连通空间

一个连接拓扑空间是一个不能表示为两个不相交开子集的并的空间。连通性是一种有助于对拓扑空间进行分类和描述的性质;在许多重要的应用中，这也是一个重要的假设，包括介值定理．

与密实度在美国，连通性的正式定义并不是最直观的。更自然的定义是，如果空间中的任何两点之间可以画出一条曲线(“连接”这些点)，那么空间就是连通的。有了适当的假设和定义，这个切合实际的定义就变成了一个重要的替代连接概念，称为path-connectedness．连通空间并不总是路径连通的(尽管反过来也是正确的)。

让 $X$是一个拓扑空间。然后 $X$据说是断开连接如果 $X = U_1 \ U_2杯，$与 $U_1, U_2$开放的子集 $X$这样 $U_1 \cap \ U_2 = varnothing。$否则, $X$是连接．

这个定义的等效公式包括开集，定义如下:

一个闭开集是一个既封闭又开放的集合。

很明显, $X$和 $\ varnothing$是闭合的，连通性的定义与其他闭合集相关:

$X$是连通的，当且仅当 $X$是 $X$和 $\ varnothing。$

这很清楚，因为如果 $U_1, U_2$开放子集与 $U_1 \ U_2 = X$和 $U_1 \cap U_2 = \空集，$然后 $U_1$和 $U_2$闭开。(这种推理也适用于相反的情况。)

让 $Y$是拓扑空间的子集 $X。$回想一下, $Y$继承拓扑 $X$被称为子空间拓扑结构，那里的开放集 $Y$开集的交点是 $X$与 $Y。$然后一个子集 $Y$的 $X$是连通的当且仅当它是连通的拓扑空间，具有子空间拓扑。

考虑到子集 $Y = [0,1] \cup (1,2) \subseteq \mathbb$然后 $Y$是分离的，因为它是 $(0,1)$和 $(1、2)。$它们都不是开子集 $\ mathbb R,$但它们是开子集 $Y$用子空间拓扑 $\大($因为他们是交集。 $(1,1)$和 $(1、3)$与 $Y \大)。$

任何时间间隔 $R \ mathbb$是连接。

这个结果的所有证明都使用了某种形式的完整性的属性 $\ mathbb R。$这里有一个这样的证明。为简单起见，我们只在区间闭合时给出证明，在不失一般性的前提下，可以假定区间为 $[0, 1]$在这种情况下。通过在具有相同端点的闭区间中嵌入一个非闭区间，一般区间的结果很快就能得到闭区间的结果(留给读者作为练习)。

假设 $[0,1] = U \杯V$