建设

数学中许多著名的问题都被描述为寻找一个特定的建设这符合某些标准。这通常需要一些创造力和对问题背后理论的理解。

一些众所周知的施工问题有:

• 费马大定理:是否存在非平凡解 $X ^n + y^n = z ^n$为 $n \组2$？
• Borsuk猜想:每个有界子集 $年代$空间的 $R \ mathbb {} ^ n$被分割成 $n + 1$每一组的直径都小于 $年代$？
• 古代几何问题:我们能用圆规和直尺对任何角度进行三等分吗?

在构造问题中，我们寻求一个明确的描述或识别，这允许我们验证陈述是真还是假。

这有3个方面:

• 建设-是否有一种算法或方法可以让我们构造出满足约束条件的配置?
• 存在-是否存在满足条件的配置?我们能证明构型不存在吗?
• 枚举—满足条件的配置有多少?

我们介绍以下方法，作为一种帮助思考建设问题的方法。

向前感应

我们从选择一个构型开始 $n - 1$，并进行进一步选择以获取的配置 $n$．这种映射可以是一对多的，不需要是满射或单射的。重复计算可能是个问题。

的多少个子集 $\{1,2,3， \ldots, n\}$有吗?

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要有 $S_n$的子集的数量 $\{1,2,3， \ldots, n \}$．

我们将向前证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/induction/" class="wiki_link" title="感应" target="_blank">感应那 $S_n = 2 ^ n$．

基本情况:我们知道 $S_0 = 1$，即空集 $\ emptyset$．

归纳步骤:
给定一个 $\{1,2,3， \ldots, k \}$，我们如何创建一个子集 $\{1,2,3， \ldots, k+1 \}$？有两种可能:
$\四$1.我们可以加上这个元素 $\ {k + 1 \}$到它。
$\四$2.我们对它无能为力。
因此，每个子集 $\{1,2,3， \ldots, k \}$对应于的两个子集 $\{1,2,3， \ldots, k+1 \}$．相反，我们可以找到这两个子集 $\{1,2,3， \ldots, k+1 \}$对应的是 $\{1,2,3， \ldots, k \}$．这设置了“双射”，向我们展示了这一点 $S_ {k + 1} = 2 \ * S_ {k} = 2 \ * 2 ^ k = 2 ^ {k + 1}$． $_ \广场$

逆向归纳

我们从一个构型开始 $n$，并进行进一步选择以获取的配置 $n - 1$．这个映射可以是一对多的，也不需要是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="满射或单射" target="_blank">满射或单射．重复计算可能是个问题。相对而言，实施起来比较困难。

的多少个子集 $\{1,2,3， \ldots, n\}$有没有，所以没有两个元素是连续的?

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给定这样一个子集，让我们考虑它是否包含元素 $n$．

• 如果它包含元素 $n$，则它不能包含元素 $n - 1$．没有进一步的限制，因此我们得到一个子集 $\{1,2,3 \ldots, n - 2 \}$满足条件，我们就把它结合起来 $\ \ {n}$．
• 如果它不包含元素 $n$，那么我们显然有一个子集 $\{1,2,3， \ldots, n-1 \}$满足条件。

让 $fn$表示满足此条件的子集的个数。那么，上面的论证告诉我们 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$．我们可以计算初值 $F_0 = 1$(空集)和 $f = 2$(空集和 $\ \ {1}$)．还有递归关系 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$这些初始值，我们得出结论，我们会得到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fibonacci-series/" class="wiki_link" title="斐波纳契数" target="_blank">斐波纳契数． $_ \广场$

这两种归纳法有什么区别?虽然这些是相似的，但向前/向后方面是我们思考解决这些问题的方式。通常，这两种方法都可以使用，只是解决方案略有不同。
在第一个问题中，两种方法都是一样的。逆向归纳方法是从这样一个子集开始，然后考虑它是否包含元素 $n$．
在第二个问题中，因为映射从 $fn$两个 $f {n}$而且 $f {2}$，逆向归纳法是更自然的思考方式。

贪婪算法-覆盖一切

使用局部启发式来确保我们的选择是好的，但仍然足够简单。理想情况下，“当且仅当使用局部启发式的配置存在时，才存在配置”，但这并不总是正确的。

考虑一个 $n \ n$董事会。一个骑士可以通过访问每一个方块来浏览整个棋盘吗?

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我不知道如何完全解决这个问题。你可以填写细节。
其基本原理被称为Warnsdorff规则:寻找邻居数最少的邻居。

为什么这种方法有效(或者至少，为什么这种方法可能有效)?

• 它优先考虑最有可能被切断的方块。
• 特别是对于只有2个空闲邻域的方格，当你落在其中一个邻域上时，你必须移动到该方格，然后通过另一个邻域退出。
• 然而，这并不能保证你会探索整个板子。你可能会被困在一个地方。这就是贪心算法的缺点。

结构回避器和查找器

如果问题的目的是构造一个构型避免了某种结构(如单色三角形的存在、元素等) $a + b = c$)，考虑以下两个因素会有所帮助:

• 结构回避器:目标是构造一个避免结构的配置。
• 结构查找器:目标是在配置中查找结构(如果它存在的话)。

(印度TST)考虑数字的任何分割 $\{1,2,3， \ldots, 3n \}$成三组 $A, B, C$每一个尺寸 $n$．证明它的存在 $在x \$， $y \ B$而且 $用C z \$使其中一个等于另外两个的和。

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我们要避免的结构是形式的东西 $X + y = z$．我们的主要障碍是什么? $x = 1$这是一个很大的问题，但很容易控制。 $z = 3 n$这也带来了一个问题，但更难控制。因此我们与 $x = 1$．

WLOG, $1、在一个$．下一个问题是什么?显然这是 $x = 2$．我们知道它通向哪里吗?不完全是，它可以进入任何集合 $一个$．如果它进入 $一个$，然后我们可以继续询问 $x = 3$．因此，适当的配方 $一个$如下:

让 $\{1,2， \ldots, k-1 \} \子集$而且 $k \ B$．
我们认为可能的问题是什么?大小相等的条件没有被使用，因此为了使它发挥作用，我们必须相信其中一个集合是大的。我们还没有任何消息，但我敢打赌 $一个$被大。

现在，结构查找器告诉我们没有元素对 $一个$而且 $C$可以不同的 $k$．结构回避者告诉我们，没有一对连续的(或在 $k - 1$)元素可以在 $B$而且 $C$．因此,如果 $C$有两个连续的元素 $c$而且 $c + 1$,然后 $c + 1 k$不在 $一个$或 $B$，所以它是在 $C$．同时, $c - k$不在 $一个$或在 $B$，所以它是在 $C$．因此, $ck$而且 $C + 1 - k$都是在 $C$．然后我们可以反复移除 $k$从这两个元素到其中一个元素 $\ leq k + 1$，这就产生了矛盾。所以,如果 $c + 1 \ c$,然后 $c \not \in$．

此外,由于 $1、在一个$,如果 $c + 1 \ c$,然后 $c \not \in$．

从前面的两个表述，我们可以得出如果 $c + 1 \in c$,然后 $在c \$．这给了我们一个内射映射 $C$来 $一个$．它不是满射的，因为 $k \not \in$,因此 $C | < | | |$，这与大小相等的假设相矛盾。 $_ \广场$．

这里的想法是通过构造一个具体的反例来证明一个陈述是不正确的。

典型的例子是古代的三个几何问题:圆的平方，立方体的两倍，角的三等分仅用圆规和直尺。为了解决这些问题，我们提出了a的概念可构成的数量在复平面上。如果一个复数在欧几里得平面上的对应点可以用无尺直尺、圆规和单位长度的线段来构造，那么它就是可构造的。利用场论的语言，证明可构造数是“有理数的二次闭包”。虽然这个完整的描述目前还有些超出我们的范围，但我们可以表明，一个可构造数必须是一个代数数(这意味着它是一个整数系数多项式的根)。接下来，考虑各种各样的罗盘和直尺结构实际上允许什么。因此,自 $\π$是先验的，它说明我们不可能做不可能的事。

欧拉猜想(1769年提出)指出

如果有非零整数 $\sum_{i = 1} ^ n a_i ^k = b^k$与 $n > 1$而且 $k > 1$,然后 $n \组k$．

这似乎推广了费马大定理，也就是 $K > 2, n \neq 2$．这个猜想很容易证明是对的 $k = 3$，通过证明没有非平凡解 $A ^3 + b^3 = c ^3$，即费马大定理的一个具体例子。

最终在1966年，通过直接计算机搜索，一个反例 $k = 5$被发现:

$27^5 + 84^5 + 100 ^5 + 133 ^5 = 144 ^5。$

1986年，诺姆·埃尔基斯找到了一系列解决方案 $k = 4$：

$(85v^2 + 484 v - 313)^4 + (68v^2 - 586v + 10)^4 + (2u)^4 = (357 v^2 - 204v + 363)^4，$

在哪里 $U ^2 = 22030 + 28849 v - 56158v^2 + 36941v^3 - 31790v ^4$．因为这是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/elliptic-curves/" class="wiki_link" title="椭圆曲线" target="_blank">椭圆曲线用一个理性的点 $V = - \frac{31}{467}$，有无限多个其他有理点。然后我们可以把它代入上面的方程并明确分母。

1999年和2000年的病例 $K = 7,8$分别用具体的例子加以证明。

到目前为止，还不知道是否 $k = 6$或 $k \组的9$是假的。想试试吗?

Borsuk猜想问

每个有界子集 $年代$空间的 $R \ mathbb {} ^ n$被分割成 $n + 1$每一组的直径都小于 $年代$？

这是一个著名的问题，对于 $n = 2$(1932年证实)和 $n = 3$(1947、1955年证实)。这被认为是对更大的 $n$，但没有进一步的结果，直到杰夫·卡恩和吉尔·卡莱通过构造一组点，证明这是不成立的 $n = 1325$．Andrij Bondarenko已经证明这个猜想对所有人都是错误的 $n \组65$．目前还不清楚 $n = 4$是一个真实的陈述。

长寿链是一个连续的整数序列，其数字和从来不是9的倍数。长寿链的最长长度是多少?

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我们知道，任何是9的倍数的数，其数字和是9的倍数。因此，长寿链最多可以有8个元素。
作为一个显式的例子，序列 $1、2、3、4、5、6、7、8$是由8个连续整数组成的序列，其数字和绝不是9的倍数。
因此，答案是8。 $_ \广场$

在上面的问题中，我们需要理解的是数字和与9的倍数之间的关系。有了这些理解，解决方案的构建就很简单了。

是否存在同心圆族使得每个圆恰好包含一个晶格点，并且每个晶格点都在圆上?

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想想这些同心圆的圆心。因为每个格点都在一个唯一的同心圆上，这意味着每个格点到圆心的距离必须是不同的。

要求:重点 $\左(\frac {1}{3}， \sqrt{2} \右)$作为同心圆的圆心。

假设没有，那么我们必须有两个格点 $(x_1, y_1) (x_2, y_2)$它们的距离是一样的。这意味着

$\离开(x_1 \压裂{1}{3}\右)^ 2 + \离开(y_1 \ sqrt{2} \右)^ 2 = \离开(x_2 \压裂{1}{3}\右)^ 2 + \离开(y_2 \ sqrt{2} \右)^ 2。$

展开项，就得到了这个

$x_1 ^ 2 - \压裂{2}{3}x_1 + y_1 ^ 2 - x_2 ^ 2 + \压裂{2}{3}x_2——y_2 ^ 2 = \√{2}(2 y_2 - 2 y_1)。$

如果 $y_2 \ neq y_1$，那么LHS是理性的，而RHS是非理性的，这是一个矛盾。因此 $y_1 = y_2$．因此, $lh = RHS = 0$，这意味着 $x_1 ^ 2 - \压裂{2}{3}x_1——x_2 ^ 2 + \压裂{2}{3}x_2 = 0$,或者 $0 = (x_1 - x_2) \离开(x_1 + x_2 - \压裂{2}{3}\右)$．因为第二项从来不是0(因为 $x_1、x_2$是整数)，我们必须有 $x_1 = x_2。$这与点是不同的假设相矛盾。 $_ \广场$

在上面的问题中，我们处理了一些条件，并将其重新表述为一个数论命题，这使得它更容易处理。

注意:有一个存在解，它的工作原理是表明平面不能被无数条线覆盖。

是否有可能在平面上找到7个点，使得在每个3个点的子集中，有2个点的距离是单位距离?

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让 $ABCD$是4点这样 $\ \ lvert \离开眉题{AB} \ \ rvert = \左右\ lvert \眉题公元前{}\ \ rvert = \左右\ lvert \眉题{CD} \ \ rvert = \左右\ lvert \眉题{DA} \ \ rvert = \左右\ lvert \眉题{BD} \ \ rvert = 1$．让我们稍微旋转一下 $一个$,让 $AB D C ^ * ^ * ^ *$这样 $\ \ lvert \离开眉题{CC ^ *} \ \ rvert \眉题= 1$．

图像

结论:这组7点满足条件。

证明:如果3个点在 $\{a, b, c, d \}$或 $\{a, b ^*， c ^*， d ^*\}$，那么我们就完成了。否则，我们必须在每个集合中有两个点。如果这些点不是 $\ {A, C \}$或 $* \ \ {A、C ^}$那么它们之间就是一个单位距离。因此，这3点必须如此 $\{a, c, c ^* \}$，但这给了我们 $CC ^ * = 1$，这样就完成了。 $_ \广场$

1)的一个子集 $\ \子集mathbb {N}$是sum-free如果没有解 $X + y = z$为 $x, y, z \in A$．(注:我们考虑到 $x = y$．）
证明给任何 $n$的无和子集 $\{1,2,3， \ldots, n \}$的大小 $\ \ lceil \离开压裂{N} {2} \ \ rceil$．

2)格方是平面上的正方形，其4个顶点为格点。描述一个格子正方形可能的边长集合。

3)对于哪个整数 $n \组3$，是否存在 $n$平面上的点，不都共线，使得任意两点之间的距离是整数?

贪婪算法