在gydF4y2Ba沿斜面页面运动gydF4y2Ba我们指出了物体在重力作用下在斜面上移动的距离与物体在斜面上移动的速度之间的联系。因为这是一个非常有益的例子,所以我们回到计算上来。gydF4y2Ba
一个开放思想的巧合gydF4y2Ba
在恒定加速度下,物体运动的距离gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba的时间gydF4y2Ba
tgydF4y2Ba=gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba2gydF4y2BadgydF4y2Ba
.对于在斜面上滑雪的人,这个时间由gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba罪gydF4y2BaθgydF4y2Ba2gydF4y2BadgydF4y2Ba
.滑雪者从斜坡顶端的休息开始,就有了速度gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba=gydF4y2Ba一个gydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba罪gydF4y2BaθgydF4y2BaggydF4y2Ba罪gydF4y2BaθgydF4y2Ba2gydF4y2BadgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba2gydF4y2BadgydF4y2BaggydF4y2Ba罪gydF4y2BaθgydF4y2Ba
在斜坡的底部。gydF4y2Ba
考虑动能gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba2gydF4y2Ba.在斜坡的顶部,这个量等于0,在斜坡的底部,它等于gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba米gydF4y2BaggydF4y2Ba罪gydF4y2BaθgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
现在,考虑另一个量gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba重力是沿着斜坡的,和吗gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba是沿着斜坡走下的距离。与gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2BaggydF4y2Ba罪gydF4y2BaθgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba=gydF4y2BadgydF4y2Ba,我们发现gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba=gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2BaggydF4y2Ba罪gydF4y2BaθgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这是奇怪的。在下降斜坡的过程中,滑雪者获得的动能等于作用在粒子上的力和粒子移动的距离的乘积。人们可能会假设,通过一定距离作用的力给物体以动能。gydF4y2Ba
数学上,gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
⋅gydF4y2BadgydF4y2Ba
=gydF4y2BaΔgydF4y2Ba柯gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba我gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这表明滑雪者受重力的累积拉力产生了粒子的动能。如果这种关系在一般情况下成立的话,它将是非常有用的,但到目前为止,这只是我们在计算中注意到的一个很好的巧合。接下来,我们看看牛顿定律,寻找一种方法把它建立在坚实的基础上。gydF4y2Ba
牛顿定律:做功的基础gydF4y2Ba
根据第二定律,我们在速度的变化和合力之间有如下的关系(为了简单起见,我们在一维上工作,但结果很容易推广)gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2BaΔgydF4y2BatgydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
重新安排,我们gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2BaΔgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2BaΔgydF4y2BapgydF4y2Ba
因为gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BavgydF4y2BaΔgydF4y2BatgydF4y2Ba,我们可以写gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2BaΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba/gydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba,或gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2BaΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这个关系表明,如果物体以速度运动gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba它被推了一小段距离gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba平行于力gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2Ba,它会得到额外的速度gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BaFgydF4y2Ba网gydF4y2BaΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
在三维空间中,我们的结果是gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
网gydF4y2Ba⋅gydF4y2BaΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba
⋅gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
.gydF4y2Ba
这个关系为我们上面的猜想提供了基础,力可以做功使粒子具有动能。我们现在利用这个关系来证明功-动能定理。gydF4y2Ba
Work-kinetic能量定理gydF4y2Ba
合力对物体做的功等于它的动能变化量。gydF4y2Ba
如果我们把所有的增量推加起来gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2BaΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba粒子接收到的距离gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba,我们得到gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2Ba∑gydF4y2BaΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaFgydF4y2Ba网gydF4y2BadgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
然而,我们证明了这一点gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2BaΔgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba,使我们也有gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2BadgydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2Ba∑gydF4y2BavgydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba,是速度增量的和。gydF4y2Ba
现在我们来算一下gydF4y2Ba
米gydF4y2BavgydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
首先,当gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba是零,gydF4y2Ba
米gydF4y2BavgydF4y2Ba是零;最后,它等于gydF4y2Ba
米gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba.如果我们把增量除以gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba碎片越小,速度越快gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BavgydF4y2Ba每个都是由gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba1gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba我们可以把它们从和式中提出来,这样和式就变成gydF4y2Ba
ngydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba∑gydF4y2BavgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
现在,和gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba从gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba来gydF4y2Ba
vgydF4y2BafgydF4y2Ba在gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba大小相等的块很简单gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba乘以的平均值gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba的范围:gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∑gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba2gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba
因此,gydF4y2Ba
∑gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba等于gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∑gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2BangydF4y2Ba2gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba
我们有gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2BadgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba
这证明了,如果我们作用在一个质量物体上gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba,以一种力量gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba网gydF4y2Ba,越过一段距离gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba最后得到一个动能gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba,其中速度gydF4y2Ba
vgydF4y2BafgydF4y2Ba是由gydF4y2Ba
2gydF4y2BaFgydF4y2Ba网gydF4y2BadgydF4y2Ba/gydF4y2Ba米gydF4y2Ba
.gydF4y2Ba
因此,我们已经证明,作用在物体上的力经过一段距离将动能转移到物体上,我们称这个量为,gydF4y2Ba
WgydF4y2Ba网gydF4y2Ba=gydF4y2BaFgydF4y2Ba
⋅gydF4y2BadgydF4y2Ba
,工作。在无摩擦系统中,功等于力引起的动能变化量:gydF4y2Ba
WgydF4y2Ba网gydF4y2Ba=gydF4y2BaΔgydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba
下面是另一种证明方法:gydF4y2Ba
我们知道gydF4y2Ba
WgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaFgydF4y2Ba
⋅gydF4y2BadgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba
.gydF4y2Ba自gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba米gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba米gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba由此可见,gydF4y2Ba
WgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaFgydF4y2Ba
⋅gydF4y2BadgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba米gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba
⋅gydF4y2BadgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba
=gydF4y2BavgydF4y2Ba0gydF4y2Ba
∫gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba
米gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba
dgydF4y2BavgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba0gydF4y2Ba
∫gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba
vgydF4y2Ba
⋅gydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba
=gydF4y2BaΔgydF4y2Ba柯gydF4y2Ba,gydF4y2Ba这证明了gydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba柯gydF4y2Ba=gydF4y2BaWgydF4y2Ba.gydF4y2Ba