定义密度， $m = \ρV$,所以

$\压裂{\ρ\三角洲V_1}{\δt} _{出}= \压裂{\ρ\δV_2}{\δt} _{}。$

只要液体是不可压缩的，密度不会从一个部分改变到下一个部分，所以 $\ρ$两边消掉了。另外，如果管道是棱镜(就像大多数常规管道一样)，则体积可以用横截面积和长度表示: $V =。$方程是

$\压裂{\δl1}{\δt} _{出}= \压裂{\δl2}{\δt} _{在}$

$A_1 \压裂{\δl1}{\δt} _{出}= a₂\压裂{\δl2}{\δt} _{}。$

但自 ${t} = v$，

$a_1v_1 = A_2 v_2。$

水从半径为4的圆柱形管道中流出 $文本\{厘米}$进入另一个半径为2的圆柱管 $文本\{厘米}$．如果水的速度是20 $文本\ {m / s}$在第二个管道中，第一个管道中的速度是多少?

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解决方案:连接管道中的流体速度要求连续性方程:

$A_1 v_1 = a₂v_2。$

由于管道是圆柱形的，所以每个截面的面积都是圆形的 $= \πr ^ 2$．此外, $V_2 = 20 \text{m/s}$是给定的,所以

$r_1^ 2v_1 = r_2^ 2v_2$

$文本(4 \{厘米})^ 2 v_1 =(2 \文本}{厘米)^ 2(20 \文本{m / s})$

$V_1 = 5 \text{m/s}。$